第四章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版八年级上册

第四章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象过点 C．图象与y轴交于 D．图象是一条经过原点的直线 2．如图是某个无人机在内飞行的高度与时间之间的关系，则该无人机在这内飞行的最大高度为（     ） A． B． C． D． 3．将直线向下平移个单位长度得到的直线是（     ）． A． B． C． D． 4．已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 5．关于一次函数下列说法正确的是（     ） A．一次函数不经过第一象限 B．一次函数与y轴的交点为 C．y随x的增大而增大 D．点在一次函数上 6．规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，关于的函数图象如图2所示．当时，的值是（     ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，函数的图象经过第一、三象限，则函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 10．如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 12．直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是________． 13．在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 15．共享电动车给人们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间（）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应．若骑行，则A，B两种品牌的共享电动车收费相差__________元． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？ 18．在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 19．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中随的增大而减小，求的值； (2)若函数的图象过第一，三象限，求的值． 20．某学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照10元/碗出售时，估计每天只能售出50碗，售价每降价1元，就能多售出20碗 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为元时，比较合理．请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 22．如图1，A，B两地之间有M，C两处景点，假期期间，佳佳与琪琪两家相约出行，分别从A，B两地同时出发，驾车前往C景点游玩．佳佳从A地驾车到达M景点，停留游玩后，保持原速度继续行驶到达C景点．琪琪从B地出发，先以的速度行驶，随后提速至原速的倍行驶至C景点，比佳佳早到佳佳、琪琪离C景点的距离与行驶的时间之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为_____________，_____________，_____________； (2)请求出琪琪加速后，与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当佳佳与琪琪之间的距离为时，求的值． 23．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”．    (1)如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； (2)如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 24．某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 25．直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且．    (1)直接写出点A、B、C 的坐标； (2)在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标： (3)在第一象限内是否存在一点E，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章一次函数（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 > 8 10 C D C A A D A C A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.y=2x-1 2层o 13.12 14.(1,0) 15.1 16.(208,209)） 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(4)解：设销售量'与销售单价x之间的函数关系式为：y=+b(≠0)】 根据题意，当x=50时，y=30:当x=45时，y=40 [30=50k+b 代入得40=45k+b 2分 [k=-2 解得b=130. y与x之间的函数关系式为y=-2x+130 4分 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：已知y=54,代入函数式得：54=-2x+130, 解得x=38 答：当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件..6分 18 【详解】(1)解：图象如图所示： 珠 3 3 1--1 -5-4-3-2-1Q 12345 3分 2 3 (2)解：由(1)得， A(1,0)B(0,-3) .OA=1,OB=3. 2*1x3= 3 S.408 2 6分 19. 【详解】（解：函数少=m 是正比例函数， 「m≠0 m2-3=1, m1=-2,m2=2 解得： 2分 ,函数关系式中y随x的增大而减小， .m<0」 m=-2,... 3分 (2)解：：函数y=m 是正比例函数， 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m≠0 m2-3=1, m=-2,m2=2 解得： ，5分 ,函数的图象过第一、三象限， .m>0 .m=2.6分 20, 【详解】(1)解：由题意可得，售价为m元/碗时，降价了(10-m)元，多售出2010-m)碗因此 y,=50+2010-m)=-20m+250 设占=m+b n=7,y2=110n=8,y2=120 ，将 和 [110=7k+b 代入得120=8k+b.… 2分 [k=10 解得b=40 因此为=10m+40 3分 (2)解：由题意得m+n=16,即m=16-n 设当天米线和凉面的销售总量为'，则'=%+%=-20m+250+10m+40 将m=16-n代入得y=-20(16-)）+10n+290=30n-304分 30>0 ∴y随n的增大而增大 又：7≤n≤10，且n为整数 ∴当n取最大值10时，y取得最大值，最大值为30×10-30=270 答：每碗凉面定价为10元时，当天米线和凉面销售总量最多，为270碗。.6分 21. 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)把y=3代入y=3x得，3=3x, 解得x=1, ·点C的坐标为 1,3) [k+b=3 把C,E点坐标代入得：b=4,2分 k=-1 解得：b=4, 小一次函数 y=kx+b ,y=-x+4 的解析式为 3分 2)在y=-r+4中， E(0,4) 当y=0时，-x+4=0, x=4, .B(4,0) 1 ∴.S.Boc= ×4×3=6 2 %…4分 SARCD=2S△B0c .SARCD =12 点D在y轴上， .S.BCD =S.BDE-S.DEC=12 :DE(4-1)=12, 2 .DE=8. ∴.D(0,12)(0,-4) 或 ；6分 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3X B y=kx+b （3)直线'=1-m(x+2)经过点(-2,0) 把点E的坐标代入’=0-m+2)得，4=20-m） 解得1-m=2, 若直线’=(-mx+2)与△C0E的三边有两个公共点，则0<1-m<2,即-1<m<1 8分 22, 【详解】(1)解：由函数图像可知，AC=320m,BC=480km, .AB=AC+BC=800 km ，1分 由题意得，佳佳一共花了 +2+3=6(h) 到达C景点，且驾车的时间为 +3=4(h) 320 ∴.佳佳的速度为4 =80(km/h) 佳佳驾车Ih 0×1=80(km) 路程为 0=320-80=240,……2分 ,琪琪比佳佳早到.5h ∴，琪琪一共花了 6-1.5=4.5(h) 到达C景点 .b=4.5.3分 (②解：设琪琪加速前行驶了h,则琪琪加速后行驶了 4.5-4)h 由题意得04+90×号（45-)=480，解得4=2， 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .琪琪加速前行驶了2h 90×2=180(km) ∴琪琪加速前一共行驶了 琪琪加速后，g与，的属数解折式为9=480-180-90×等-2)=-120+5402<1≤45).…5分 (3)解：当t=1时，佳佳行驶的路程为 1×80=80(km) ×90=90(km) 琪琪行驶的路程为 800-80-90=630(km) 此时二人相距 6分 当=2时，佳佳行驶的路程为 ×80=80(km) 2×90=180(km)） 琪琪行驶的路程为 00-80-180=540(km) 此时二人相距 .7分 当=3时，佳佳行驶的路程为 1×80=80(km) 4 琪琪行驶的路程为2×90+90×；×(3-2)=300(km), 3 800-80-300=420(km) 此时二人相距 ∴.当佳佳与琪琪之间的距离为450km时，2<t<3, 80-80-2x90-90x-2)=450,解得1= 11 4. 8分 23 【详解】(1)解：PE∥x轴，P为原点O0,O), 1 “E的纵坐标为0，代入y=2x-1,得0=2-1，解得x=2,即E2,0): ,PE2-0=22分 PF∥y轴， 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·F的横坐标为0，代入y=2x-1,得y=-小，即F0,-), PF0-(-1)=1 .点0关于直线的“L距离”为PE+PF=2+1=3.4分 (2)解：直线：y=3x-1 向左平移6个单位，得直线m的解析式：y-x+句-1} ,PE∥x轴，P为原点O(0,0), ÷E的纵坐标为0，代入)=+1，得0=写+1，解得x-3即30 PE-3-0=3 .6分 :PF∥y轴， 1 六F的横坐标为0，代入V=3x+1,得y=,即FO,), .PF1-0=1 ∴点O关于直线m的“L距离”为PE+PF=3+1=4. 答：(1)点O关于直线I的“L距离”为3； (2)点0关于直线m的“L距离”为4.8分 24. 【详解】山)解：设4城运往C乡产台，则4城运往D多B0-刊台，8城运往C多B4-刊台，B城运往 D乡36-(30-刘=(6+)台， W=250x+200(30-x)+150(34-x)+240(6+x) 140x+12540(0≤x≤30) .3分 (2)解：：W=140x+12540(0≤x≤30)中140>0， 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “W随x的增大而增大， 又0≤x≤30， ∴.当x=0时，W取最小值， 此时从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台..6分 (3)解：W=(250-a)x+200(30-x)+150(34-x)+240(6+x) _140-a)x+12540 8分 ①当0<a<140时，140-a>0, “W随x的增大而增大， 又0≤x≤30， 当x=0时，W取最小值，即总费用最小， 此时，从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台；9分 ②当a=140时，W=12540元， .各种方案费用一样多，… 10分 ③当140<a≤200时，140-a<0, ∴，W随x的增大而减小， 又0≤x≤30， ∴，当x=30时，W取最小值，即总费用最小， 此时从A城运往C乡30台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡36台.12分 25. 【详解】(1)解：把y=0代入y=x+3得：0=x+3, 解得：x=-3, 4(-30) 把x=0代入y=x+3得：y=3, :B(0,3) .OB=3, OB:0C=3:1, 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0C=1, C0.0) (2)解：连接PC, 点P到B,C的距离相等， .'.PB=PC, 设PB=PC=x,则OP=3-x, 在Rt△OPC中，根据勾股定理可得：OC2+OP2=PC2, :1+(3-x2=x2 解得： 3 PB=5 3 Op=3-x=4 P0, （3: 5分 (3)解：①当BC=CE时，过点E作EF⊥x轴于点F, ,△BCE为等腰直角三角形， ∠BCE=90°， .∠BC0+∠FCE=90°， .∠BC0+∠OBC=90°， .∠FCE=∠OBC. .∠FCE=∠OBC,∠BOC=∠CFE=90°，BC=CE, 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AOBC≌△FCE, .CF=OB=3,0C=EF=1 E(4,1) B 8分 C ②当BC=BE时，过点E作EGLy轴于点G, 和①同理可证：△OBC≌AGEB, ..BG=OC=1,0B=GE=3 E(3,4) 2-----E B 9分 O C ③当BE=CE时，过点E作EN⊥y轴于点N,过点E作EMLx轴于点M, 0B=3,OC=1, .BC=JOC2+0B=10 根据勾股定理可得：BE2+CE2=2BE2=BC2=10, 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=5 解得： :EN⊥y轴，EM⊥x轴，∠MON=90°， ∴.四边形OMEN为矩形， .ON=EM,∠MEN=90°， 则∠CEM+∠CEN=90°， .∠BEC=∠BEN+∠CEN=90°， ∴.∠BEN=LCEM, ,∠BEN=∠CEM,∠BNE=∠CME=90°，BE=CE, △BNE≌aCME, 11分 .BN=CM,NE=ME 设OW=ME=NE=x,则BN=3-x, ..BN2+NE2=BE2, :(3-x+x2=5 =1,2=2 解得： :.OW=2或ON=1(舍)， .E(2,2) O C 综上： E(4,1)E(3,4)E(2,2) 或 或 12分 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12112 第四章 一次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．关于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象过点 C．图象与y轴交于 D．图象是一条经过原点的直线 【答案】C 【详解】解：对于一次函数， ∵一次项系数为， ∴随的增大而减小，A错误； 将代入解析式，得， ∴图象不过点，B错误； 将代入解析式，得， ∴图象与轴交于点，C正确； ∵当时，， ∴图象不经过原点，D错误． 2．如图是某个无人机在内飞行的高度与时间之间的关系，则该无人机在这内飞行的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，无人机在内飞行的高度的最大值为， ∴无人机在这内飞行的最大高度为． 3．将直线向下平移个单位长度得到的直线是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵直线平移时一次项系数不变，向下平移遵循“上加下减”的规律， ∴平移后直线的解析式为 ， 展开整理得 ． 4．已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正比例函数，经过一、三象限，，经过二、四象限， ∴，，，， ∵直线越陡，越大， ∴，即比例系数中最大的是． 5．关于一次函数下列说法正确的是（     ） A．一次函数不经过第一象限 B．一次函数与y轴的交点为 C．y随x的增大而增大 D．点在一次函数上 【答案】A 【详解】解：对于一次函数，可得，， ∵， ∴随的增大而减小，选项C错误； ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，选项A正确； 令，得，因此函数与轴的交点为，选项B错误； 将代入函数，得，因此点不在该一次函数图象上，选项D错误． 6．规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：由题意得该一次函数为， 该函数是正比例函数， 且， 且， ， ，， 点在第四象限． 7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作点关于轴对称点，连接和，如图所示， ， ， 三点共线时，为最小值． ，，线段，的中点分别为，， ，， ． 设直线解析式为，将和代入得， ， ， 在直线上，且在轴上， 令，则， ． 8．如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，关于的函数图象如图2所示．当时，的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， ∵动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止， ∴点在上时，随的增大而增大， 点在上时，随的增大，先减小，后增大， 点在上时，随的增大而减小， ∴由图象可知，点在上运动，在上运动，在上运动， ∵点的运动速度为， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 解得：． ∴当时，的值是． 9．在平面直角坐标系中，函数的图象经过第一、三象限，则函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， ， 对于一次函数，，， 该函数图象经过第一、二、四象限，且与轴交于正半轴，观察选项，只有A选项符合． 10．如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图1，连接，过点D分别作于E，于F， 根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标a表示点D到的距离的长度， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标a为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．将一次函数向上平移3个单位长度后得到另一个函数的图象，这个函数解析式为_____． 【答案】 【详解】解：∵原函数解析式为， ∴平移后的函数解析式为，化简得． 12．直线与轴相交于点，则点关于轴的对称点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵ 点是直线与轴的交点，轴上点的纵坐标为 ∴令，代入得， 解得 ∴点的坐标为 ∵关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为． 13．在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 【答案】12 【详解】解：∵挂物体时弹簧的长度为， ∴将，代入函数式，得， 解得， ∴函数表达式为． 将代入函数式，得， 即挂物体时弹簧长度为． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上任意一点，当有最小值时，点的坐标为________． 【答案】 【详解】如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接． ， 对称点 ． 由轴对称性质：， ． 当 、、 三点共线时， 最小． 设直线解析式为， 可得，解得， 直线解析式为， 令，可得， 当有最小值时，点的坐标为． 15．共享电动车给人们的出行提供了方便．现有A，B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间（）之间的函数关系如图所示，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应．若骑行，则A，B两种品牌的共享电动车收费相差__________元． 【答案】1 【详解】解：设， 则，解得， 设当时，， 则，解得， 当时，，， A，B两种品牌的共享电动车收费相差1元． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？ 【详解】（1）解：设销售量与销售单价之间的函数关系式为：， 根据题意，当时，；当时，． 代入得 2分 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 4分 （2）解：已知，代入函数式得：， 解得， 答：当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件． 6分 18．在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【详解】（1）解：图象如图所示： 3分 （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴． 6分 19．已知函数是正比例函数． (1)若函数关系式中随的增大而减小，求的值； (2)若函数的图象过第一，三象限，求的值． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． 2分 ∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴， ∴； 3分 （2）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． 5分 ∵函数的图象过第一、三象限， ∴， ∴． 6分 20．某学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照10元/碗出售时，估计每天只能售出50碗，售价每降价1元，就能多售出20碗 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为元时，比较合理．请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗． 【详解】（1）解：由题意可得，售价为元/碗时，降价了元，多售出碗因此 设，将和 代入得 2分 解得 因此 3分 （2）解：由题意得，即 设当天米线和凉面的销售总量为，则 将代入得 4分 随的增大而增大 又，且为整数 当取最大值时，取得最大值，最大值为 答：每碗凉面定价为10元时，当天米线和凉面销售总量最多，为碗． 6分 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为 (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标； (3)若直线与的三边有两个公共点，则的取值范围是______． 【详解】（1）把代入得，， 解得， 点的坐标为 把，点坐标代入得：， 2分 解得：， 一次函数的解析式为； 3分 （2）在中，； 当时，， ， ， ， 4分 ， ， 点在轴上， ， ， ， 或； 6分 （3）直线经过点， 把点的坐标代入得，， 解得， 若直线与的三边有两个公共点，则，即 8分 22．如图1，A，B两地之间有M，C两处景点，假期期间，佳佳与琪琪两家相约出行，分别从A，B两地同时出发，驾车前往C景点游玩．佳佳从A地驾车到达M景点，停留游玩后，保持原速度继续行驶到达C景点．琪琪从B地出发，先以的速度行驶，随后提速至原速的倍行驶至C景点，比佳佳早到佳佳、琪琪离C景点的距离与行驶的时间之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为_____________，_____________，_____________； (2)请求出琪琪加速后，与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当佳佳与琪琪之间的距离为时，求的值． 【详解】（1）解：由函数图像可知，，， ， 1分 由题意得，佳佳一共花了到达景点，且驾车的时间为， ∴佳佳的速度为 ∴佳佳驾车的路程为 ， 2分 ∵琪琪比佳佳早到 ∴琪琪一共花了到达景点 ． 3分 （2）解：设琪琪加速前行驶了，则琪琪加速后行驶了， 由题意得，解得， ∴琪琪加速前行驶了 ∴琪琪加速前一共行驶了， ∴琪琪加速后，与的函数解析式为． 5分 （3）解：当时，佳佳行驶的路程为， 琪琪行驶的路程为， 此时二人相距； 6分 当时，佳佳行驶的路程为， 琪琪行驶的路程为， 此时二人相距， 7分 当时，佳佳行驶的路程为， 琪琪行驶的路程为， 此时二人相距， ∴当佳佳与琪琪之间的距离为时，， ，解得． 8分 23．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点P分别作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，我们称折线为点P关于直线l的“L路径”，“L路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“L距离”．    (1)如图2，若直线分别交x轴和y轴于A、B两点，O为坐标原点，求点O关于直线l的“L距离”； (2)如图3，将直线向左平移6个单位长度后得到直线m，且直线m与x轴、y轴分别交于D，C两点，O为坐标原点，求点O关于直线m的“L距离” 【详解】（1）解：∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴． 2分 ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴ ∴点关于直线的“L距离”为． 4分 （2）解：直线 向左平移个单位，得直线的解析式： ∵轴，为原点， ∴的纵坐标为，代入，得，解得，即， ∴ 6分 ∵轴， ∴的横坐标为，代入，得，即， ∴． ∴点关于直线的“L距离”为． 答：（1）点关于直线的“L距离”为； （2）点关于直线的“L距离”为． 8分 24．某农机合作社共有70台农机，其中在城有30台，在城有40台，近期要将其全部运往两乡进行耕作，乡需要34台，乡需要36台，由两城运往两乡的运费如下表： C乡 乡 城 250元/台 200元/台 城 150元/台 240元/台 设城运往乡台，运送全部农机的总运费为元． (1)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)如何安排运送方案，使总运费最小？ (3)据悉某部门将对由城运农机到乡的合作社给予补贴，标准为元/台，目前只知不超过的具体值在研究后公布，该合作社将如何根据的值设计运送方案，使总花费最少？（总花费总运费-补贴） 【详解】（1）解：设城运往乡台，则城运往乡台，城运往乡台，城运往乡台， ∴ =； 3分 （2）解：∵中， ∴随x的增大而增大， 又， ∴当时，取最小值， 此时从A城运往C乡0台，运往D乡30台，从B城运往C乡34台，运往D乡6台． 6分 （3）解： =， 8分 ①当时，， ∴随x的增大而增大， 又， 当时，取最小值，即总费用最小， 此时，从A城运往C乡台，运往D乡台，从B城运往C乡台，运往D乡台； 9分 ②当时，元， ∴各种方案费用一样多， 10分 ③当时，， ∴随x的增大而减小， 又， ∴ 当时，取最小值，即总费用最小， 此时从A城运往C乡台，运往D乡0台，从B城运往C乡4台，运往D乡台． 12分 25．直线分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x 轴正半轴于点C，且．    (1)直接写出点A、B、C 的坐标； (2)在线段上存在点P， 使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标： (3)在第一象限内是否存在一点E，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 3分 （2）解：连接， ∵点P到B，C的距离相等， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 5分    （3）解：①当时，过点E作轴于点F， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴；    8分 ②当时，过点E作轴于点G， 和①同理可证：， ∴， ∴    9分 ③当时，过点E作轴于点N，过点E作轴于点M， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 11分 ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴或（舍）， ∴；    综上：或或． 12分 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $