第1章 因式分解 综合测试题 2026-2027学年湘教版 数学 八年级上册

第1章综合测试题 湘教版八年级上册数学 · 因式分解 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a(a+b)=a²+ab B．a²+2a+1=a(a+2)+1 C．(a+b)(a−b)=a²−b² D．2a²−6ab=2a(a−3b) 2．多项式6x²y−9xy²+3xy的公因式是（　　） A．3x　　B．3y　　C．x²y　　D．3xy 3．因式分解：a²−4a=（　　） A．a(a−4)　　B．(a+2)(a−2)　　C．a(a+2)(a−2)　　D．(a−2)²−4 4．对于任意整数n，多项式(n+4)²−(n+2)²都能被（　　）整除 A．4　　B．5　　C．6　　D．7 5．某课外密码研究小组接收到一条密文：8x(m²−n²)−8y(m²−n²)。已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文—明文对照表： 密文 … m−n m+n x−y x+y 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文8x(m²−n²)−8y(m²−n²)用因式分解解码后，明文可能是（　　） A．我爱福田　　B．我爱福外　　C．我爱幸福　　D．幸福福田 6．把(x²−3)²−4在实数范围内因式分解，结果为（　　） A．(x²−1)(x²−5) B．(x−1)(x+1)(x²−5) C．(x−1)(x+1)(x−5)(x+5) D．(x−1)(x+1)(x−√5)(x+√5) 7．生活中我们经常用到密码，如到银行取款。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x⁴−y⁴因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x²+y²)，当x=9，y=9时，各因式的值是x−y=0，x+y=18，x²+y²=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码。类似的，对于多项式ax²−ay²，当取a=20时，用上述方法可以产生一个六位数密码为206614，已知x为正整数，则y的值为（　　） A．20　　B．26　　C．±20　　D．±26 8．3⁷−4×3⁶+11×3⁵能被下列哪个数整除（　　） A．7　　B．8　　C．10　　D．11 9．已知正实数a，b，x，y，满足ax=by+9，ay=bx+3，若图1中阴影部分的面积为9，则图2中阴影面积为（　　） A．8　　B．9　　C．12　　D．15 10．若一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“公正数”，例如：16=5²−3²，24=7²−5²，则16，24均为“公正数”，那么所有不超过2026的公正数之和为（　　） A．257048　　B．257068　　C．255054　　D．255024 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：xy+y²=____________． 12．分解因式：x²y−9y=____________． 13．已知x+y=5，x²=6，则−x(x+y)(x−y)−x(x+y)²的值为____________． 14．若x²−(m+2)x+16是完全平方式，则m²−2m+1的值为____________． 15．因式分解：x³−2x²y−7xy²−4y³=____________． 16．一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位和百位数字后得到的两位数，则称此数为“美好数”。例如：四位数2436，因为(2+4)²=36，所以2436是“美好数”；又如：四位数3572，因为(3+5)²≠72，所以3572不是“美好数”。按照这个规定，最小的“美好数”是____________。已知“美好数”M=abcd，记P(M)=(4a²+2ab−2b²−cd)÷(a−b)，Q(M)=ab+cd，当[P(M)+cd]÷11为整数，Q(M)为完全平方数时，满足条件的“美好数”M为____________。 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）把下列各式分解因式： (1) 3n(x−2)+(2−x) (2) 4y³−8y²+4y 18． （本题6分）已知m为整数，求证：(m+3)(m−2)−m(m−2)能被3整除。 19．（本题8分）利用因式分解计算下列各题： (1) 2026²−2025² (2) 101²−202×99+99² 20．（本题8分）探究题 已知 a³+b³+c³−3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)。 (1) 若a+b+c=0，求证：a³+b³+c³=3abc； (2) 利用结论计算：已知2025×2026×4051=16619835150，求2025³+2026³−4051³的值。 21．（本题10分）请运用整式乘法及因式分解的知识解决下列问题： (1) 求证：81⁴−27⁵−9⁷能被45整除； (2) 已知多项式4x³+9x²+mx+n能被x²+2x−3整除，求mⁿ的值。 22．（本题10分）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x+y)²+2(x+y)+1。 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则： 原式=A²+2A+1=(A+1)²。再将“A”还原，得原式=(x+y+1)²。 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1) 因式分解：(x−y)²+2(x−y)+1； (2) 证明：无论a，b取何值时，(a²b²−4a)(a²b²−4a−2)+1的值一定是非负数。 23．（本题12分）若一个整数能表示成a²+b²（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”。例如，5是“完美数”，因为5=2²+1²。再如，M=x²+2xy+2y²=(x+y)²+y²（x、y是整数），所以M也是“完美数”。 (1) 请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”； (2) 已知S=x²+4y²+2x−12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由。 (3) 如果数m、n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”。 24．（本题12分）已知m=1÷[(n+1)²−(n−1)²]（n是正整数），m叫作n的平方差倒数。例如1/12=1÷(4²−2²)，1/12叫作3的平方差倒数。 (1) 2的平方差倒数是____________； (2) m=2÷(42+n)是n的平方差倒数，求m的值； (3) 已知m=1÷[(a−2b)²−3(b²−2ab+28)]是某一正整数的平方差倒数（a、b是正整数），求a+b的最小值。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A A D D B A A 二、填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 y(x+y) y(x−3)(x+3) −60 25或121 (x+y)²(x−4y) 1425；1764 三、解答题（共72分） 17．(1)(x−2)(3n−1)；(2)4y(y−1)² 解：(1) 原式=3n(x−2)−(x−2)=(x−2)(3n−1)。 (2) 原式=4y(y²−2y+1)=4y(y−1)²。 评分：每小题3分，其中提取公因式正确2分，结果正确1分。 18．证明 (m+3)(m−2)−m(m−2)=(m−2)[(m+3)−m]=3(m−2)。 因为m为整数，所以3(m−2)含有因数3，故原式能被3整除。 评分：正确提取公因式(m−2)并化为3(m−2)得4分，说明能被3整除得2分。 19．(1)4051；(2)4 解：(1) 2026²−2025²=(2026−2025)(2026+2025)=1×4051=4051。 (2) 101²−202×99+99²=101²−2×101×99+99²=(101−99)²=2²=4。 评分：每小题4分，方法正确2分，结果正确2分。 20．(1)略；(2)−49859505450 (1) 证明：当a+b+c=0时，代入恒等式右边(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)=0， 得a³+b³+c³−3abc=0，即a³+b³+c³=3abc。 (2) 因为2025+2026+(−4051)=0，2025×2026×4051=16619835150，由(1)得 2025³+2026³+(−4051)³=3×2025×2026×(−4051)， 即2025³+2026³−4051³=−3×2025×2026×4051=−49859505450。 评分：(1)4分；(2)正确套用结论2分，结果正确2分。 21．(1)略；(2)m=−10，n=−3，mⁿ=−1/1000 (1) 81⁴−27⁵−9⁷=(3⁴)⁴−(3³)⁵−(3²)⁷=3¹⁶−3¹⁵−3¹⁴=3¹⁴(9−3−1)=3¹⁴×5=3¹²×45， 含有因数45，故能被45整除。 (2) 设4x³+9x²+mx+n=(x²+2x−3)(4x+1)，展开得(x²+2x−3)(4x+1)=4x³+9x²−10x−3， 故m=−10，n=−3，mⁿ=(−10)⁻³=−1/1000。 评分：(1)化为3¹⁴×5或含45的因式4分，下结论1分；(2)求出m、n各2分，求出mⁿ1分。 22．(1)(x−y+1)²；(2)证明略 (1) 原式=[(x−y)+1]²=(x−y+1)²。 (2) 令t=a²b²−4a，则原式=t(t−2)+1=t²−2t+1=(t−1)²。 因为(t−1)²≥0，所以原式的值一定是非负数。 评分：(1)4分；(2)整体换元2分，配方2分，说明非负2分。 23．(1)2（或8）为完美数；41是完美数；(2)k=10；(3)证明略 (1) 如2=1²+1²，故2是小于10的“完美数”；41=5²+4²=25+16，故41是“完美数”。 (2) S=x²+4y²+2x−12y+k=(x+1)²−1+(2y−3)²−9+k=(x+1)²+(2y−3)²+k−10。 取k=10，则S=(x+1)²+(2y−3)²，为两个整数的平方和，故S是“完美数”。 (3) 设m=a²+b²，n=c²+d²（a、b、c、d为整数），则 mn=(a²+b²)(c²+d²)=(ac−bd)²+(ad+bc)²，故mn也是“完美数”。 评分：(1)3分；(2)配方2分，正确取k并说明3分；(3)4分。 24．(1)1/8；(2)m=1/24；(3)10 解：由(n+1)²−(n−1)²=4n，知n的平方差倒数m=1/(4n)。 (1) 当n=2时，m=1/(4×2)=1/8。 (2) 依题意1/(4n)=2/(42+n)，则8n=42+n，解得n=6，故m=1/(4×6)=1/24。 (3) (a−2b)²−3(b²−2ab+28)=a²+2ab+b²−84=(a+b)²−84。 要与某正整数n的平方差倒数相等，需(a+b)²−84=4n为正的倍数。 则(a+b)²>84且a+b为偶数，a+b≥10；当a+b=10时，100−84=16=4×4，n=4成立。 故a+b的最小值为10。 评分：(1)3分；(2)列方程2分，求值2分；(3)化简分母2分，得a+b=10得3分。 学科网（北京）股份有限公司 $