第1章 因式分解（单元自测）数学新教材湘教版八年级上册

第1章 因式分解 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．下列多项式分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 4．分解结果正确的是（ ） A． B． C． D． 5．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 7．下列多项式能用公式法进行因式分解的是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．②④⑤ B．②④ C．①④⑤ D．③④⑤ 8．下列因式分解正确的是() A． B． C． D． 9．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 10．下列分式变形正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．分解因式：________ 12．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ________，________ 13．若，则________． 14．________． 15．如果是的一个因式，则的值为________． 16．若，则的值是________． 17．三种不同类型的长方形砖长宽如下图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是________． 18．下列多项式：①；②；③；④．其中分解因式的结果中含有相同因式的是________（填序号） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）把下列各式分解因式： （1） （2） （3） 20．（8分）分解因式： （1）； （2）． 21．（8分）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： （1）若是多项式的一个因式，求k的值． （2）若是多项式的一个因式，且，试求m、n的值，并将多项式进行因式分解． 22．（8分）用简便方法计算： （1）； （2） 23．（8分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求________； （2）通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； （3）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 24．（8分）分解因式 （1） （2） 25．（9分）已知整式，整式，若可以分解为，求． 26．（9分）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： （1）对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； （2）对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（ ），设另一个因式为（ ），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； （3）对于多项式，用“试根法”分解因式． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 因式分解 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义及常用方法（提公因式法、公式法），判断每个选项是否将多项式化为几个整式的乘积形式且分解彻底即可． 【解析】A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：的结果不是整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选B． 2．下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【解析】A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解．故选B． 3．下列多项式分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式，掌握因式分解的定义是解本题的关键． 根据因式分解的定义和公式判断每个选项即可． 【解析】选项A：，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，不是乘积形式，故C错误； 选项D：，是提取公因式，正确； 故选D． 4．分解结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．故选C． 5．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，理解其定义是解题的关键． 通过因式分解检查各组多项式的公因式即可． 【解析】A：，，有公因式 ，故该选项不合题意； B： 与 ，无公因式，故该选项符合题意； C：，与 有公因式 ，故该选项不合题意； D： 与 ，有公因式 ，故该选项不合题意． 故选B． 6．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、是整式的乘法，不属于因式分解； B、，等式右边不是多项式的乘积形式，不属于因式分解； C、，原计算错误，不属于因式分解； D、，属于因式分解．故选D． 7．下列多项式能用公式法进行因式分解的是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．②④⑤ B．②④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案． 【解析】①，无法运用公式法分解因式； ②，能运用平方差公式进行因式分解，符合题意； ③，无法运用公式法分解因式； ④，能运用完全平方公式进行因式分解，符合题意； ⑤，能运用完全平方公式进行因式分解，符合题意． 综上，能用公式法进行因式分解的是②④⑤， 故选A． 8．下列因式分解正确的是() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解；逐一检查每个选项的因式分解是否正确，利用平方差公式、完全平方公式和提取公因式等方法进行验证． 【解析】对于A：∵，∴A错误． 对于B：∵，但可进一步分解为，∴因式分解不彻底，B错误． 对于C：∵，∴C正确． 对于D：∵，∴D错误． 故选C． 9．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是因式分解等知识点，解题关键是掌握因式分解的概念． 根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式． 【解析】中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故A不符合； 中，是将多项式化为积的形式， 所以从左到右的变形是因式分解， 故B符合； 中右边不是整式，不是整式的积， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故C不符合； 中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故D不符合． 故选B． 10．下列分式变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式恒等变形，熟记分式性质及因式分解是解决问题的关键． 通过因式分解和分式的基本性质，检查每个选项的变形是否正确即可得到答案． 【解析】A: ，选项分式变形错误，不符合题意； B: ，选项分式变形错误，不符合题意； C: ，选项分式变形错误，不符合题意； D: （其中），选项分式变形正确，符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．分解因式：________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【解析】， 故答案为． 12．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ________，________ 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值． 【解析】甲的结果为， ∴； 乙的结果为， ∴， 故答案为12， 13．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和整式的乘法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过将等式右边展开，与左边多项式比较对应项系数，建立方程求解； 【解析】将等式右边展开：， 左边为， 比较系数，得： 一次项系数：， 常数项：， 由，解得：， 或由，解得：， 验证：当时，右边为，与左边相等； 故答案为； 14．________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为将原式分组，使含的项可以凑成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可. 【解析】 （1）.故答案为$(2x+y+1)(2x-y+1)$． 15．如果是的一个因式，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，代入求解即可． 【解析】若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，即： ， ， ， ， 故答案为． 16．若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，平方差公式因式分解；通过观察代数式的结构，发现其符合平方差公式，可转化为，再利用方程组中的条件直接求解． 【解析】由方程组 由②得 ∴． 故答案为． 17．三种不同类型的长方形砖长宽如下图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是________． 【答案】 【分析】拼成的正方形的面积等于三类砖的面积之和，求出三类砖的面积之和并分解因式即可得到答案． 【解析】， ∴小明拼成正方形的边长是．故答案为$m+2n$ ## $2n+m$． 18．下列多项式：①；②；③；④．其中分解因式的结果中含有相同因式的是________（填序号） 【答案】①④（或④①） 【分析】本题考查了因式分解的方法（提公因式法、公式法），解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解． 分别对四个多项式进行因式分解，再观察分解结果中含有的相同因式． 【解析】①； ②； ③； ④． 对比分解结果，①和④都含有因式． 故答案为①④． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）把下列各式分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解析】（1）解： （4） ； （2）解： （9） （9）； （3）解： ． 20．（8分）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式和公式法进行因式分解． （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先展开，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式． 21．（8分）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： （1）若是多项式的一个因式，求k的值． （2）若是多项式的一个因式，且，试求m、n的值，并将多项式进行因式分解． 【答案】（1） (2)， 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键： （1）根据是多项式的一个因式，得到时，，进行求解即可； （2）根据是多项式的一个因式，得到时，，结合，求出的值，再利用十字相乘法，进行因式分解即可． 【解析】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴时，， ∴； 解得； （2）∵是多项式的一个因式， ∴时，， 则，① 又，② 由①②可得：．     ∴多项式． 22．（8分）用简便方法计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 23．（8分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： （1）类比应用，求________； （2）通过计算，证明：不论取何值，总有比大2； （3）若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵，． ∴， ∴不论取何值，总有比大2． （3）是， 理由如下： 对进行分组：． 分别展开可得． 令，则原式可化为． 展开式子得． 根据完全平方公式，． 再将还原， 可得． 因为为正整数， 所以也是整数， 所以的值是某一个整数的平方． 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，需熟练完全平方公式，掌握解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算左右两边的算式即可； （3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【解析】（1）解：， 将看成整体，令， 则原式， 再将“A”还原，可得原式， ∴； 故答案为． （2）略 （3）略 24．（8分）分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，灵活选择合适的因式分解方法是解本题的关键． （1）利用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： （9） （3）． 25．（9分）已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【解析】 ， （4） ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 26．（9分）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： （1）对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； （2）对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（ ），设另一个因式为（ ），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； （3）对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】（1）±2 （2）a=0，b=-3； （3） 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【解析】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $