第13章 勾股定理 单元训练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，覆盖勾股定理概念、计算、应用全路径，适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直角三角形性质、勾股定理直接计算|如选择1考锐角关系，填空13巩固互余概念，夯实基础| |中档|逆定理应用、生活情境问题|如选择6梯子滑动、20题社区改建，体现模型意识| |提升|动态几何、数学文化与综合证明|如选择11对称动点问题、22题赵爽弦图证明，发展创新思维|

华东师大版（2024）八年级上 第13章 勾股定理 单元训练 一．选择题（共12小题） 1．直角△ABC中，∠B=37°，则另一个锐角的度数为（　　） A．37° B．53° C．63° D．73° 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB=BC=17，AD=8，则CD的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形，则它的边长是（　　） A．2 B．3 C． D．4 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则AB的值是（　　） A．10 B． C． D．4.8 5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，6，8 C．5，7，9 D．6，8，10 6．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m,如果梯子的顶端下滑4m,那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62=102 B．（10-x）2+62=x2 C．x2+62=（10-x）2 D．（10-x）2+x2=62 8．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，AD是△ABC的中线，BD=4，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 10．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（　　） A．64 B．81 C．169 D．225 11．题目：“如图，已知，过端点B作射线BG⊥AB，点C为射线BG上一点，且BC=3．点P为射线BG上的动点，△ABP关于AP对称的图形为△ADP（点B的对称点为点D），连接CD．若△CDP是直角三角形，求BP的长．”对于其答案，甲答：BP=2，乙答：，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 12．如图，在△ABC中，AB=BC=2，AO=BO，P是射线CO上的动点，∠AOC=60°，则当△PAB是直角三角形时，AP的长为（　　） A． B．，1 C．，1， D．， 二．填空题（共5小题） 13．若某个直角三角形的一个锐角是63°，则它的另一个锐角的度数为______． 14．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是______． 15．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边AB，AC与网格对角线的交点，连接DE，则DE的长为______． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的三边为边向外作正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积．若S1=6，S3=10，则S2的值为______． 17．已知∠BAD=90°，AB=4，AD=3，BC=13，CD=12，连接BD，则∠BDC的度数为______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=3，BC=2，CD=6，DE=4，AE=． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 19．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E．已知AE=7，AB=20，BC=15，CE=24． （1）求线段AC的长． （2）判断△ABC是什么特殊三角形，并说明理由． 20．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量∠B=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m. （1）求A、C两点之间的距离． （2）求购买运动型塑胶地板的费用． 21．如图，在△ABC中，点E为边AB上的一点，连接CE，过点A作AF⊥AB，交CE延长线于点F，过点A作AD⊥CE，垂足为D．已知AD=7，CD=24，AB=20，BC=15． （1）求线段AC的长； （2）求证：∠BCE=∠DFA． 22．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a,b,c,∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD． （1）请用a,b,c,分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则△ABC面积为 ______． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=5，AC=6，BC=7，设BD=x,求x的值． 华东师大版（2024）八年级上 第13章 勾股定理 单元训练 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、A 3、C 4、A 5、D 6、C 7、C 8、C 9、B 10、C 11、D 12、C  二．填空题（共5小题） 13、27°； 14、6； 15、； 16、16； 17、90°；  三．解答题（共5小题） 18、（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2， ∴AC===． ∵在Rt△EDC中，∠D=90°，CD=6，DE=4， ∴CE====2， （2）证明：∵AC=，CE=，AE=， ∴AE2=AC2+CE2， ∴∠ACE=90°． 19、解：（1）∵AE⊥CD， ∴△AEC是直角三角形， ∵AE=7，CE=24， ∴由勾股定理可得，； （2）∵202+152=252， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形． 20、解：（1）如图，连接AC， ∵∠B=90°，AB=9m,BC=12m, ∴， 答：A、C两点之间的距离15m. （2）由（1）已得：AC=15m, ∵CD=8m,AD=17m, ∴CD2+AC2=82+152=289=172=AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， ∴四边形ABCD的面积为=114（m2）， ∵运动型塑胶地板每平方米200元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为114×200=22800（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元． 21、（1）解：∵AD⊥CE， ∴∠D=90°， ∵AD=7，DC=24， ∴AC=； （2）证明：∵AC=25，AB=20，BC=15，202+152=252=625，AC2=252=625， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B为直角， ∴∠BCE+∠BEC=90°， ∵AF⊥AB， ∴∠DFA+∠AEF=90°， ∵∠AEF=∠BEC， ∴∠BCE=∠DFA． 22、（1）证明：∵，，， S四边形ABCD=S梯形AEDC+S△BED， ∴， ∴， ∴a2+b2=c2； （2）解：， 故答案为：6； （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD2=AB2-BD2=52-x2=25-x2 ∵BD+CD=BC=7， ∴CD=BC-BD=7-x 在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD2=AC2-CD2=62-（7-x）2=-13+14x-x2 ∴25-x2=-13+14x-x2， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $