第10章 数的开方（单元自测）数学新教材华东师大版八年级上册

第10章 数的开方 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．请估计的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小．由，得到，即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴， 故选A． 2．下列说法正确的是（ ） A．的平方根是 B．27的立方根是 C．0没有立方根 D．16的算术平方根是4 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行选择即可． 【解析】A、没有平方根，故A错误； B、27的立方根是，故B错误； C、0的立方根是0，故C错误； D、16的算术平方根是4，故D正确； 故选D． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入x值是64，则输出y的值是（ ） A． B．8 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据程序框图，依次计算算术平方根和立方根，判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【解析】输入，取算术平方根得， 是有理数，继续运算； 取的立方根得， 是有理数，返回取算术平方根； 取的算术平方根得， 是无理数，输出； 则输出的值为．故选A． 4．下列说法正确的是（ ） A．负数没有平方根，也没有立方根 B． C． D．任意实数都有唯一的立方根 【答案】D 【解析】对各选项逐一判断： A. 负数没有平方根，但有立方根，故A错误； B. ，故B错误； C. 表示16的算术平方根，结果为4，故C错误； D. 任意实数都有唯一的立方根，故D正确．故选D． 5．下列说法中正确的是（ ） A．-4没有立方根 B．1的立方根是 C． D．-5的立方根是 【答案】D 【分析】依据立方根的定义、存在性及运算规则判断各选项正误． 【解析】A、∵任意实数都有立方根，∴有立方根，说法错误，不符合题意； B、正数的立方根唯一且为正，的立方根是，说法错误，不符合题意； C、∵ ，∴ ，说法错误，不符合题意； D、的立方根可表示为，说法正确，符合题意．故选D． 6．若，则的平方根是（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x和y的值，再计算并求其平方根即可 【解析】∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选C． 7．若与是同一个数两个不同的平方根，则的值为（ ） A．3 B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据同一个数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程即可求解． 【解析】∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得．故选B． 8．下列说法：①0的平方根是0，0的算术平方根也是0；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；③的平方根是-4；④“25的平方根是”，可以表示为；⑤7的平方根是，其中错误的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据平方根与算术平方根的定义、性质及表示方法，逐一判断各说法正误． 【解析】①的平方根是，算术平方根也是，正确； ②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正确； ③，的平方根是，③错误； ④表示的算术平方根，值为，的平方根应表示为，④错误； ⑤的平方根是，正确. 综上，错误的说法共个.故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9．化简：________． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先求出算术平分根和立方根，再计算减法即可． 【解析】． 故答案为． 10．规定用表示一个实数x的整数部分，例如，按此规定，则________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，推导得到的范围，再根据题目定义求出结果． 【解析】∵， ∴， ∴， ∵表示实数的整数部分， ∴．故答案为$1$． 11．（1），________；（2），________． 【答案】 5 【解析】（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴．故答案为5． 12．若，则的值等于________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，偶次幂的非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． 首先根据非负数的性质可求出的值，进而可求出的值． 【解析】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为． 13．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【解析】①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为③． 14．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是________． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的估算，通过估算的值，利用夹逼法确定的范围，从而求出整数即可． 【解析】∵，即， ∴，即介于整数和之间， ∴； 故答案为2 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15．（7分）（1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了立方根，化简绝对值，算术平方根，二次根式的加减法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据立方根的定义，可得，然后解出答案即可； （2）先化简绝对值和计算算术平方根，然后从左到右进行计算即可． 【解析】（1） （2） 16．（7分）已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查了立方根、算术平方根、平方根和无理数的估算等知识，准确的计算是解决本题的关键． 根据立方根的定义求出a，再根据平方根定义求出，将代入即可求出b，再根据无理数估算求出c，进一步代入计算求出答案即可． 【解析】由题意得， 解得：， ， 当时， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为， ∴当，，时， ， ∴2的平方根为． 17．（8分）阅读下面的材料，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数部分是1，小数部分是．请解答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值． 【答案】（1）2； （2）3 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，定义新运算，熟练掌握夹逼法判断出无理数的整数部分和小数部分，是解题的关键： （1）夹逼法求出的范围，进而求出整数部分和小数部分即可； （2）根据算术平方根的定义求出，根据无理数的估算求出，根据新定义的法则进行计算即可． 【解析】（1）解：∵，即：， ∴的整数部分是2，小数部分为； （2）由题意，， ∵，即：， ∴， ∴． 18．（8分）用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分，如：，． （1）填空：________； (2)，，求的值． 【答案】（1）4 （2）1 【分析】（1）根据题目先判断整数部分，再根据加减法即可得结果； （2）根据无理数的整数部分把小数部分分别表示出来，再代入计算即可． 【解析】（1）解：， ，则， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴． ∵, ∴, ∴，即． ∴． ∴． 19．（8分）已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为． 【分析】由正数的两个平方根互为相反数列方程求a，即可求得m的值，再结合立方根的定义求n的值，最后代入求算术平方根． 【解析】 ∵ 正数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得 ， ∴， ∴ ， ∵ 的立方根是2， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 的算术平方根为． 20．（8分）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； （2）当时， ；当时， ； （3）计算：． 【答案】(1)，； (2)，； （3） 【分析】（1）根据示例填写即可； （2）观察示例可知，当算术平方根符号内的式子为正时，去掉算术平方根符号的形式与原式相同；当算术平方根符号内的式子为负时，去掉算术平方根符号的形式与原式符号相反； （3）根据（2）所得规律分别表示出算式中的算术平方根，再运用有理数加法运算律计算即可． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解： 21．（8分）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． （1）如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为________． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】（1） （2）①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【解析】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 22．（8分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】（1）4， （2） 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【解析】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 23．（8分）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． （1）根据小明的发现，请填空：若，那么________；若，那么________； （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】（1）； （2）； 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案； 根据（2）所求可得的值，求出的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【解析】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 24．（8分）有一个数值转换器，原理如图所示． （1）当输入的x的值为36时，输出的________． （2）是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值．请直接写出所有满足要求的x的值________； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你说明输入的数据可能是什么情况，并说明理由． （4）若输出的y的值是，请直接写出满足题意的最小的2个不同x的值________． 【答案】（1） （2）存在；0与1 （3）输入的数据是负数；因为负数没有算术平方根． （4）2与4 【分析】（1）按照数值转换器的程序进行计算即可； （2）根据0与1的算术平方根是它本身的特点即可完成； （3）根据负数没有平方根的性质即可说明； （4）根据开平方与算术平方根是互逆的运算即可完成． 【解析】（1）解：36的算术平方根为6，是有理数，6的算术平方根是，而是无理数，输出结果为； （2）解：由于0与1的算术平方根是它本身，无论多少次开算术平方根，其结果始终是它本身，故存在数0与1，始终输不出y的值； （3）略 （4）解：若，则，，，……， 即2与4是输入的最小的2个不同x的值，输出的数都是． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．请估计的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．下列说法正确的是（ ） A．的平方根是 B．27的立方根是 C．0没有立方根 D．16的算术平方根是4 3．按如图所示的程序计算，若开始输入x值是64，则输出y的值是（ ） A． B．8 C．2 D． 4．下列说法正确的是（ ） A．负数没有平方根，也没有立方根 B． C． D．任意实数都有唯一的立方根 5．下列说法中正确的是（ ） A．-4没有立方根 B．1的立方根是 C． D．-5的立方根是 6．若，则的平方根是（ ） A． B．3 C． D．2 7．若与是同一个数两个不同的平方根，则的值为（ ） A．3 B．1 C．或1 D． 8．下列说法：①0的平方根是0，0的算术平方根也是0；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；③的平方根是-4；④“25的平方根是”，可以表示为；⑤7的平方根是，其中错误的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9．化简：________． 10．规定用表示一个实数x的整数部分，例如，按此规定，则________． 11．（1），________；（2），________． 12．若，则的值等于________． 13．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 14．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数和n之间，则n的值是________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分） 15．（7分）（1）解方程：． （2）计算：． 16．（7分）已知，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 17．（8分）阅读下面的材料，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而的整数部分是1，于是可用表示的小数部分，比如，的整数部分是1，小数部分是．请解答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________． （2）已知：a为3的算术平方根，b为的整数部分，若规定，求的值． 18．（8分）用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分，如：，． （1）填空：________； (2)，，求的值． 19．（8分）已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是2，求的算术平方根． 20．（8分）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； （2）当时， ；当时， ； （3）计算：． 21．（8分）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． （1）如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为________． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 22．（8分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 23．（8分）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． （1）根据小明的发现，请填空：若，那么________；若，那么________； （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 24．（8分）有一个数值转换器，原理如图所示． （1）当输入的x的值为36时，输出的________． （2）是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值．请直接写出所有满足要求的x的值________； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你说明输入的数据可能是什么情况，并说明理由． （4）若输出的y的值是，请直接写出满足题意的最小的2个不同x的值________． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $