第2章 特殊三角形 单元练习题 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

浙教版八年级数学上册第2章 特殊三角形单元练习题 一、单选题 1．下列运动项目图片中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角是（　　） A． B． C．或 D．不能确定 3．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．8，15，16 C．7，24，25 D．4，5，6 4．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．7，24，25 5．在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（　　） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 6．如图，在中，，D是的中点，点E、F分别在边上，且，下列结论①；②；③，分别表示和的面积，则；④；⑤；正确的是（　　） A．①②③ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤ 7．如图所示，AC=AD，BC=BD， 则下列说法正确的是（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ ACB 8．如图，D、E为等边△ABC边AB、BC上的点，连结DE，∠ADE和∠DEC的角平分线恰好过 AC边上同一点F。若要知道△ABC 的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长?该三角形是（　　） A．△ADF B．△BDE C．△CEF D．△DEF 9．如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上， ，则等于（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．若等边三角形的周长为12，求该的面积　 　． 12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB-∠DCE=　 　°. 13．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，∠B＝50°，则∠BAD的度数为　 　． 14．已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　．（只填序号） 三、解答题 15．在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． （1）如图①，当点D在线段上，时，那么 ； （2）设． ①如图②，当点D在线段上，时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点D在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； 16．一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，求其他两边的长. 17．如图（1），于于D. （1）求证： （2）如图（2）其它条件不变的前提下，将CE所在的直线旋转到的外部.若，，求DE的长. 18．如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE。 （1）已知∠B＝40°，求∠BAD的度数。 （2）若EG＝CG求证：DG⊥CE。 19． 完成下列问题： （1）【阅读理解】如图①，△ABC 是等边三角形，D 是边 BC下方一点，∠BDC=120°，求线段 DA，DB，DC 之间的数量关系. 解题思路：延长DC到点E，使得CE=BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC=180°，可证∠ABD=∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE 是等边三角形，所以AD=DE，从而求得线段DA，DB，DC之间的数量关系. 请根据以上思路，求出线段DA，DB，DC之间的数量关系； （2）【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题. 如图②，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC 内部一点，且∠APB=∠BPC=135°，求证：PA=2PC. 20．学校校内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 21．如图，在等边△ABC中，∠ABC=∠CAB=∠BCA=60°，射线AP交BC边于点P，D为射线AP上一点，以BD为边作等边△BDE，连结CE交射线AP于点M. （1）当点D在线段AP上时， ①求证：AD=CE. ②求∠CMD的度数. （2）当点D不在线段AP上时，∠CMD的度数是否发生改变?若不变，请说明理由：若改变，请求出此时∠CMD的度数. （3）当BD⊥CE时，请直接写出∠CAD与∠CBD的数量关系： \22．课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【猜想证明】 （1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； 【探究应用】 （2）过点作交于点，若，求的度数． 23．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. （1）求∠F的度数； （2）若CD=2，求DF的长. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 【解析】【解答】选项A：，是勾股数，不符合题意，故错误； 选项B：，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确； 选项C：，是勾股数，不符合题意，故错误； 选项D：，是勾股数，不符合题意，故错误； 故答案为：B． 【分析】根据勾股数的特征，逐项进行判断即可得出答案。 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD， ∴点A，B都在线段CD的垂直平分线上， ∴AB 垂直平分CD. 故答案为：A. 【分析】根据垂直平分线的判定解答即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC于点G， OH⊥DE于点H， OM⊥BC于点M， 连接OE， GM， OC， 如图， ∵ DF是∠ADE的平分线， OG⊥AC， OH⊥DE， ∴OG=OH. 在Rt△DGO和Rt△DHO中， ， ∴Rt△DGO≌Rt△DHO(HL)， ∴DG=DH， ∵O为△ABC的内心， ∴CO平分∠ACB， ∵OG⊥AC， OM⊥BC， ∴OG=OM， ∴OH=OM. 在Rt△CGO和Rt△CMO中， ， ∴Rt△CGO≌Rt△CMO(HL)， ∴CG=CM. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CGM为等边三角形， ∴CG=CM = MG. ∵O为正△ABC的内心， 在Rt△EHO和Rt△EMO中， ， ∴Rt△EHO≌Rt△EMO(HL)， ∴EH=EM， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE =CD+DH+EH+CE =CD+DG+EM+CE =CG+CM =2CG = AC. ∴△ABC的周长 =AB+AC+BC=3AC=3△CDE的周长， ∴要知道△ABC的周长，则只需要知道△CDE的周长即可. 故答案为：A. 【分析】过点O作 于点G， 于点H， 于点M， 连接OE， GM， OC， 利用三角形的内心是三个内角平分线的交点和角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，得到 ， 从而计算得到 的周长为AC，进而得出 的周长的周长，则结论可得. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵△是 等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°， ∵， ∴BE=CE， ∴∠ECB=， ∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB=60°-45°=15°， 即∠ABE=∠ACE=15° 故答案为：A. 【分析】根据等边三角形的性质、“三线合一”知，BD=CD，BE=CE，从而得出∠ABE=∠ACE，通过计算得出∠ABE即可. 10．【答案】C 11．【答案】 12．【答案】45 【解析】【解答】解：如图，标出点，连接 CG，AG. 由勾股定理得 则AG2+ 所以△CAG 是等腰直角三角形，∠CGA=90°，所以∠CAG=45°.因为AF∥BC，所以∠CAF=∠BCA.在△AFG 和△CDE 中 所以△AFG≌△CDE(SAS)， 所以∠FAG = ∠DCE，所以∠ACB-∠DCE = ∠CAF-∠FAG = ∠CAG =45°. 故答案为45. 【分析】标出F，G连接AG，CG，根据勾股定理的逆定理可得 再根据平行线的性质和三角形全等，得到 即可求解. 13．【答案】40° 14．【答案】①②③④ 【解析】【解答】解：逐一分析四个结论： ①为的角平分线，。 在和中， ，故①正确。 ②，； ，。 由①中全等得， 因此（平角定义），故②正确。 ③ 由①中全等得。 ，，， 又， ，即为等腰三角形，。 因此，故③正确。 ④ 过E作，交BC的延长线于G， 平分，，， 根据角平分线的性质，。 在和中， ，得。 在和中， ，得。 因此，故④正确。 综上，①②③④都正确。 故答案为：①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质。结论①利用角平分线得到等角，结合两组等边，用SAS证明三角形全等；结论②结合等腰三角形等边对等角的性质，以及全等三角形的对应角相等，通过平角定义推导两角和为180°；结论③利用全等三角形对应边相等，结合等角对等边证明等腰三角形，从而得到三条线段相等；结论④通过作垂线构造全等直角三角形，利用角平分线性质和HL定理证明两组三角形全等，通过线段等量代换得到和的关系。 15．【答案】（1） （2）① ② 16．【答案】解：由题意可得： 当6为腰长时，底边长为：20-6×2=8 6+6>8，符合题意 当6为底边长时，腰长为 7+7>6，符合题意​​​​​​​ 【解析】【分析】根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形三边关系即可求出答案. 17．【答案】（1）已知：∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE 求证：△ACD≌△CBE 证明： ∵∠ACD+∠DAC=90° ∠BCE+∠ACD=90° ∴∠BCE=∠DAC 在△ACD和​​​​​​​△CBE中 ∠BEC=∠ADC=90° ∠BCE=∠DAC AC=BC ∴△ACD≌​​​​​​​△CBE （2）解：∠ACB=90° ∵∠ACD+∠BCE=180°-∠ABC=90° ∠BCE+∠EBC=90° ∴∠ACD=∠EBC 在△ACD和△CBE中 ∠BEC=∠ADC=90° ∠ACD=∠EBC AC=BC ∴△ACD≌​​​​​​​△CBE ∴BE=DC=3cm，AD=CE=9cm DE=DC+EC=3+9=12cm 【解析】【分析】 （1）先根据∠ACD和∠DAC是直角三角形两个锐角，∠BCE和∠ACD互余。得到∠BCE=∠DAC，然后根据AAS证明△ACD≌△CBE。 （2）根据AAS证△ACD≌​​​​​​​△CBE，得到BE=DC，AD=CE。而DE=DC+EC即可求出DE的长度。 18．【答案】（1）解：∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＋∠BAD＝90°， ∵∠B＝40°， ∴∠BAD＝50° （2）证明：连结DE， ∵AD⊥BC ， CE是AB边上的中线， ∴DE＝AE＝BE， ∵AE＝CD， ∴DE＝CD， 又∵EG＝CG， ∴DG⊥CE.（等腰三角形三线合一） 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可得出答案； （2）连结DE，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝BE，进而得出DE＝CD，再根据三线合一即可求证. 19．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°. ∵∠BDC=120°， ∴∠BAC+∠BDC=180°， ∴∠ABD+∠ACD=180°. 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， 又∵CE=BD， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE. ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴ ∠DAC+∠CAE=∠DAE=60°， ∴△ADE 是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB （2）证明：如解图，在线段AP上取点D，使得AD=CP，连接CD， ∵∠APB=∠BPC=135°， ∴ ∠APC = 90°，∠ABP+∠PAB =45°，∠CBP+∠BCP=45°， 在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=45° ∴∠CAP+∠PAB=45°，∠ABP+∠CBP=45°， ∴∠ABP=∠CAP，∠ABP=∠BCP， ∴∠CAD=∠BCP， 在△ADC和△CPB中， ∴△ADC≌△CPB(SAS)， ∴∠ADC=∠CPB=135°， ∴∠PDC=45°， ∴△CPD是等腰直角三角形， ∴CP=DP， ∵PA=AD+DP， ∴PA=2PC. 【解析】【分析】 (1)根据等边三角形的性质和补角的定义推导出∠ABD=∠ACE，即可利用SAS判定△ABD≌△ACE即可根据全等三角形的性质和角度的运算得到∠DAC+∠CAE=∠DAE=60°从而得到△ADE 是等边三角形，由此即可解答； （2）在线段AP上取点D，使得AD=CP，连接CD，由已知条件和角度的运算关系得到∠CAD=∠BCP，再利用SAS判定△ADC≌△CPB，由此即可解答. 20．【答案】解：过点作于点， 设则如图： 在与中， ， 即 解得： ， (米)， ∴学校修建这个花园的费用(元)， 答：学校修建这个花园需要投资元． 【解析】【分析】过点作于点， 设则再根据勾股定理建立方程，解方程可得x=5，进而可得出的长，由三角形的面积公式即可求出答案. 21．【答案】（1）解：①证明：， . 在和中， ， ； ②如图， 由（1）①知：， . 与为等边三角形， ， ， . ， （2）解：当点D不在线段AP上时，∠CMD的度数发生改变，此时∠CMD的度数为120° ∵∠ABC = ∠DBE=60° ∴∠ABD= ∠CBE. 在△ABD和△CBE中， . ∵与为等边三角形 ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴ （3）解：∠CBD-∠CAD=30°. 【解析】【解答】解：（3）设BD⊥CE于O， ∵BD⊥CE， ∴∠BOC=90°， ∴∠ECB+∠CBD=90°①， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠CAB=60°， ∴∠CAD+∠BAD =60°， 由（2）知，， ∴ ∠ECB+∠CAD=60°②， ①-②得，∠CBD-∠CAD=30°. 【分析】（1）①先证明，再证明，进而得出结论； ②先说明，再根据等边三角形，进而得出 ，，进而得出答案； （2）先证明得出，再根据等边三角形即可得出答案； （3）由BD⊥CE，得∠BMC=90°（需确认点M的位置），在△BMC中，∠BMC=90°，结合等边三角形的性质，可推导角度关系，由△ABD≌△CBE得∠BAD=∠BCE，在△BMC中，∠BCE+∠CBD=90°，结合∠BAD=∠BCE得∠BAD+∠CBD=90°，将∠BAD=60°−∠CAD代入得(60°−∠CAD)+∠CBD=90°，整理得CBD−∠CAD=30°. 22．【答案】（1）解：对角线与的位置关系为，证明如下： 如图1， 在和中， ∵， ， ， ， ． （2）解：如图2， ， ， ， ， ，且， ， ， ， ． 【解析】【分析】（）根据相等，相等，BD是公共边，根据全等三角形的判定定理证明 全等，根据全等性质得相等，再根据，再根据等腰三角形的“三线合一”即可证明对角线与的位置关系为. （）根据，得相等，再根据相等，即可得相等，即可得等于20度，进一步得即可. （1）解：， 证明：在和中， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，且， ， ， ， ． 23．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30° （2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及线段平行的性质即可求出∠F的度数。 （2）根据△EDC为等边三角形，即可得到答案。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $