第13章 勾股定理（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材华东师大版八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章 勾股定理·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3． 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里（1里），中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？其大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为7里，24里，25里，则这块沙田的面积为（     ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c为的三边长，下列条件中能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 5．线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图，为等腰，那么的面积为（     ）． A． B． C． D． 7．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 8．与都是直角三角形，其中与是直角，如下图所示．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为S、、、，（     ） A．1 B． C．10 D． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 10．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 12．中，是边上的高，已知，，，则长为________． 13．直角三角形的两边长是6和8，则以第三边长为边长的正方形面积为________． 14．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 15．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线方向以的速度匀速运动．设点的运动时间为．当为直角三角形时，的值为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图所示一块四边形零件，已知，测得，，，，求这个零件的面积． 17．（8分）如图，一个长方体形盒子的长为，宽为，高为，点到点的距离是．一只蚂蚁沿盒的外表面从点处爬到点处，那么它爬行的最短路程是多少？ 18．（8分）如图是一块三角形土地，点D是边上一点，其中米，米，米． (1)求证： (2)若这块土地的面积，试求的周长． 19．（9分）如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 20．（9分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 21．（10分）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． 求代数式的最小值． 解题思路：如图，C为线段上一动点，分别过B，D作，连接，．已知．设，则则问题转化成求的最小值． (1)上述的最小值为__________； (2)用几何构图法求代数式的最小值； (3)用几何构图法求方程的解． 22．（11分）【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 (2)如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； (3)已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 23．（12分）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①，这是著名的“赵爽弦图”、由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得出结论．这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图②放置，交于点F，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用图2验证勾股定理． (2)【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图3，小方格都是边长为1的正方形，则中边上的高是______； (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章勾股定理基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 6 8 9 10 B B C B B A B C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.13 12.10或6 13.100或28 5.2我号 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】解：连接AC, O B .∠B=90°，AB=20m,BC=15m, 六AC=√AB2+BC=25m'(3分) 在△ACD中，AD2+CD2=242+7=252=AC2, ∴.△ACD为直角三角形，∠D=90, .S四边形ABCD=S△ABC+SAACD= 号A8C+号ADCD×20×15+号×24×7=234m.（(8分) 2 17.(8分) 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图1'AB=202+10+5平=625m'(2分) 如图2：AB=20+5+102=9V725m'4分) 如图3'AB=/10+20P+5=V925cm'(6分) .V625<V725<925」 ∴.蚂蚁需要爬行的最短路程是625=25cm.(8分) 15 B C10 20 15 20 A 20 10 10 15 B C B 图1 图2 图3 18.(8分) 【答案】(1)证明：CD=90米，BC=150米，BD=120米， .CD2+BD=902+1202=8100+14400=22500,BC2=150=22500,(2分) ..CD2+BD2=BC2, .△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°， .BD⊥AC:(4分) (2)解：“S68c=7200m2” &2ACBD=7200 BD=120米， .AC=120米，(5分) :.AD=AC-CD=30米，(6分) 六AB=VAD2+BD=30V17米，(7分) 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六△ABC的周长=AC+BC+AB=120+150+3017=270+30V17米(8分) 19.(9分) 【详解】(1)解：，∠ABD=90°，AB=8,AD=17, BD=AD2-AB=17-g=15'1分) ,BC=9,CD=12 BC2+CD2=92+12=225=152=BD, .∠BCD=90, △BCD的面积为： 号BC:CD=号×9×12=54.4分) (2)解：如图，过B作BH⊥AD于H, B ∠ABD=90°， 7AD:BH支ABBD,(6 :AB=8,AD=17,BD=15, BH=8×15=120 1717 20 ∴.△ABD中AD边上的高的长度为 17. (9分) 20.(9分) 【详解】(I)解：由题意可知，AC⊥BC,即△ACB为直角三角形，∠ACB=90° 已知滑块B与物体C的水平距离BC=6dm,绳子总长度为18dm,因此斜段绳长满足AB+AC=18dm. 设AC=xdm,则AB=(18-x)dm」 在Rt△ACB中，由勾股定理可得： AC+BC=AB 代入数值： 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+62=(18-x2 解得：X=8. ∴.AC=8dm.(4分) (2)解：由题意得，点D是定滑轮A在地面轨道上的垂足， 由(1)可知定滑轮A距离地面的竖直高度AD=8dm,该高度始终不变，CD=7dm, ∴.定滑轮A到物体C的剩余绳长为：AD-CD=8-7=1dm. 由于绳子总长度保持18dm不变， .滑块一侧的斜段绳长AB=18-1=17dm, 在Rt△ADB中，∠ADE=90°， BD=VAB2-AD2=17-82=225=15dm（7分) .DE=6dm, ∴，滑块向左滑动的距离：BE=BD-DE=15-6=9dm.(9分) 21.(10分) 【详解】(1)解：如图，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F,则四边形ABDF是矩形， .AB=1,DE=2,BD=4 ∴.AF=BD=4,AB=DF=1. .EF=DE+DF=3, ∴.AE=AF2+EF2=V16+9=5' .'AC+EC≥AE, ∴.AC+EC≥5， .AC+CE的最小值为5， .AC=Vx2+1,CE=4-x2+41 .X+1+4-x+41x≥0的最小值为5， 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：5；(2分) (2)如图，取线段BD=12,分别过B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,且AB=2,DE=3,连接AE, ---F D E 设BC=x则AC=VX+4:CE=12-x+9 .'AC+EC≥AE, 即当A、CB在同一直线上时，AC+CE的值最小，线段AE的长即为X+4+12-x+9x≥0的 最小值， 过点A作AF⊥ED交ED的延长线于点F,则四边形ABDF是矩形， .BD=12,AB=2,DE=3, .'AF=BD=12,AB=DF=2,(4) .EF=DE+DF=5,(5分) .AE=VAF2+EF2=122+52=13 即X+4+12-x+9x≥0的最小值为13：(6分) (3)如图构造△ABC,CD⊥AB于点D,AC=3,BC=4,如图所示： D B 设CD=x则AD=g-X,BD=16-X,AB=g-X+/16-X=5' 32+42=52, .∴.∠ACB=90°， 1 、.2×3×4 ×5x,(8分) 2 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得X=2.4, 另外，x=-2.4也满足方程。 ∴.方程的解是x=±2.4.(10分) 22.（11分) 【容案10吃*m-1×㎡+12分) (2)证明：.a=2m,b=m2-1,c=m2+1(m为大于1的整数)， .a=2m,b=m2-1,c=m2+1都是正整数， .a2=2m2=4m2b2=m2-1=m4-2m2+1'c2=m2+1=m+2m2+14分) .a2+b2=m4-2m2+1+4m2=m4+2m2+1=c2, 故a、b、c为勾股数.(6分) (3)解：以a,b,C为三边长的三角形是直角三角形.(7分)理由如下： .'a=2m,b=m2-1,c=m2+1(m为大于1的整数)， 当a=8时， ∴.a=2m=8, 解得m=4(8分) .b=m2-1=15,c=m2+1=17,(9分) .a2=82=64,b2=152=225,c2=17=289 .a2+b2=64+225=289=172=c2, ∴.c所对的角为90°， 故该三角形是直角三角形.（11分) 23.(12分) 【答案】(I)证明：：S四边形ABDc= BCx AF+BCx DF-BC*AD S 又：S四边形ABDC=S梯形AEDC+S△EBD, b*ab*号a-bla 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 a2+b2=c2.(4分) g0 (3)解：在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD=AB2-BD2=62-x2=36-x2 .BD+CD=BC=8, .CD=BC-BD=8-X,(7分) 在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD2=AC2-CD2=72-8-x2=-15+16x-x2 .36-x2=-15+16x-x2,(9分) 解得x=5 61 (12分) 7/7 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章 勾股定理·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由非负性求出三角形三边长，再用勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，， ∵， ∴这个三角形是直角三角形． 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据勾股定理的几何意义，大正方形的面积等于正方形、、、的面积之和． 【详解】解：设正方形的面积为，根据勾股定理的几何意义，正方形与下方的正方形面积为， 正方形与下方的正方形面积为， ∵最大正方形的面积等于其上方两个正方形面积之和，， 即 ， 解得． 3． 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里（1里），中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？其大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为7里，24里，25里，则这块沙田的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再统一长度单位后计算面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，两条直角边长为7里，24里， ∵里， ∴里，里， ∴沙田面积为． 4．已知a，b，c为的三边长，下列条件中能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据勾股定理的逆定理判断A，B，C，再根据三角形内角和定理解答D． 【详解】解：A、设， 则， ∴， 所以不是直角三角形； B、∵， ∴， 所以不是直角三角形； C、∵， ∴， ∴是直角三角形； D、设， 则， 解得， 则， 所以不是直角三角形． 5．线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先化简含乘方的边长，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一判断是否为直角三角形． 【详解】解：A．，是直角三角形； B．，，，，不能构成三角形； C．，是直角三角形； D．，是直角三角形． 6．如图，为等腰，那么的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，作于点，利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，根据长方形性质得，最后计算面积． 【详解】解：过点作于点，作于点， ， ， ， ， 解得， 在中，， ， 四边形是长方形， ， 为等腰直角三角形， ， ． 7．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 8．与都是直角三角形，其中与是直角，如下图所示．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为S、、、，（     ） A．1 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，求出S、、、，结合勾股定理，可得到与S，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点O为的中点，即， 由勾股定理得： ， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ∴． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 10．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，接着证明，然后根据勾股定理可计算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】13 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示：表示大树，表示小树，过点作，垂足为， 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 12．中，是边上的高，已知，，，则长为________． 【答案】或 【分析】分高在内部和外部两种情况，利用勾股定理求出后计算的长度。 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴ ，是直角三角形， 在中，根据勾股定理可得 ， 分两种情况讨论： 当点落在线段上时， ； 当点落在线段的延长线上时， ． 因此的长为或． 13．直角三角形的两边长是6和8，则以第三边长为边长的正方形面积为________． 【答案】或 【分析】题目未说明已知两边中哪条是斜边，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：设直角三角形第三边长为，所求正方形的面积为，分两种情况计算： ①当为直角边时，第三边为斜边 由勾股定理得，即正方形面积为； ②为斜边时，第三边为直角边 由勾股定理得，即正方形面积为； 因此所求正方形面积为或． 14．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， ∴． 15．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线方向以的速度匀速运动．设点的运动时间为．当为直角三角形时，的值为______． 【答案】2或 【分析】分类讨论，分为，两种情况，用勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 当点P和点C重合时，是直角三角形，此时，， 当时，在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，，， 由勾股定理得：， 则， 解得：， 综上所述，t的值为2或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图所示一块四边形零件，已知，测得，，，，求这个零件的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理可知，再根据勾股定理的逆定理可知，即可求解面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，（3分） 在中，, ∴为直角三角形，, ∴．（8分） 17．（8分）如图，一个长方体形盒子的长为，宽为，高为，点到点的距离是．一只蚂蚁沿盒的外表面从点处爬到点处，那么它爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁需要爬行的最短路程是 【分析】将长方体侧面展开，分别根据勾股定理求出的长，再比较大小即可． 【详解】解：如图，，（2分） 如图，，（4分） 如图，，（6分） ∵， ∴蚂蚁需要爬行的最短路程是．（8分） 18．（8分）如图是一块三角形土地，点D是边上一点，其中米，米，米． (1)求证： (2)若这块土地的面积，试求的周长． 【答案】(1)证明：∵米，米，米， ∴，（2分） ∴， ∴是直角三角形，且， ∴；（4分） （2）解：∵， ∴， ∵米， ∴米，（5分） ∴米，（6分） ∴米，（7分） ∴的周长米（8分） 【分析】（1）可证明得到，则可证明； （2）利用三角形面积公式求出的长，则可求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴的周长米 19．（9分）如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，（1分） ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为：．（4分） （2）解：如图，过作于， ∵， ∴，（6分） ∵，，， ∴， ∴中边上的高的长度为．（9分） 20．（9分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）识别直角三角形，利用绳子总长建立两条绳长的数量关系，设未知数，用勾股定理列方程求解竖直距离； （2）定滑轮离地高度恒定，结合物体上升高度求出滑轮与物体间绳段长度，得到滑块侧斜绳长，再次使用勾股定理求出新水平距离，作差得到滑块滑动距离． 【详解】（1）解：由题意可知，，即为直角三角形，． 已知滑块与物体的水平距离，绳子总长度为，因此斜段绳长满足． 设，则． 在中，由勾股定理可得： 代入数值： 解得：． ．（4分） （2）解：由题意得，点D是定滑轮A在地面轨道上的垂足， 由（1）可知定滑轮距离地面的竖直高度，该高度始终不变，， ∴定滑轮到物体的剩余绳长为：． 由于绳子总长度保持不变， ∴滑块一侧的斜段绳长． 在中，， ∴．（7分） ∵， ∴滑块向左滑动的距离：．（9分） 21．（10分）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． 求代数式的最小值． 解题思路：如图，C为线段上一动点，分别过B，D作，连接，．已知．设，则则问题转化成求的最小值． (1)上述的最小值为__________； (2)用几何构图法求代数式的最小值； (3)用几何构图法求方程的解． 【答案】(1)5 (2)的最小值为13 (3)方程的解是 【详解】（1）解：如图，过点A作交的延长线于点F，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的最小值为5， ， 的最小值为5， 故答案为：5；（2分） （2）如图，取线段，分别过B、D作，且，连接， 设,则，， ， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小，线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于点F，则四边形是矩形， ， ，（4分） ，（5分） ， 即的最小值为13；（6分） （3）如图构造，于点D，，如图所示： 设，则， ， ， ，（8分） 解得， 另外，也满足方程． 方程的解是．（10分） 22．（11分）【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 (2)如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； (3)已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 【答案】(1)（2分） (2)证明：，，（为大于1的整数）， ，，都是正整数， ，，（4分） ， 故、、为勾股数．（6分） (3)解：以，，为三边长的三角形是直角三角形．（7分）理由如下： ，，（为大于1的整数）， 当时， ， 解得（8分） ，，（9分） ，， ， 所对的角为， 故该三角形是直角三角形．（11分） 【分析】（1）根据特例发现，股中括号里的第一项恰好是勾的平方，弦中括号里的第一项恰好是勾的平方，其余特点，保持不变，解答即可； （2）根据勾股数的定义，解答即可； （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． （3）解：略． 23．（12分）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①，这是著名的“赵爽弦图”、由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得出结论．这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图②放置，交于点F，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用图2验证勾股定理． (2)【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图3，小方格都是边长为1的正方形，则中边上的高是______； (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴．（4分） (2)（6分） （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴，（7分） 在中，由勾股定理得 ∴，（9分） 解得．（12分） 【分析】（1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设边上的高为， ∵， ∴． ∴中边上的高是； （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章勾股定理·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.三角形的三边长分别为a,b,c,且满足1a-5+y12-b+c-13=0则这个三角形是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是() A A.4 B.6 C.8 D.10 3. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中 小斜七里(1里=500m),中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？其大意：有一块三角形沙田， 三条边长分别为7里，24里，25里，则这块沙田的面积为() A.84km2 B.56km2 C.21km2 D.28km2 4.已知a,b,c为△ABC的三边长，下列条件中能判定△ABC是直角三角形的是() A.a:b:c=2:3:4 C.a2=b2-c2 D.∠A:∠B:∠C=5:12:13 5.线段a、b、c不能组成直角三角形的是() A.a=15,b=8,c=17 B.a=32,b=42,c=52 C.a=41,b=4,c=5 D.a=7,b=24,c=25 6.如图，△ABC为等腰Rt△，∠ACB=90°，∠BDC=90°，BC=5,CD=4,那么△ADC的面积为 (). 117 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.12.5 B.8 C.15 D.10 7.如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为 DE.若AB=4,BF=2,则AE的长是() D 25 A. 8 B.3 c 8.△ABC与△ODC都是直角三角形，其中∠ABC与∠DOC是直角，如下图所示.图中所画出的六个 半圆形的圆心都用点标出，若阴影部分的面积分别为S、S1、S2、S3, S,+S2+S=() S B S, D A.1 B.0.1 C.10 9.如图，圆柱形玻璃杯高为15cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时 一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3Cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路 线长为（杯壁厚度不计）() 蚂蚁 B蜂蜜 217 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.14cm B.413cm C.16cm D.510cm 10.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度得到△ABC,点 A,B的对应点分别为A,B,点A恰好落在边AB上，连接BB.若AA=1,AB=2,则线段BB的长 为() A.2 B.32 c.5 D.22 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在水平地面上，有一棵高9m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是12m.若一 只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行 1m. 12.△ABC中，AD是BC边上的高，已知AB=10,AD=6,CD=2,则BC长为 13.直角三角形的两边长是6和8，则以第三边长为边长的正方形面积为 14.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，折叠纸片使得点A落在BC边上点D处，折痕是BE 若AB=3,AC=4,则CE的长为 B D A 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AB=5cm,BC=4cm,点P从点B出发，沿射线BC方向以 2cm/s的速度匀速运动.设点P的运动时间为ts.当△ABP为直角三角形时，t的值为一· 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B> 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图所示一块四边形零件，己知∠B=90°，测得AB=20m,BC=15m,CD=7m, AD=24m,求这个零件的面积. D 17.(8分)如图，一个长方体形盒子的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离是5cm. 一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短路程是多少？ 20 10 15 18.(8分)如图是一块三角形土地，点D是AC边上一点，其中CD=90米，BC=150米，BD=120米， (I)求证：BD⊥AC ②)若这块士地的面积s。Ar=7200m2,试求△ABC的周长. 19.(9分)如图，在△ABD中，∠ABD=90°，AB=8,AD=17,BC=9,CD=12, 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求△BCD的面积： (2)求△ABD中AD边上的高的长度. 20.(9分)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A, 一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来 调节物体C的升降. B B E D 图1 图2 (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为6dm.绳子的总长度为18dm(实验过 程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计)，求物体C到定滑轮A的垂直距离 AC的长： (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体c升高7dm(即CD=7dm),求滑块B向左滑动的 距离BE 21.(10分)“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解 答问题， 求代数式X+1+4-x+4x≥0的最小值. 解题思路：如图，C为线段BD上一动点，分别过B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知 AB=1,DE=2,BD=4设BC=X则AC=X+1,CE=4-X+4则问题转化成求AC+CE的最小 值. 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )上述X2+1+4=x+4x≥0的最小值为 (②用几何构图法求代数式X+4+12-X+9x≥0的最小值： 3)用几何构图法求方程9-又+V16-X-5的解。 22.(11分)【应用举例】 观察3,4,5：5,12,13；7,24,25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股4=号×9-1.5=号×9+1： 当勾为5时，股12=2×25-1，弦13=2×25+1 当勾为7时，殷24=×49-1.弦25=号×49+1 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股= 弦= 【问题解决】 (2)如果a=2m,b=m2-1,c=m2+1(m为大于1的整数)，则a、b、c为勾股数.请你证明其正确性： (3)已知在(2)的条件下，a=8,请判断以a,b,c为三边长的三角形的形状. 23.（12分)综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图①，这是著名的“赵爽弦图”、由四个全等 的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理.思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c,另一 种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即4×2b+b-a,从而得到等式 617 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c2=4x1 b+b-a,化简得出结论a2+b2=c2.这里是用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程 的方法，我们称之为“双求法” B a-b D a b -- AbC B B D 图1 图2 图3 图4 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形ABC和直角三角形DEA按如图②放 置，AD,BC交于点F,其三边长分别为a,b,c,∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD (1)请用图2验证勾股定理。 (2)【方法迁移】 请利用“双求法”解答问题：如图3，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是 (3)如图④，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=6,AC=7,BC=8,设BD=x,求x的值. 7/7