第13章 勾股定理（单元测试）2026-2027学年数学新教材华东师大版八年级上册

第13章 勾股定理 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键． 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解． 【解析】A、∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选B ． 2．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解析】如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选B． 3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【解析】A、三角形的三边长分别为3，，， ∵， ∴选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； B、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； C、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意； D、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； 故选C． 4．如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ） A．6 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【解析】由勾股定理得：， 即， ∵， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选B． 5．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【解析】根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选A． 6．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大正方形的面积4个全等直角三角形的总面积小正方形面积，列式解答即可； 【解析】图中大正方形的边长为直角三角形两条直角边的和，因此大正方形的面积可表示为， 以斜边为边的小正方形面积是， 4个全等直角三角形的总面积为， ∴， 展开化简后可得， 其余选项：A是错误的边长关系； B是勾股定理的最终结论，不是该图的验证过程等式； C是另一种勾股定理验证图的面积等式，和本题图形不符； D符合题意．故选D． 7．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【解析】∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】根据题目可知“生长”次后，所有正方形的面积和是；“生长”次后，所有的正方形的面积和是，探究规律求出“生长”次后形成图形中所有正方形的面积之和即可． 【解析】设直角三角形的两条直角边为：，斜边为， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 由图可知，“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴此时，所有正方形的面积和为：， 由图2可知，“生长”次后，所有正方形的面积和为：， … ∴在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是：．故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9．如图，数轴上点A所表示的数是________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理可得数轴上表示的点与其右侧点之间的距离，再根据数轴的性质解答即可得． 【解析】∵数轴上表示的点与其右侧点之间的距离为， ∴数轴上点所表示的数是．故答案为$-1+\sqrt{5}$ ## $\sqrt{5}-1$． 10．如图，在中，在、上分别截取、，使，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为________． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再运用勾股定理列式计算得，根据作图过程，得出是的平分线，最后结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即可作答． 【解析】∵，， ∴， 在中，， 根据作图过程，得出是的平分线， ∵， ∴点到的距离， 故答案为3． 11．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可． 【解析】如图所示：根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有（米）． 故答案为． 12．如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是________． 【答案】41 【分析】要解决蚂蚁从点爬到点的最短路线长度的平方问题，需将立体组合体的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”转化为直角三角形问题，再通过勾股定理计算．关键是确定展开后直角三角形两条直角边的长度． 【解析】由20个棱长为1的小正方体搭成组合体，观察结构可知：组合体的长为、宽为、高为．蚂蚁在立体表面爬行的最短路径，需将表面展开为平面．点与点在同一平面内形成直角三角形，其两条直角边分别为： 水平方向：宽与高之和，即； 垂直方向：长，即． 根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和．因此，最短路线长度的平方为： 故答案为41 【点睛】本题的核心是将立体图形表面展开为平面图形，把空间中的最短路径问题转化为平面上的直角三角形问题，再利用勾股定理求解．关键在于准确分析组合体的长、宽、高，并选择合适的展开方式确定直角边长度． 13．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，设，则，，再次使用勾股定理解答即可． 【解析】根据勾股定理，得， 设，则，， 根据勾股定理，得， 解得，负的舍去， 故即梯子的底端B向右滑动． 故答案为． 14．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为________m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 【解析】由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15．（7分）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（ ），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【解析】是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． 16．（7分）笔直的河流一侧有一旅游地可直接到达河边的两个漂流点A，B，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得．请你求出原路线的长，并说明理由． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【解析】∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17．（8分）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【解析】∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 18．（8分）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 【答案】遥控信号会相互干扰 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是通过设时间为未知数，结合两车距终点的距离和求出行驶时间，再利用勾股定理计算两车距离并判断是否干扰． 设行驶时间为秒，根据两车距的距离之和为列方程求；再利用勾股定理计算此时两车的距离，与比较得出结论． 【解析】设行驶时间为秒， 由题意得： ， 解得． 此时，小王的赛车距的距离为（ ）， 小林的赛车距的距离为（ ）． 由勾股定理，两车之间的距离为：（ ）． ∵， ∴遥控信号会相互干扰． 答：遥控信号会相互干扰． 19．（8分）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． （1）求的距离； （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】（1）米 （2）大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【解析】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 20．（8分）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． （1）求水池的深度． （2）数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】（1）12尺 （2） 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【解析】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 21．（8分）如图，每个小正方形的边长都为，，在正方形网格的格点上． （1）线段________； （2）在图中画出以为斜边的所有直角，且点在正方形网格的格点上． 【答案】（1）5 （2）解：如图所示． 【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理计算线段长度； （2）在网格格点上找出满足的所有点． 【解析】（1）解：由勾股定理得：． （2）解：∵为斜边，且在格点上， ∴需满足 符合条件的格点构成的直角三角形边长组合为： ①（即或）； ②（即或，）． 22．（8分）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求，两点之间的距离； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)，两点之间的距离为 （2）海港不受台风影响，理由如下： 过点作于， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港不受台风影响． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【解析】（1）解：， ， ，， ； （2）略 23．（8分）如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． （1）请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求中转站O离C地的距离． 【答案】（1）如图； （2） 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作的垂直平分线与交于点O，即； （2）设，则，在中，，在中，，可得，即可求解. 【解析】（1）解：作的垂直平分线与交于点O，即； （2）解：由题可知：， ， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴中转站O离C地的距离为. 24．（8分）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移） 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【解析】（小试牛刀） 由图形可得 化简可得 故答案为，，，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得： ，则的最小值，即为的最小值 由三角形三边关系可得：，当三点共线时 ∴的最小值为，米 故答案为米； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 故答案为 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 勾股定理 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 2．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ） A．6 B．4 C．5 D．8 5．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（ ） A．1 B．2 C．3 D． 6．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（ ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ） A．48 B．60 C．76 D．80 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9．如图，数轴上点A所表示的数是________． 10．如图，在中，在、上分别截取、，使，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为________． 11．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是________米． 12．如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度的平方是________． 13．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动________． 14．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为________m． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15．（7分）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 16．（7分）笔直的河流一侧有一旅游地可直接到达河边的两个漂流点A，B，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得．请你求出原路线的长，并说明理由． 17．（8分）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 18．（8分）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 19．（8分）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． （1）求的距离； （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 20．（8分）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． （1）求水池的深度． （2）数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 21．（8分）如图，每个小正方形的边长都为，，在正方形网格的格点上． （1）线段________； （2）在图中画出以为斜边的所有直角，且点在正方形网格的格点上． 22．（8分）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求，两点之间的距离； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 23．（8分）如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． （1）请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求中转站O离C地的距离． 24．（8分）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 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