第12章 全等三角形（单元自测）数学新教材华东师大版八年级上册

第12章 全等三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，可以利用来证明的依据是（ ） A． B． C． D． 2．下列命题的逆命题中，是真命题的为（ ） A．无理数都是无限小数 B．成轴对称的两个图形全等 C．若，则 D．直角三角形的两锐角互余 3．用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放两个含角的三角板，使得短直角边分别在上，长直角边上的刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定方法是（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（ ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 6．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 7．如图，在与中，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9．命题“等边对等角”是________命题．（填“真”或“假”） 10．如图，用尺规作的依据是________． 11．如图，已知，要使，还需添加的一个条件是________．（写出一个即可） 12．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ________． 13．如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有________． 14．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15．（7分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． （1）在图①中的边上找一点，使得； （2）在图②中画出一个，使，为格点（点不与点重合）； （3）在图③中以为边画一个等腰三角形． 16．（7分）如图，在中，点D在边上，． （1）写出以点B为顶点的三角形； （2）写出以为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形． 17．（8分）如图，四边形ABCD中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想筝形的对角线AC与BD有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； （2）过点D作交BC于点E，若，，求DE的长． 18．（8分）如图，在Rt中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上． （1）可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）个． A.4   B.5   C.6   D.7 （2）请利用无刻度的直尺和圆规，画出所有的以为一边且满足题目要求的等腰三角形． 19．（8分）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的长． 20．（8分）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 21．（8分）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的和最小：（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有 个． 22．（8分）如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 23．（8分）如图，，，点D在边上，和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 24．（8分）如图，在中，，P为射线上一动点（点P不与点B重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，    （1）如图1，当点P在线段上时，求点Q到直线的距离； （2）如图2，当点P运动到的延长线上时，连接，交直线于点M，求证：； （3）点P在运动过程中，连接，交直线于点M，若，则的长为________． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 全等三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．如图，点B，C，E，F在同一直线上，，，，可以利用来证明的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由，得到，由即可证明． 【解析】∵， ∴， 在和中， ， ∴, 故选D． 2．下列命题的逆命题中，是真命题的为（ ） A．无理数都是无限小数 B．成轴对称的两个图形全等 C．若，则 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，准确找出各选项的逆命题是解题的关键． 找出各选项的逆命题，再对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】A．逆命题无限小数都是无理数为假命题，故本选项不符合题意； B．逆命题全等的两个图形成轴对称为假命题，故本选项不符合题意； C．逆命题若，则为假命题，故本选项不符合题意； D．逆命题若三角形的两锐角互余，则它是直角三角形为真命题，故本选项符合题意 故选D． 3．用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放两个含角的三角板，使得短直角边分别在上，长直角边上的刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定方法是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证明即可． 【解析】由题意，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解析】A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选B． 5．如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（ ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 【分析】利用角平分线的尺规作图和三角形全等的判定定理即可求解． 【解析】如图， 以点为圆心，为半径作弧，交、于点、，分别以点、为圆心，以为半径作弧，交于点，连接，即为的平分线． 在和中， ∴， ∴，即为的平分线．故选A． 6．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】判定全等需边、角对应相等，两边及其中一边的对角不能判定一般三角形全等，据此逐一验证四组条件. 【解析】① ，，，符合判定，可确定. ② ，，，边与角不对应，不能确定全等. ③ ，，，边不对应，不能确定全等. ④ ，，，为两边及其中一边的对角，不能确定全等. 综上，能确定全等的条件共组.故选A． 7．如图，在与中，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（ ）是解题的关键．通过证明两个三角形全等，得出角的关系，进而求出的度数． 【解析】在和中， ，，， ， ， 又， ， 故选C． 8．如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【解析】由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9．命题“等边对等角”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 真 【分析】本题考查了真假命题的定义，等腰三角形的性质，“等边对等角”是等腰三角形的性质，是真命题，即可判断． 【解析】“等边对等角”是指在同一个三角形中，如果两条边相等，那么它们所对的角也相等，这是等腰三角形的性质定理，在初中数学中成立，因此是真命题， 故答案为真． 10．如图，用尺规作的依据是________． 【答案】 【解析】由作法得： 在和中， ， ．故答案为$\mathrm{SSS}$． 11．如图，已知，要使，还需添加的一个条件是________．（写出一个即可） 【答案】（或、等） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解析】∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为（或、等）． 12．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形三边关系，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【解析】如图，延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，， ， ， 故答案为． 13．如图，和均是等边三角形，、、三点在一条直线上，分别与交于点、．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有________． 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质可得，，可证明，可得到，，，故③正确；再证明，可得到，，故②④正确；进而得到，故①正确． 【解析】∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，，故③正确； ∵，，， ∴， ∴，，故②④正确； ∴，即，故①正确， 故结论正确的有①②③④．故答案为①②③④． 14．如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【解析】∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15．（7分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． （1）在图①中的边上找一点，使得； （2）在图②中画出一个，使，为格点（点不与点重合）； （3）在图③中以为边画一个等腰三角形． 【答案】（1） 取格点，连接，线段与的交点，即为线段的中点点的位置，如图所示： （2） 如图所示： 即为求作的， （3） 如图所示：点与点关于点所在的水平格线轴对称，此时，即为求作的． 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图及等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识，熟知相关性质是正确解答此题的关键． （1）取格点，线段与的交点，即为线段的中点点的位置； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点的位置． 【解析】（1） 理由：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 理由：与，两个三角形的底边都是，高都为4， ； （3）略 16．（7分）如图，在中，点D在边上，． （1）写出以点B为顶点的三角形； （2）写出以为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】（1）、 （2）、 （3）等腰三角形有、；等边三角形有：． 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【解析】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 17．（8分）如图，四边形ABCD中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）试猜想筝形的对角线AC与BD有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想； （2）过点D作交BC于点E，若，，求DE的长． 【答案】（1）   理由如下： 在和中， ， ， ， 又， ； （2）6 【分析】（1）由，根据全等三角形的判定定理证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明； （2）由，得，而，所以，则，最后根据线段和差关系即可求的长． 【解析】（1） 略 （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ． 18．（8分）如图，在Rt中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上． （1）可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）个． A.4   B.5   C.6   D.7 （2）请利用无刻度的直尺和圆规，画出所有的以为一边且满足题目要求的等腰三角形． 【答案】（1）D （2）见解析 【分析】（1）①以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；③以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；④以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形；⑤作的垂直平分线交于，则是等腰三角形；⑥作的垂直平分线交于，则是等腰三角形；⑦作的垂直平分线交于，则是等腰三角形； （2）由（1）可得． 【解析】（1）解：如图所示，图包含满足条件的两个等腰三角形，故可以画出个等腰三角形； （2）解：如图所示： 19．（8分）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵分别为上的高线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）5 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）分别为上的高线，得，即可根据直角三角形全等的判定定理证明； （2）由，得，由“等角对等边”得． 【解析】（1）略 （2）解：， ∴， ∴， ∴的长是5． 20．（8分）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1)， （2）证明：①与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ； ②在等边三角形中，， ， ， ； （3） 【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可； （2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可； （3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可． 【解析】（1）解：，，， ， 在与中， ， ； ； （2）略 （3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示： ， 是等边三角形， 与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， 则在等边三角形中，． 21．（8分）如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的和最小：（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有 个． 【答案】（1）如图， （2）如图； （3）3 【分析】本题考查了轴对称作图，最短路径问题等腰三角形的性质，解答（3）关键是根据题意构造底边的垂直平分线． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）在（1）的基础上，连交，直线m于点D，点D即为所求； （3）先做出的垂直平分线，再找到垂直平分线进过的格点即可． 【解析】（1）解：由题意，作，使它与关于直线m对称， （2）解：由题意，连，交直线m于点D，连，点即为所求； 理由：由作图可知，三点共线，，此时，最小，则点D即为所求． （3）解：如图，取点，画直线，理由：若是以为底边的等腰三角形， 则格点F在底边的垂直平分线上， 如图，取点，则可知，，，且, ∴， ∴，即点C是线段的中点， 同理，， ∴， ∴， ∴直线垂直平分线段， 将分别向上、向左平移1个，3个单位或者向下，向右平移1个，3个单位，分别得到直线上的格点， 则点即为所求． 故答案为3． 22．（8分）如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：连接． ∵ ，，点是的中点， ∴ ，，，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ （ ）， ∴ ． （2）16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化，解题的关键是连接，利用等腰直角三角形三线合一的性质构造全等三角形，将四边形面积转化为三角形面积求解． （1）连接，利用等腰直角三角形性质得到，，再通过同角的余角相等证明，从而用证明，得到． （2）由得，将四边形的面积转化为，再利用计算． 【解析】（1）略 （2）解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， 点是中点， ∴ ． ∴ 四边形的面积为． 答：四边形的面积为． 23．（8分）如图，，，点D在边上，和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【解析】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 24．（8分）如图，在中，，P为射线上一动点（点P不与点B重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，    （1）如图1，当点P在线段上时，求点Q到直线的距离； （2）如图2，当点P运动到的延长线上时，连接，交直线于点M，求证：； （3）点P在运动过程中，连接，交直线于点M，若，则的长为________． 【答案】（1）点Q到直线的距离为2； （2）作，交延长线于点，如下图，    由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）或． 【分析】（1）作，证明，得到，即可求解； （2）作，交延长线于点，先证明，再证明，即可求解； （3）分点P在线段上，点P运动到的延长线上,且点在线段上，点P运动到的延长线上，且点在线段的延长线上时，三种情况，利用全等三角形的性质，列方程求解即可． 【解析】（1）解：作，如下图： 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点Q到直线的距离为2； （2）略 （3）解：当点P在线段上时，作，如下图： 由（1）可得， ∴，， ∵，，， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，， 由可得，，解得， ，不符合题意； 当点P运动到的延长线上,且点在线段上时，作，交延长线于点，如下图， 由（2）可得：， ∵，，， ∴，即， 设，则，，， ∴， ∴， 由（2）可得，即， 解得，则． 当点P运动到的延长线上，且点在线段的延长线上时，作，交延长线于点，如下图，    由（2）可得：， ∵，，， ∴，即， 设，则，，， ∴， ∴， 由（2）可得，即， 解得，则． 综上，的长为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $