第2章分式综合测试题 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

第2章综合测试题 湘教版八年级上册数学 · 分式 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在式子 、、、、 + 、 中，分式的个数是（　　） A．3　　B．4　　C．5　　D．6 2．下列各式中最简分式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．在化学实验课上，配制糖水时，糖的质量为x，水的质量为y。若把糖和水的质量同时扩大为原来的2倍，下列分式中，糖水浓度保持不变的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．若分式 的值为0，则a的值为（　　） A．-3　　B．-2　　C．0　　D．2 5．计算 + 的结果等于（　　） A．2a+2b　　B．　　C．　　D． 6．已知 t₁ = 1 - ，t₂ = 1 - ，用含t₃的代数式表示t₁为（　　） A．t₁ = 　　B．t₃ = 　　C．t₁ = 　　D．t₃ = 7．若分式 的值为0，则代数式 x²+2x-3 的值为（　　） A．0　　B．12　　C．0或12　　D．无法确定 8．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同。设乙每小时搬运x件货物，列方程正确的是（　　） A． = 　　B． = 　　C． = 　　D． = 9．已知分式方程 - 2 = 有增根，则a的值为（　　） A．4　　B．-4　　C．0　　D．2 10．已知多项式 x²+px+q，下列四个结论： ① 若 x²+px+q 为完全平方式，则 p² = 4q； ② 若 x²+px+q = (x-5)(x+n)，且 q = -10，则 n² = ； ③ 若 m≠0, n≠0, x²+px+q = (x-m)(x-n)，则关于x的分式方程 x + = -p 的解为 x = m 或 x = n； ④ 若 = x + ，则 p+q = n-1。 其中正确的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．科学记数法表示 0.000047 = __________。 12．若实数x、y满足 = -，|x-3| + y = 0，则 xʸ 的值为 __________。 13．已知 a²+b²-10a-6b+34 = 0，则 ÷ · = __________。 14．若关于x的分式方程 + = 2a 无解，则a的值为 __________。 15．已知实数a、b、c满足 2ᵃ = 5，2ᵇ = 20，2ᶜ = 160，则 2025a - 4051b + 2026c 的值为 __________。 16．一组代数式 a₁, a₂, a₃, a₄, … 满足下面关系：a₂ = 1 - ，a₃ = 1 - ，a₄ = 1 - ，以此类推，若 a₁ = x²，则 a₂₀₂₅ 为 __________。 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）计算： （1） ÷ （2） · + 18．（本题6分）先化简，再求值： ÷ ，其中a从-1、2、3中取一个你认为合适的数代入求值。 19．（本题8分）解方程： （1） = （2） = - 2 20．（本题8分）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ① A型无人机模型的单价比B型贵800元； ② 用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同。 （1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ （2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍。请求出航模小组所有可能的购买方案。 21．（本题10分）阅读两位同学的探究交流活动过程： 小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明。 　　 - = - 　　① 小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式： 　　 - = - 　　② 　　 - = - 　　③ 　　 - = - 　　④ 小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； 小亮对第n个等式进行了证明。 解答下列问题： （1）第⑤个等式是 __________； （2）第n个等式是 __________； （3）请你证明第n个等式成立。 22．（本题10分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两位骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍。 （1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； （2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度。 23．（本题12分）列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买A、B两种型号的货车搬运货物。每台A型货车比每台B型货车的载重量少12吨，且搬运120吨货物所需A型货车的台数与搬运180吨货物所需B型货车的台数相同。 （1）求A型和B型货车每台的载重量； （2）该公司共采购27台这两种型号的货车来搬运一批货物，若一半的货运量用A型货车搬运，则剩余5吨；另一半的货运量用B型货车搬运，则B型货车装不满，且采购A型货车不少于15辆，求该公司有哪几种采购方案。 24．（本题12分）已知关于x的方程 x + = 1 + 2 的两个解是 x₁ = 1, x₂ = 2；又已知关于x的方程 x + = 1 + 3 的两个解是 x₁ = 1, x₂ = 3；又已知关于x的方程 x - = -2 + 3 的两个解是 x₁ = -2, x₂ = 3。小亮认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程 x + = a + b 的两个解是 x₁ = a, x₂ = b。并且小亮在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）。小亮非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： （1）关于x的方程 x + = 7 的解为 __________； （2）关于x的方程 x - = 2 的两个解分别为m、n，求 m² + n² 的值。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D D A B A A B 解析： 1. B　分式是指分母中含有字母的式子。、、、 + 、 是分式，（π是常数）不是分式，共4个，选B。 2. C　A项可约分为；B项约分得；D项=5；C项分子分母无公因式，是最简分式。 3. A　x、y同时扩大为原来的2倍后，A项 → =，浓度不变；其余各项均改变。 4. D　分式值为0须分子为0且分母不为0，a-2=0得a=2，且a+3=5≠0。 5. D　/(a+b)===。 6. A　t₂=，t₁====。 7. B　=0须分子为0且分母不为0，x=3（x=2使分母为0舍去），代入得9+6-3=12。 8. A　设乙每小时搬x件，甲每小时搬(x+20)件，由时间相同得=。 9. A　去分母得x-2(x-4)=a，增根x=4，代入得-4+8=a，a=4。 10. B　①正确；②n=2，n²=4≠错误；③正确；④不成立。正确的有①③，共2个，选B。 二、填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 4.7 × 10⁻⁵ a = 0 或 a = 1 2028 解析： 11. 4.7 × 10⁻⁵ 12. 　由=-知x=2，代入|x-3|+y=0得y=-1，xʸ=2⁻¹=。 13. 　由a²+b²-10a-6b+34=0得(a-5)²+(b-3)²=0，a=5，b=3；原式化简为=。 14. a = 0 或 a = 1　当a=1时0=2无解；当a=0时=0无解。 15. 2028　2ᵇ/2ᵃ=4得b=a+2，2ᶜ/2ᵇ=8得c=b+3=a+5，代入得2025a-4051(a+2)+2026(a+5)=2028。 16. 　a₁,a₂,a₃周期为3，a₃=，2025÷3余0，故a₂₀₂₅=a₃=。 三、解答题（共72分） 17．(1) a；(2) 1 解：(1) ÷ 　= × 　= × = a。 (2) · + 　= · + 　= + = = 1。 18. 当a = 3时，原式 = 解： - 1) ÷ 　= × 　= = 　=。 a不能取-1和2，取a=3，原式==。 19．(1) 无解；(2) x = 0 解：(1) = ，去分母得x+1=2，x=1，此时x-1=0，是增根，原方程无解。 (2) = - 2，去分母得1 = x-3 - 2(x-2)，解得x=0，经检验成立。 20．(1) A型2400元，B型1600元；(2) 方案一：A4台、B6台；方案二：A5台、B5台 解：(1) 设B型单价为x元，则A型为(x+800)元， 　 = ，解得x=1600。 　故B型1600元，A型2400元。 (2) 设购买A型m台，则B型(10-m)台。 　B型不超过A型的2倍：10-m ≤ 2m，得m ≥ 4；总费用不超过20000元：2400m + 1600(10-m) ≤ 20000，得m ≤ 5。 　故m=4或5。方案一：A型4台、B型6台，费用19200元；方案二：A型5台、B型5台，费用20000元。 21．(1) /(x+6)=/(x+7)；(2) /(x+n)=/(x+n+1)；(3) 证明略 证明第n个等式：左边=/(x+n) 　= 　=； 右边=/(x+n+1) 　= = 。 左边=右边，等式成立。 22．(1) 甲的速度24千米/时；(2) 甲的速度18千米/时 解：(1) 设乙的速度为v千米/时，则甲为1.2v千米/时。 　甲出发半小时追上：1.2v×0.5 = 2 + v×0.5，即0.6v=2+0.5v，v=20，甲的速度=1.2×20=24千米/时。 (2) 设甲的速度为v千米/时，则乙为=千米/时。 　乙先骑行小时，同时到达：/6) - = ，即/v=，v=18，甲的速度=18千米/时。 23．(1) A型24吨，B型36吨；(2) 采购A型16台、B型11台 解：(1) 设A型载重量为x吨，则B型为(x+12)吨， 　 = ，解得x=24。故A型24吨，B型36吨。 (2) 设采购A型m台、B型(27-m)台，m≥15。 　一半货运量=24m+5，B型装不满：36(26-m) < 24m+5 < 36(27-m)。 　左边：936-36m < 24m+5，得m>15.52，即m≥16；右边：24m+5 < 972-36m，得m<16.12，即m≤16。 　故m=16，采购方案为A型16台、B型11台。 24．(1) x₁ = 2, x₂ = 5；(2) m² + n² = 10 解：(1) x + = 7，对照 x + = a + b，需ab=10且a+b=7，故x₁=2，x₂=5。 (2) x - = 2，即 x + = 2，ab=-3且a+b=2，故m=3，n=-1（或m=-1，n=3）， 　m²+n²=9+1=10。 1 学科网（北京）股份有限公司 $