第1章 三角形（单元自测）数学新教材浙教版八年级上册

第1章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，下面以为边的三角形是（ ） A． B． C． D． 2．如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（ ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 3．图中以为边的三角形有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ） A． B． C． D． 5．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，，，是过A的一条直线，且B、C在异侧，于D，于E．若，，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 8．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（ ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 9．如图，经过的重心，连接，．如果的面积为2，那么的面积为（ ） A．6 B．12 C．8 D．16 10．如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的________．    12．已知中，，则按角分类是________三角形． 13．在中，，，那么长度的取值范围是________． 14．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是________． 15．如图，在中，是边上的中线，分别是垂足，已知，则________． 16．如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 9 分，共 72 分） 17．（9分）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 18．（9分） 如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19．（9分）【综合与实践】对图形进行剪切，拼接，是一种重要的数学实践活动．在解决有关“剪”和“拼”的数学问题中，抓住一些不变量，常是我们解决问题的关键． （1）如图，每个小正方形的边长为1，按图1的方式剪一剪后，拼成了图2中一个无缝的大正方形，则大正方形的边长为________； （2）教材第8页提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图3， ，古人把正方形沿，两线段剪成四块全等的四边形①，②，③，④后，再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切，拼接形式，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组想要重做上述实验，但他们却不知道该从正方形边上的哪个点剪起． ①探究小组在正式裁剪前，经过分析初步得出了下面一些结论： A． B． C．，，，分别为正方形四边的中点 D． 上面结论中不恰当的是（ ）． ②若测得，，设，，求的值． 20．（9分）如图，，，，延长至点使， （1）求证：． （2）若，求． 21．（9分）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）在坐标平面上找到一点，使与全等，写出点的坐标． 22．（9分）如图，在中： （1）作中线，高，角平分线，延长交于点O； （2）若，，则 °， °． 23．（9分）已知． （1）求证：； (2)，求的度数． 24．（9分）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、． （1）如图2，当，求的大小． （2）在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； （3）如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，下面以为边的三角形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【解析】以为边的三角形有，，． 故选A 2．如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（ ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 【分析】利用角平分线的尺规作图和三角形全等的判定定理即可求解． 【解析】如图， 以点为圆心，为半径作弧，交、于点、，分别以点、为圆心，以为半径作弧，交于点，连接，即为的平分线． 在和中， ∴， ∴，即为的平分线．故选A． 3．图中以为边的三角形有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【解析】以为边的三角形有：、、，共个． 故选C ． 4．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出第三边的取值范围是解题的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后选择答案即可． 【解析】∵，， ∴第三边， 观察各选项，能组成三角形的第三根木棒的长度是． 故选C． 5．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线、角平分线、高的定义，解答即可． 【解析】，，分别是的中线、角平分线、高， ，，，，，不成立， 故ABC正确；D错误.故选D． 6．如图，，，是过A的一条直线，且B、C在异侧，于D，于E．若，，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案． 【解析】∵于D，于E， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 故选B． 7．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】判定全等需边、角对应相等，两边及其中一边的对角不能判定一般三角形全等，据此逐一验证四组条件. 【解析】① ，，，符合判定，可确定. ② ，，，边与角不对应，不能确定全等. ③ ，，，边不对应，不能确定全等. ④ ，，，为两边及其中一边的对角，不能确定全等. 综上，能确定全等的条件共组.故选A． 8．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（ ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【解析】A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 9．如图，经过的重心，连接，．如果的面积为2，那么的面积为（ ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的定义，三角形中线的性质，根据题意可得，，；设，，，进而得出，结合已知条件，即可求解． 【解析】如图，延长交分别于点， ∵点是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵的面积为2， ∴， ∴的面积为， 故选B． 10．如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及翻折性质、三角形外角性质等知识，熟记翻折性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 先由翻折性质得到，再由外角性质得到，，从而得，再根据即可得到答案． 【解析】如图所示： 将沿直线翻折，点落在点的位置， ， ，， ， ∴， ， ， 解得， 故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的________．    【答案】中线 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解析】由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故答案为中线． 12．已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为锐角． 13．在中，，，那么长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系即可求解． 【解析】在中，，， ， 即， ∴．故答案为$4\mathrm{cm}< BC< 20\mathrm{cm}$． 14．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是________． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【解析】当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为10． 15．如图，在中，是边上的中线，分别是垂足，已知，则________． 【答案】 2 【分析】利用三角形中线的性质得出与面积相等，结合三角形面积公式建立关于的方程． 【解析】∵是的中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴．故答案为2． 16．如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为________． 【答案】（或35度） 【解析】∵， ∴， ∴．故答案为（或35度）． 三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 9 分，共 72 分） 17．（9分）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可求解． 【解析】∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是边上的高线， ∴． ∴． 18．（9分） 如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明: ∵， ∴， 即: ， 在与中， ， ∴； （2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 19．（9分）【综合与实践】对图形进行剪切，拼接，是一种重要的数学实践活动．在解决有关“剪”和“拼”的数学问题中，抓住一些不变量，常是我们解决问题的关键． （1）如图，每个小正方形的边长为1，按图1的方式剪一剪后，拼成了图2中一个无缝的大正方形，则大正方形的边长为________； （2）教材第8页提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图3， ，古人把正方形沿，两线段剪成四块全等的四边形①，②，③，④后，再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切，拼接形式，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组想要重做上述实验，但他们却不知道该从正方形边上的哪个点剪起． ①探究小组在正式裁剪前，经过分析初步得出了下面一些结论： A． B． C．，，，分别为正方形四边的中点 D． 上面结论中不恰当的是（ ）． ②若测得，，设，，求的值． 【答案】（1）； （2）① D；②1 【分析】本题考查勾股定理，以及勾股定理的证明方法，二元一次方程组的实际应用： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）①根据全等图形的性质，结合拼接过程中线段的长度不变，逐一进行判断即可；②根据，，列出二元一次方程组进行求解即可． 【解析】（1）解：由图和勾股定理，得：大正方形的边长为； 故答案为； （2）①由题意，得：四边形四边形四边形四边形， ∴；，故选项A正确； 由图形可知：， ∴；故选项B正确； 由图形可知：， ∴，，，分别为正方形四边的中点；故选项C正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于；故选项D错误； 故选D． ②由①知：， ∵，， ∴，， 联立，解得：； ∴． 20．（9分）如图，，，，延长至点使， （1）求证：． （2）若，求． 【答案】（1） 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【解析】（1）略 （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 21．（9分）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）在坐标平面上找到一点，使与全等，写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析，，， （2）画图见解析，的坐标为或或 【分析】（ ）根据轴对称的性质画出图形，再根据图形写出各点坐标即可； （ ）根据全等三角形的判定方法解答即可； 本题考查了画轴对称图形，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可得，，，； （2）解：如图所示，点均符合题意，即为所求， ∴点的坐标为或或． 22．（9分）如图，在中： （1）作中线，高，角平分线，延长交于点O； （2）若，，则 °， °． 【答案】（1） 如图，、、、点即为所作； （2）60；75 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的中线、高和角平分线． （1）根据三角形的中线、高和角平分线的定义画出图形； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再根据高的定义得，则利用互余计算出，接着根据角平分线的定义得到，然后利用互余可计算出的度数． 【解析】（1）略 （2）解：，， ， 是的高， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为60，． 23．（9分）已知． （1）求证：； (2)，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2） 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴． 24．（9分）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、． （1）如图2，当，求的大小． （2）在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； （3）如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）不变， （3）为或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角平分线得到，，最后根据，即可解答； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可解答． 【解析】（1）解：，， ， 点为三条内角平分线交点， ，， （2）解：不变，理由如下： 点为三条内角平分线交点， ，， ； （3）解：设， ， ， ∵平分， ， ∵平分， ∴， ， ， ，， ， ． 在中有一个角是另一个角的2倍， ①若，则 解得： ②若，则，解得： ③若，则，解得：， ④若，则，解得： 在中有一个角是另一个角的2倍时，为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $