第10章数的开方单元测试卷（培优） 2026-2027 学年华东师大版数学八年级上册

第10章 数的开方单元测试卷（培优） 本卷满分120分，考试时间100分钟。 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列实数，，，中，是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列关于“”的说法： ①它是一个无理数； ②在数轴上距离原点个单位长度的点所表示的数是；③若，则整数为2； ④它表示面积为的正方形的边长． 其中正确的是（     ） A．① B．②④ C．①③④ D．①②③④ 4．（本题3分）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 7．（本题3分）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 8．（本题3分）下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（本题3分）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 10．（本题3分）对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算：．如，那么的结果为（   ） A． B．2 C． D．4 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的有理数________． 12．（本题3分）比较大小：________． 13．（本题3分）王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 14．（本题3分）已知，，，则___________． 15．（本题3分）定义：对于任何数，符号表示不大于的最大整数．例如：，，． （1）若，则的取值范围是________； （2）若成立，则的值是________． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）实数计算 (1)； (2)． 17．（本题9分）已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)若是的整数部分，求的平方根． 18．（本题9分）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 19．（本题9分）实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 20．（本题10分）有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 21．（本题10分）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 22．（本题10分）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 23．（本题10分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第10章 数的开方单元测试卷（培优）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C C C D B A 1．B 【分析】根据负无理数的两个条件，即小于0且为无理数，逐一判断各数即可得到结果． 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 是负无理数，符合要求； 是有理数，且既不是正数也不是负数，不符合要求； 是正无理数，不符合要求． 2．D 【分析】注意算术平方根仅取非负值，带分数开方需先化为假分数，立方根符号与被开方数一致． 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4， ∴A选项错误． ∵， ∴B选项错误． ∵， ∴C选项错误． ∵， ∴，D选项正确． 3．C 【分析】本题根据无理数的定义，实数与数轴的对应关系，无理数估算，算术平方根的几何意义，逐一判断各说法的正误即可得到答案. 【详解】解：①是开方开不尽的数，属于无理数，故①正确； ②数轴上距离原点个单位长度的点有两个，所表示的数是和，故②错误； ③因为，所以，结合，可得整数，故③正确； ④正方形的面积等于边长的平方，因此面积为的正方形的边长为，故④正确； 综上，正确的说法是①③④． 4．A 【分析】首先需要找到哪个数的立方等于，计算结果即可． 【详解】解：， ， ． 5．C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 6．C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 7．C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 8．D 【分析】通过举例验证是否成立即可． 【详解】解：①取两个不同无理数和，，差为整数，故①正确； ②取两个不同无理数和，，积为整数，故②正确； ③取两个不同非整数有理数和，，，和与商均为整数，故③正确；综上，正确的结论有3个． 9．B 【详解】解：∵溢出的水体积为 ∴该正方体铁块的体积为 ∴该正方体铁块的棱长为 ∵ ∴ ∴ ∴估计该正方体铁块的棱长的大致范围在3和4之间． 10．A 【分析】本题考查了实数的运算．根据定义的新运算可得12※，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：A． 11．（答案不唯一，任意小于的有理数均可） 【分析】，只需写出一个小于的有理数即可． 【详解】解：∵， ∴只需找出一个小于的有理数即可，例如，是整数，属于有理数，且，符合要求． 12． 【详解】∵，， ∴． 13． 【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长． 【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， 因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为． 14． 【分析】根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， . 15． 或 【分析】根据定义，不大于的最大整数满足，据此结合条件列不等式求解即可. 【详解】解：（1）∵表示不大于的最大整数，且， ∴； （2）设，则为整数，且满足， ∵， ∴， 整理得， 将代入得： ， 解得， ∵为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 即满足方程的为或． 16．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．(1)， (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的意义可得，，即可求，的值； （2）先算出的整数部分，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ，， ，． （2）解：， ， 的整数部分为，即， 由（1）得，， ，而的平方根为， 的平方根． 18． 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 20．(1) (2)存在，或 (3)输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：略； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 21．(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 22．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 23．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据“阳光区间”的定义求解即可； （2）先根据“阳光区间”的定义分别求出a的范围，再结合为正整数，确定a的值； （3）先根据，，得出，进而得出，可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的“阳光区间”为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为； （2）解：∵无理数（为正整数）的“阳光区间”为， ∴， ∴， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，解得， ∴， 又∵为正整数， ∴或； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $