第2章 特殊三角形（单元自测）数学新教材浙教版八年级上册

第2章 特殊三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【解析】在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选C． 2．如图所示，将两个完全相同的直尺按照下图位置放置，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，过点A作，过点C作，先证明，可得，从而得出，即可得出结论． 【解析】如图，过点A作，过点C作， 两个完全相同的直尺， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故选B． 3．已知的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断是直角三角形（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，可利用三角形内角和定理及勾股定理的逆定理逐一分析选项即可． 【解析】A．∵，且， ∴，即， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意； C．设，，， ∵，即 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意； D．设，，， ∵，，， 不满足勾股定理的逆定理 ∴不是直角三角形，故本选项符合题意． 故选D． 4．如图，在中，，点D在边上，，则图中的等腰三角形是（ ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】根据等腰三角形定义，由两边相等判断即可． 【解析】， 是等腰三角形， ，， ， 不是等腰三角形 ∵与不一定相等， 不一定是等腰三角形， 只有是等腰三角形．故选B． 5．如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（ ） A． B． C．2.3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，实数与无理数．利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【解析】由题意得，， 由勾股定理，得：， ， ∵点表示的数为， ∴点P表示的数为， 故选A． 6．如图，RtRt，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形可知，进一步证明，再利用性质求解即可． 【解析】 RtRt，， ， ， ， ， 故选A． 7．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形网格中，找出所有符合条件的点．根据直角三角形的判定进行判定即可． 【解析】 ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， ∴是直角三角形，但不是直角三角形． ∴不符合条件的点是．故选D． 8．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（ ）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案． 【解析】如图， ， ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共3个点； 这样的C点有5个． 故选C． 9．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【解析】根据题意可得：平分，即， 故选C． 10．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【解析】如图所示：图中符合条件的点有个， 故选C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【解析】如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为8． 12．如图，把长方形纸片折叠，使点恰好落在边上处，折痕为，若，则 ________； 【答案】 【分析】本题考查了长方形中的折叠问题，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设，建立等式由勾股定理求解． 根据翻折可得，，由勾股定理可求解的长度，设，由勾股定理求解即可． 【解析】∵长方形纸片沿折叠，使点恰好落在边上处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即，即， 解得， 则． 故答案为 ． 13．如图，是的角平分线，过点作交于点．若的周长为21，，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 根据角平分线的定义得到，根据两直线平行内错角相等得到，即，根据等角对等边得到，根据的周长为21求出，即可求出的周长． 【解析】∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为21， ∴， ∴， 即的周长为． 故答案为． 14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 ________尺． 【答案】12 【分析】本题本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【解析】设水深x尺，芦苇尺， 根据题意：， 由勾股定理：， 解得：， 故答案为12． 15．如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为________． 【答案】 【分析】本题考查赵爽弦图的性质，勾股定理，结合弦图结构推导边长是解题关键． 设，利用是中点的条件求出和，再根据勾股定理求出，进而求出大正方形面积和小正方形面积，最终算出面积比． 【解析】设， ∵点为的中点， ∴， 是直角三角形， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积与正方形的面积之比为． 故答案为． 16．如图，在中，，，上有一点，且．过点作的垂线交的延长线于点，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．过点作于点，证明，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，即可求解． 【解析】如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴，， ∵． ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴故答案为$\sqrt{3}$． 三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 9 分，共 72 分） 17．（9分）如图，起重机吊运物体，，，求吊起的高度． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．根据题意直接利用勾股定理得出的长． 【解析】根据题意得： 为直角三角形，且， 所以， 所以， 答：吊起的高度为． 18．（9分）如图所示，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙24米． （1）这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升8米（云梯长度不变），那么云梯底端在水平方向应滑动多少米？ 【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有7米 （2）云梯的底部在水平方向应滑动4米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）利用勾股定理可得，再代入数计算即可； （2）根据题意表示出长，再在直角中利用勾股定理计算出长，进而可得长． 【解析】（1）解：由题意得：米，米， 则（米）． 答：这个梯子的顶端距地面有7米； （2）解：由题意得：米，米，则米， （米）， ∵米， ∴（米）， 答：云梯的底部在水平方向应滑动4米． 19．（9分）如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，与关于y轴对称，点A的对称点为． （1）作出； （2）写出的坐标； （3）若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）； （3）点P的坐标为． 【分析】本题考查作图中的轴对称变换、最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【解析】（1）略 （2）由图可得，． （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求， 点P的坐标为． 20．（9分）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． （1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】（1）台风中心从B点移到D点需要6小时 （2）A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【解析】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 21．（9分）综合与实践 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； （2）【深入探究】如图②，将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在长方形中，，，E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； （4）如图④，在长方形纸片中，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长度为________． 【答案】（1）12 （2）3 （3）或10 （4） 【分析】（1）根据折叠的性质，根据勾股定理求的长即可； （2）先根据折叠性质，矩形的性质，设，根据勾股定理，解答即可； （3）分点E在线段上和点E在线段的延长线上，两种情况，根据勾股定理，折叠的性质，求解即可； （4）根据折叠的性质，根据勾股定理,求解即可． 【解析】（1）解：根据折叠的性质，， 故； （2）解：∵四边形是矩形，把矩形沿折叠，点C落在点处，且交于点E，， ∴，，，， ∵ ， ∴， ∴， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． （3）解：当点E在线段上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点G，交于点H， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 当点E在线段的延长线上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点Q，交于点P， 根据题意，得，，四边形是矩形，，， ，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． （4）解：∵四边形是矩形，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 22．（9分）如图，中，． （1）用直尺和圆规作边上的中线． （2）若，求中线的长 【答案】（1） 就是所求作图形． （2） 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，作中线； （1）根据尺规作图作边上的中线即可； （2）由等腰三角形得到，再根据勾股定理得到． 【解析】（1）略 （2）解：是边上的中线，， ，， 由勾股定理得：． 23．（9分）明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数学问题：如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，求的长度． 【答案】的长为 【分析】由折叠得，，，，则，所以，由勾股定理得，求得． 【解析】∵，，， ∴， 由折叠得，，，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， 答：的长为 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 24．（9分）如图，在中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点C出发，按C-A-B-C的路径运动（回到C点停止），且速度为每秒3个单位，设出发时间为t秒． （1）求BC边上的高线AE的长与AC边上的高线BD的长； （2）当时, 求t的值； （3）若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1）4， （2） （3）2.6或或或． 【分析】（1）如图，根据等腰三角形的性质可得，然后再运用勾股定理可求得，然后再根据即可求得； （2）如图：过C作于F，先求得，进而求得，最后根据速度、路程和时间的关系即可解答； （2）分①CA=CP.②CA=AP，③AP =PC三种情形，分由等腰三角形的性质和勾股定理分别求解即可． 【解析】（1）解：∵AB=AC=5，BC=6，BC边上的高线AE ∴ 在中， ∵ ∴,解得： ． （2）解：如图：过C作于F 同（1）的方法可得 在中， ∴当时，点P走过的路程为 ∴． （3）解：①当时且在AB上，如图：过点C作于点E， ∵ ∴， ∵ ， ∴由（2）可得， 由勾股定理可得： ∴ ∴； 当时且在BC上，则有 ∴； ②如图，当时，即点P与点B重合， ∴ ∴； ③如图，当时，点P在上，过点A作于H ∵， ∴ ∴ ， 由（1）可知：， ∵点P在BC上 ∴， ， ∴，解得． 综上所述，满足条件的值为2.6或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，掌握运用分类讨论的思想是解答本题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，将两个完全相同的直尺按照下图位置放置，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．已知的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断是直角三角形（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点D在边上，，则图中的等腰三角形是（ ） A． B． C． D．和 5．如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（ ） A． B． C．2.3 D． 6．如图，RtRt，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（ ）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 10．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为________． 12．如图，把长方形纸片折叠，使点恰好落在边上处，折痕为，若，则 ________； 13．如图，是的角平分线，过点作交于点．若的周长为21，，则的周长为________． 14．我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 ________尺． 15．如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为________． 16．如图，在中，，，上有一点，且．过点作的垂线交的延长线于点，则的值为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 9 分，共 72 分） 17．（9分）如图，起重机吊运物体，，，求吊起的高度． 18．（9分）如图所示，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙24米． （1）这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升8米（云梯长度不变），那么云梯底端在水平方向应滑动多少米？ 19．（9分）如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，与关于y轴对称，点A的对称点为． （1）作出； （2）写出的坐标； （3）若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 20．（9分）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． （1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 21．（9分）综合与实践 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； （2）【深入探究】如图②，将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在长方形中，，，E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； （4）如图④，在长方形纸片中，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长度为________． 22．（9分）如图，中，． （1）用直尺和圆规作边上的中线． （2）若，求中线的长 23．（9分）明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数学问题：如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，求的长度． 24．（9分）如图，在中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点C出发，按C-A-B-C的路径运动（回到C点停止），且速度为每秒3个单位，设出发时间为t秒． （1）求BC边上的高线AE的长与AC边上的高线BD的长； （2）当时, 求t的值； （3）若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的t的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $