第15章 轴对称图形与等腰三角形（单元自测）数学新教材沪科版八年级上册

第15章 轴对称图形与等腰三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是成轴对称图形的识别．利用成轴对称图形的概念（两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，就是成轴对称图形）可得答案． 【解析】A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意； B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意； 故选A． 2．下列说法中，正确的是（ ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．线段的对称轴只有一条 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形有三条对称轴 【答案】D 【解析】选项A，全等三角形仅表示两个三角形形状、大小完全相同，与位置无关，轴对称要求两个图形沿某条直线折叠后完全重合，对位置有要求，因此两个全等三角形不一定关于某条直线成轴对称，选项错误，不符合题意； 选项B分析：线段的对称轴有2条，分别是线段本身所在的直线、线段的垂直平分线，并非只有1条，选项错误，不符合题意； 选项C，对称轴是直线，等腰三角形底边上的中线是线段，不符合对称轴的定义，应为等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，选项错误，不符合题意； 选项D，等边三角形的三条高（或三条角平分线、三条中线）所在的直线都是它的对称轴，共3条，选项正确，符合题意．故选D． 3．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【答案】B 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【解析】因为为等腰三角形， 所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个． 故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 4．如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【解析】∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选A 5．如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解析】∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选C． 6．如图，在中，和的平分线交于点E，过点作交于M，交于N，若，，则线段的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与，平行线的性质，用角平分线的定义，利用角平分线定义和平行线的性质可以证明，，，而，据此即可解答． 【解析】∵、的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故选B． 7．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【解析】如图所示：图中符合条件的点有个， 故选C． 8．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【解析】如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选D． 9．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【解析】∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选A． 10．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【解析】根据题意可得：平分，即， 故选C． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．锐角等腰三角形腰上的高与另一个腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角为________． 【答案】（或70度） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先画出图形，再根据等腰三角形的性质，一腰上的高与另一腰的夹角为，通过直角三角形求出顶角，再利用三角形内角和定理求底角即可． 【解析】如图，在锐角等腰三角形中，，从点B作于点D，则，在中，， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 12．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为________度 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可． 【解析】设， ∵， ∴，． ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为． 13．在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为________． 【答案】（或20度） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，关键是利用线段垂直平分线的性质进行角的转换； 根据可得，又根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可求出结果． 【解析】∵ ∴ ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为． 14．如图，在等腰三角形中，，若，于点D，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余，先利用等腰三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余得出的度数，进而求得最终结果． 【解析】∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为22． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． （1）证明：是线段的垂直平分线； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2） 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（8分）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，，利用三角形内角和定理求出角的度数证明． 【解析】是等边三角形，平分，， ，，， ． 又， ， ， ． 【点睛】重点掌握三线合一． 17．（8分）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2） 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：， ，是边上的中线， ． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，解答下列问题： （1）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ （2）求的面积； （3）已知为轴上一点，若的面积是的面积的倍，求此时点的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求，关于轴对称； （2）； （3）点的坐标为或． 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，分割法求面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）确定点的坐标，描点后，观察即可得出关系； （ ）利用长方形面积减去三个三角形面积即可求解； （ ）设的边上的高为，点的坐标为，然后分为当点在轴负半轴上时；当点在轴正半轴上时两种情况分析即可． 【解析】（1）解：由坐标系可得， ∴纵坐标都乘得， ∴与的位置关系是关于轴对称； （2）解：； （3）解：设的边上的高为，点的坐标为， ∴， 因为的面积是的面积的倍， 所以，解得， 所以当点在轴负半轴上时，； 当点在轴正半轴上时，． 综上，点的坐标为或． 19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B． （1）求点B的坐标； （2）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时， （i）求的长； （ii）是否存在一点，使得最小？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为 （2）（i）；（ii）存在，m的值为4 【分析】（1）联立两个函数，解出x的值，将x的值代入其中一个函数求出y，即可得到点B的坐标； （2）（i）先求出点A的坐标，设点C坐标为，则点D的坐标，点E的坐标为，根据图象得出，，结合，求出n的值，代入进行求解； （ii）将军饮马模型求最短路径，过作B的对称点，得到点的坐标为，根据（i）可知点E的坐标为，设经过点和E的函数表达式为：，代入点和点E的坐标，可求出函数表达式，三点共线值最小，此时P在上，将点P坐标代入表达式可求出m． 【解析】（1）解：联立和得：， ， ， ， ， 将代入得：， 点B的坐标为； （2）（i）设点C坐标为，则点D的坐标，点E的坐标为， 在中，令，则， 解得：， 点A的坐标为； 点C在点A右侧， ， ，， ， ， 解得：， ，， ； （ii）存在，m的值为4，理由如下， 作一条的直线，过该直线作B的对称点，因为点B的纵坐标为4，所以点在x轴上，则点的坐标为，连接，和的交点为P，此时最小，如下图所示， ， 当、P和E三点共线时，取得最小值， 由（i）可知，点E的坐标为， 设经过点、P和E的函数表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 经过和E的函数表达式为：， 将点代入得：， 解得：． 20．（10分）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质及平角的意义．根据折叠的性质和平角的意义，得出关于的方程，求解方程即可得出答案． 【解析】由折叠可知，，， ∵， ∴． ∴． 21．（12分）如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，与关于y轴对称，点A的对称点为． （1）作出； （2）写出的坐标； （3）若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）； （3）点P的坐标为． 【分析】本题考查作图中的轴对称变换、最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【解析】（1）略 （2）由图可得，． （3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求， 点P的坐标为． 22．（12分）在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； （2）如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 【答案】（1） （2） ①依据题意，补全图2，如下： ②解：，证明： 如图，过点C作交的延长线于点G， ∵点D关于直线的对称点为F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定： （1）证明，可得，即可解答； （2）①根据题意，补全图形即可；②过点C作交的延长线于点G，证明，可得，，从而得到，再结合，可得，，从而得到，可证明，即可解答． 【解析】（1）解：如图， ∵点D关于直线的对称点为F． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①略 ②略 23．（14分）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： （1）如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： （2）如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 【答案】（1） （2）最少的铺设水管的费用是225000元 【分析】（1）作点B关于 的对称点 ，连接 交于P，此时的值最小，连接先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论； （2）根据轴对称的性质确定水厂位置，作 交的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可． 【解析】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，连接． 因为等腰的直角边长为4，E是斜边的中点， 所以， ， 因为，所以， 所以． （2）如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所选择的位置，过点作交的延长线于点． 在中，千米，千米， 所以（千米）， 所以最短路线（千米）， 最少的铺设水管的费用为（元）． 答：最少的铺设水管的费用是 元． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、两点之间，线段最短的性质是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（ ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．线段的对称轴只有一条 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形有三条对称轴 3．已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 4．如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，和的平分线交于点E，过点作交于M，交于N，若，，则线段的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．锐角等腰三角形腰上的高与另一个腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角为________． 12．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为________度 ． 13．在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为________． 14．如图，在等腰三角形中，，若，于点D，则的度数为________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． （1）证明：是线段的垂直平分线； （2）若，求的度数． 16．（8分）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 17．（8分）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，解答下列问题： （1）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ （2）求的面积； （3）已知为轴上一点，若的面积是的面积的倍，求此时点的坐标． 19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B． （1）求点B的坐标； （2）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时， （i）求的长； （ii）是否存在一点，使得最小？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 20．（10分）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 21．（12分）如图，在直角坐标系中，各顶点坐标分别为，与关于y轴对称，点A的对称点为． （1）作出； （2）写出的坐标； （3）若P为x轴上一动点，当最小时，直接写出点P的坐标． 22．（12分）在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； （2）如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 23．（14分）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： （1）如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： （2）如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $