第十二章 全等三角形 质量检测卷 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 华东师大版初中数学八年级 (上) 第十二章 全等三角形质量检测卷（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.下列命题中的真命题是（ ） A.内错角相等 B.三角形内角和是 C.是有理数 D.若，则 2.如图全等的两个三角形是（       ） A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（       ）． A. B. C. D. 4.如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（        ） A. B. C. D. 5.如图，已知，，，，则的度数是（        ） A. B. C. D. 6.如图，和相交于点，，，下列说法错误的是（       ） A. B. C.但是 D.且 7.如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（       ） A. B. C. D. 8.如图，是的外角的平分线，，垂足为．若，，则的长为（       ） A. B. C. D. 9.如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（ ）秒时，与全等．（注：点与不重合） A. B.、 C.、、 D.、、 10.如图，点，，在同一条直线上，，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．有下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥．其中正确的结论有（       ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.命题“等角的补角相等”是一个________（填“真命题”或“假命题”）． 12.如图，，且，，三点共线，若，则________． 13.如图，在中，，D，E是外两点，连接，与交于点F，已知，，若，，则的长为________． 14.已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是________． 15.如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为________． 16.如图，等腰的底边的长为，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 判断下列命题的真假，并说明理由． （1）三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分； （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； （3）（为实数）． 18.（6分）推理填空：如图，已知，． 求证：，． 证明： （已知）， _______． （已知）， _______． _______． _______． 又_______， （已知）， _______． 19.（6分）已知：如图，，求证：． 20.(8分) 如图，已知点是的平分线上一点，，，求证： （1）； （2）是线段的垂直平分线． 21.(8分) 如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22.(8分) 如图，在与中，满足，． （1）求证：； （2）若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 23.(10分) 如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点E． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 24.(10分) 如图，四边形中，，平分，于点H． （1）求证：； （2）若，求的长． 25.(10分) 法国数学家皮埃尔·德·费马曾提出了一个极具趣味性的几何难题．如图1，已知，求作一点P，使得点P到三个顶点的距离之和最短（即的值最小）．后来人们将位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点称为“费马点”．确定费马点位置的方法是：如图2，分别以中的和为边，作等边和等边．连接、，记与的交点为P，点P即为费马点． 阅读上述文字后请解决下列问题： （1）证明：． （2）如图3，在（1）的基础上连接，以为边，在上取一点Q，使得．试判断的形状． （3）由（2）不难推断出，综上所述：若，，时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最短为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版初中数学八年级 (上) 第十二章 全等三角形质量检测卷（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.下列命题中的真命题是（ ） A.内错角相等 B.三角形内角和是 C.是有理数 D.若，则 2.如图全等的两个三角形是（       ） A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（       ）． A. B. C. D. 4.如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（        ） A. B. C. D. 5.如图，已知，，，，则的度数是（        ） A. B. C. D. 6.如图，和相交于点，，，下列说法错误的是（       ） A. B. C.但是 D.且 7.如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（       ） A. B. C. D. 8.如图，是的外角的平分线，，垂足为．若，，则的长为（       ） A. B. C. D. 9.如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（ ）秒时，与全等．（注：点与不重合） A. B.、 C.、、 D.、、 10.如图，点，，在同一条直线上，，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．有下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥．其中正确的结论有（       ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.命题“等角的补角相等”是一个________（填“真命题”或“假命题”）． 12.如图，，且，，三点共线，若，则________． 13.如图，在中，，D，E是外两点，连接，与交于点F，已知，，若，，则的长为________． 14.已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是________． 15.如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为________． 16.如图，等腰的底边的长为，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 判断下列命题的真假，并说明理由． （1）三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分； （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； （3）（为实数）． 18.（6分）推理填空：如图，已知，． 求证：，． 证明： （已知）， _______． （已知）， _______． _______． _______． 又_______， （已知）， _______． 19.（6分）已知：如图，，求证：． 20.(8分) 如图，已知点是的平分线上一点，，，求证： （1）； （2）是线段的垂直平分线． 21.(8分) 如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22.(8分) 如图，在与中，满足，． （1）求证：； （2）若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 23.(10分) 如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点E． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 24.(10分) 如图，四边形中，，平分，于点H． （1）求证：； （2）若，求的长． 25.(10分) 法国数学家皮埃尔·德·费马曾提出了一个极具趣味性的几何难题．如图1，已知，求作一点P，使得点P到三个顶点的距离之和最短（即的值最小）．后来人们将位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点称为“费马点”．确定费马点位置的方法是：如图2，分别以中的和为边，作等边和等边．连接、，记与的交点为P，点P即为费马点． 阅读上述文字后请解决下列问题： （1）证明：． （2）如图3，在（1）的基础上连接，以为边，在上取一点Q，使得．试判断的形状． （3）由（2）不难推断出，综上所述：若，，时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最短为___________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版初中数学八年级 (上) 第十二章 全等三角形质量检测卷（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.下列命题中的真命题是（ ） A.内错角相等 B.三角形内角和是 C.是有理数 D.若，则 【答案】 B 【解析】 根据平行线性质，三角形内角和定理，实数的分类，绝对值的概念逐项判断. 【解答】 解：A.两直线平行，才有内错角相等，故A是假命题，不符合题意； B.三角形内角和是180°，故B是真命题，符合题意； C. 是无理数，故C是假命题，不符合题意； D.若，则a=±1，故D是假命题，不符合题意； 故选：B. 2.如图全等的两个三角形是（       ） A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 【答案】 A 【解析】 本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项中两个三角形的边、角关系，判断是否满足全等三角形的判定定理． 【解答】 解：项：选取①②时，在和中， ， ， ①②两个三角形全等，故符合题意； 项：选取②③时，三角形③中距离为的长度与三角形②中距离为的长度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②③不全等，故不符合题意； 项：选取②④时，三角形④中度数为的角度与三角形②中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②④不全等，故不符合题意； 项：选取①④时，三角形④中度数为的角度与三角形①中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形①④不全等，故不符合题意； 故选：． 3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（       ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由DE垂直平分AB，得BE=AE．欲求BE，可求AE．由BE=AE，得 ，那么 ．根据含30度角的直角三角形的性质，得AE=2AC=6cm，从而解决此题． 【解答】 解：垂直平分AB， ． ． ． ，， ． ． 故选：A． 4.如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据三角形的中位线平分面积，得到 ，根据角平分线的性质得到 ，综合可得结果. 【解答】 解： 点E是AC边上的中点， 是 的角平分线， 点D到AB、AC的距离相等，设点D到AB、AC的距离为h， 则 又 5.如图，已知，，，，则的度数是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 先证明 ，得到 ，再根据三角形的内角和定理进行求解即可. 【解答】 解： ，即 又 (SAS)， 6.如图，和相交于点，，，下列说法错误的是（       ） A. B. C.但是 D.且 【答案】 C 【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，利用SAS证明 ，得 ， ，可得 ，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键. 【解答】 解：在 和 中， ， ，， ， 故选：C. 7.如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理.根据线段的关系得出 AD=DE，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可. 【解答】 解： A.添加 ，无法证明 B.添加BD=CD， 又 C.添加 ，无法证明 D.添加 CD=BE，无法证明 故选：B. 8.如图，是的外角的平分线，，垂足为．若，，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线定理，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．过点 作 于点 ，利用角平分线定理得，则可证，则， 证明，可得，设 ，则 ，， 由 为等量关系列方程即可． 【解答】 解：如图，过点 作 于点 ， 平分 ，，，   ， 在 和 中：   ，      ，      ， 在 和 中：     ，     ，      ， ．设 ，     则 ，     ，   由 得：，   解得：，，   即 ． 9.如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（ ）秒时，与全等．（注：点与不重合） A. B.、 C.、、 D.、、 【答案】 D 【解析】 本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键. 分类讨论：①当E在线段AB上，AC=BE时，，②当E在BN上，AC=BE时，，③当E在BN上，AB=EB时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果. 【解答】 解：①当E在线段AB上，AC=BE时，， ， ， ， 点E的运动时间为（秒）； ②当E在BN上，AC=BE时，， ， ， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在BN上，AB=EB时，， ， ， ， 点E的运动时间为（秒）， 综上所述t的值为：4，12，16. 故选：D. 10.如图，点，，在同一条直线上，，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．有下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥．其中正确的结论有（       ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】 C 【解析】 由 得 ；结合 证 ，得 ；由全等得点 到 和 的距离相等，利用角平分线判定定理证明 平分 ；由 ，而 ，故 ，故 ；利用对顶角性质证 ． 【解答】 解：， ， 在 和 中， (SAS), ， 故①③正确． 由 且 ，得点 到 和 的距离相等， 点 在 的平分线上，即 平分 ， 故④正确； 是 的外角， ， 是 的外角， ， 而 ， ， ， 故②⑤错误； ， 故⑥正确； 综上，正确的结论有①③④⑥，共4个． 故选：C． 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.命题“等角的补角相等”是一个____真命题____（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 真命题 【解析】 根据补角的性质判断命题的真假即可. 【解答】 解：设这两个角分别为 和 ，且 ； 根据等式的性质可得 ，即等角的补角相等， 故原命题是真命题. 12.如图，，且，，三点共线，若，则___75°_____． 【答案】 75° 【解析】 根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理进行解答即可. 【解答】 解： 13.如图，在中，，D，E是外两点，连接，与交于点F，已知，，若，，则的长为___5_____． 【答案】 5 【解析】 证明 (ASA)，再由全等三角形的对应边相等，结合线段和差求解即可. 【解答】 解： ， (ASA) . 14.已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是___17_____． 【答案】 17 【解析】 本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键. 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可. 【解答】 解：∵， ， ， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ， 此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ， 此时能构成三角形，符合题意， 该等腰三角形的周长为：17. 故答案为17. 15.如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为____61°____． 【答案】 61° 【解析】 由题意易得Rt Rt (HL)， ，则有 ，然后可得 ，进而问题可求解. 【解答】 解： ， ， ， ， ， Rt Rt (HL)， ， ， ， ， . 16.如图，等腰的底边的长为，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为___8_____． 【答案】 8 【解析】 连接CD， 的周长为BD+BP+DP，DB为定值，要使 的周长最小，则BP+DP的值最小，BC的垂直平分线为MN，得到 BP=CP，说明BP+DP=CP+DP CD，当C,P,D三点共线时，CP+DP=CD，最小，进行求解即可. 【解答】 解： 的周长为BD+BP+DP，DB为定值， 当BP+DP的值最小时， 的周长最小， 连接CD,PC， 的垂直平分线为 MN， 当 C，P，D三点共线时， CP+DP=CD, 点 D为 AB的中点， AC=BC， 的周长的最小值为 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 判断下列命题的真假，并说明理由． （1）三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分； （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； （3）（为实数）． 【答案】 真命题，见解析 假命题，见解析 假命题，见解析 【解析】 （1）根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案； （2）等腰梯形也满足题意，由此即可得到答案； （3）当 为负数时，不满足题意，由此即可得到答案. 【解答】 （1）解：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分是真命题，理由是等底等高的三角形面积相等； （2）解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形为假命题，理由是等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形； （3）解： 是假命题，理由是当 a < 0时， 18.（6分）推理填空：如图，已知，． 求证：，． 证明： （已知）， ___同位角相等，两直线平行____． （已知）， ___同位角相等，两直线平行____． ____两直线平行，同旁内角互补___． ___平行公理的推论____． 又____平行公理的推论___， （已知）， ___等量代换____． 【答案】 同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【解析】 根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【解答】 解：（已知）； （同位角相等，两直线平行）， （已知）； （同位角相等，两直线平行）， （平行公理的推论） （两直线平行，同旁内角互补）． 又（平角的定义）， （已知）， （等量代换）． 19.（6分）已知：如图，，求证：． 【答案】 见详解 【解析】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．由 AF=CE，得到 AC=EF，由 AB//DE得到 ，然后得到 ，则 ，即可证明结论. 【解答】 证明： 在 和 中， 20.(8分) 如图，已知点是的平分线上一点，，，求证： （1）； （2）是线段的垂直平分线． 【答案】 证明见解析； 证明见解析 【解析】 （1）根据角平分线的性质得到 ，利用HL可以证明Rt （2）由（1）得到OC=OD，得到点O在CD的垂直平分线上，再根据EC=DE，可得点E在CD的垂直平分线上，进而得到OE是CD的垂直平分线. 【解答】 （1）证明： 是 的平分线上一点， ， （1）证明： 是 的平分线上一点，EC OA，ED OB， 在Rt 和Rt 中， Rt Rt (HL) （2） Rt Rt 点O在CD的垂直平分线上， 又 点E在CD的垂直平分线上， 是CD的垂直平分线. 21.(8分) 如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 见解答 【解析】 （1）先根据AAS证明 ，则可得 ，再根据HL证明 即可。 （2）根据全等三角形对应边相等可得 ，进而可得 的长。 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。 【解答】 （1）证明：， ， 又， ， ， 在Rt 和Rt 中，， ； （2）解：， ， 又， ， ． 22.(8分) 如图，在与中，满足，． （1）求证：； （2）若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】 见解析 ，见解析 【解析】 （1）根据SSS证明 即可； （2）证明 ，结合PE ，PF 可得结论. 【解答】 （1）证明：在 和 中， （2）解： ，理由如下： 23.(10分) 如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点E． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】 14 36° 【解析】 （1）由等边对等角可知AC=BC=8，由线段垂直平分线的性质可知CE=BE，进而可求 的周长； （2）由BE=CE可知 ，由外角性质可得 ，由BE=BA可证 ，然后利用三角形内角和等于180°列式求解即可. 【解答】 （1）解： 中，， ， 垂直平分BC， ， 又 ， 的周长为： . （2）解：， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， . 24.(10分) 如图，四边形中，，平分，于点H． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】 见解答 【解析】 （1）作 交AD的延长线于点M，由角平分线的性质得到 ，可证明Rt ，则 由 即可得到结论； （2）设DM=x=BH，证明Rt ，则AM=AH=3+x，AB=2x+3=8，解得， 即可得到答案. 【详解】 （1）证明：作 交AD的延长线于点M， 平分 CH AB 即 (2) (2) 设 25.(10分) 法国数学家皮埃尔·德·费马曾提出了一个极具趣味性的几何难题．如图1，已知，求作一点P，使得点P到三个顶点的距离之和最短（即的值最小）．后来人们将位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点称为“费马点”．确定费马点位置的方法是：如图2，分别以中的和为边，作等边和等边．连接、，记与的交点为P，点P即为费马点． 阅读上述文字后请解决下列问题： （1）证明：． （2）如图3，在（1）的基础上连接，以为边，在上取一点Q，使得．试判断的形状． （3）由（2）不难推断出，综上所述：若，，时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最短为___12________． 【答案】 见解答 是等边三角形 12 【解析】 （1）利用等边三角形的性质可得 ， ， ，证明 即可得到结论； （2）如图，连接AP，以AP为边，在PE上取一点Q，使得 ，过A作AH DC于H，过A作AK BE于K，证明PA平分 ，进一步可得结论. （3）证明 ，可得PC=QE，可得PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE，进一步可得答案. 【解答】 （1）证明： 等边 和等边 ， 即 （2）解： 是等边三角形，理由如下： 如图，连接AP，以AP为边，在PE上取一点Q，使得 ，过A作AH 于H，过A作AK 于K， ， 的面积相等， ， 平分 结合对顶角相等与三角形的内角和可得： 是等边三角形. （3）解： 是等边三角形， 是等边三角形， 即 (SAS) 此时点P到三角形三个顶点的距离之和最短，最短为 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $