第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第15章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷 参考答案与解析（仿写改编卷） 一、选择题（每题4分，共40分） 1．C　2．A　3．B　4．B　5．C　6．C　7．C　8．B　9．A　10．B 二、填空题（每题5分，共20分） 11．7　12．5　13．19　14．60 三、解答题 15．（1）∵点P在AC的垂直平分线上，∴PA=PC；∵点P在BC的垂直平分线上，∴PB=PC；故PA=PB=PC。（7分） （2）点P在AB的垂直平分线上。理由：由（1）知PA=PB，即点P到线段AB两端点的距离相等，而到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以点P在AB的垂直平分线上。（5分） 16．（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C。又BD=CF，BE=CD，∠B=∠C，∴△BDE≌△CFD（SAS）。（6分） （2）∵∠A=40°，AB=AC，∴∠B=∠C==70°。 由（1）△BDE≌△CFD，得∠BDE=∠CFD。 在△CDF中，∠CDF+∠CFD=180°−∠C=110°，∴∠BDE+∠CDF=110°。 ∵点D在BC上，∠EDB、∠EDF、∠FDC构成平角，∴∠EDF=180°−(∠BDE+∠CDF)=70°。（6分） 17．（1）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。 ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。在△BDE与△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=DA，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=AC=6。 在△ABE中，AB−BE＜AE＜AB+BE，即10−6＜2AD＜10+6，∴4＜2AD＜16，故2＜AD＜8，即中线AD长的取值范围为2＜AD＜8。（6分） （2）由（1）倍长中线可得BE=AC。在△ABE中，AB+BE＞AE（三角形两边之和大于第三边），且AE=2AD，BE=AC，∴AB+AC＞2AD。（6分） 18．（1）∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD。在△ACE与△BCD中，AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD。（5分） （2）由（1）△ACE≌△BCD，得∠CAE=∠CBD，即∠CAN=∠CBM。又∠ACN=180°−∠ACB−∠DCE=60°=∠BCM，AC=BC，∴△ACN≌△BCM（ASA），∴CN=CM。又∠MCN=∠ACN=60°，∴△MCN为等边三角形。（5分） （3）由（1）全等得∠EAC=∠DBC。∵∠PAB=∠EAB=∠EAC+∠CAB=∠EAC+60°，∠PBA=∠DBA=∠DBC=∠EAC，且∠EAC=∠DBC=30°，∴∠APB=180°−∠PAB−∠PBA=180°−(30°+60°)−30°=60°。（4分） 19．（1）∵AB=AC，BD=CE，∴AB−BD=AC−CE，即AD=AE。在△ABE与△ACD中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD（SAS）。（5分） （2）△OBC是等腰三角形。理由：由（1）△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD。又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，故∠OBC=∠ABC−∠ABE=∠ACB−∠ACD=∠OCB，所以OB=OC，即△OBC为等腰三角形。（5分） （3）∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH（三线合一），即H为BC的中点。又OB=OC，O在线段BC的垂直平分线上；AB=AC，A在线段BC的垂直平分线上；∴直线AO是线段BC的垂直平分线，故AO的延长线经过BC的中点H。（4分） 20．（1）∠BDA′+∠CEA′=2∠A。 证明：由折叠知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE， ∴∠CEA′=180°−2∠AED，∠BDA′=180°−2∠ADE。 两式相加得∠BDA′+∠CEA′=360°−2(∠AED+∠ADE)。 在△ADE中，∠AED+∠ADE=180°−∠A， ∴∠BDA′+∠CEA′=360°−2(180°−∠A)=2∠A。（8分） （2）∠CEA′−∠BDA′=2∠A。（6分） 21．（1）△OP1P2是等边三角形。 证明：∵点P、P1关于OA对称，∴OP1=OP，∠P1OA=∠AOP；∵点P、P2关于OB对称，∴OP2=OP，∠POB=∠BOP2。 ∴OP1=OP2=OP=8，∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴△OP1P2为等边三角形。（6分） （2）由轴对称可知PM=P1M，PN=P2N，故△PMN的周长=PM+MN+NP=P1M+MN+NP2。由两点之间线段最短，P1M+MN+NP2≥P1P2=8，当P1、M、N、P2四点共线时取等号，所以△PMN周长的最小值为8。（4分） （3）若∠AOB=60°，则∠P1OP2=2∠AOB=120°。又OP1=OP2=8，故△OP1P2为等腰三角形，∠OP1P2==30°。（4分） （内容由AI生成，仅供参考） 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版八年级数学上册第15章 《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷 （仿写改编卷·能力提升　满分150分，时间120分钟） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿ 一、选择题（每题4分，共40分） 1．下列图形：①圆；②菱形；③含30°角的直角三角形；④等腰梯形。其中是轴对称图形的有（　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 2．点P关于x轴的对称点P1的坐标为(−3，5)，则点PP2关于y轴的对称点的坐标为（　） A．(3，−5)　　B．(−3，−5)　　C．(3，5)　　D．(−5，3) 3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC=（　） A．20°　　B．30°　　C．40°　　D．70° 4．若等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（　） A．21　　B．27　　C．21或27　　D．32 5．若等腰三角形的一个外角为110°，则它的顶角为（　） A．40°　　B．70°　　C．40°或70°　　D．110° 6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，延长CB到点E，使BE=CD，连接DE，则∠E=（　） A．20°　　B．25°　　C．30°　　D．45° 7．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形的顶角为（　） A．55°　　B．125°　　C．55°或125°　　D．55°或145° 8．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。若AB=9，AC=7，则△ADE的周长为（　） A．14　　B．16　　C．18　　D．20 9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=45°，将其折叠使点A与点B重合，折痕为DE，则∠DBC=（　） A．22.5°　　B．25°　　C．30°　　D．45° 10．如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　） A．15　　B．17　　C．19　　D．21 二、填空题（每题5分，共20分） 11．已知点A(a，4)与点B(−3，b)关于y轴对称，则a+b=＿＿＿＿。 12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，则图中共有＿＿＿＿个等腰三角形。 13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若AB=11，AC=8，则△ACE的周长为＿＿＿＿。 14．如图，△ABC与△ADE都是等边三角形，连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于点F。若∠BAD=50°，则∠BFC=＿＿＿＿°。 三、解答题（共90分） 15．（12分）如图，在△ABC中，边AC、BC的垂直平分线相交于点P。（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否在AB的垂直平分线上？说明理由。 16．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E在AC上，点F在AB上，且BD=CF，BE=CD。（1）求证：△BDE≌△CFD；（2）若∠A=40°，求∠EDF的度数。 17．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。（1）若AB=10，AC=6，求中线AD长的取值范围；（2）求证：AB+AC＞2AD。（提示：可延长AD到点E，使DE=AD，连接BE） 18．（14分）如图，B、C、E三点共线，△ABC与△DCE都是等边三角形，AE与BD相交于点P，AE交CD于点N，BD交AC于点M，连接MN。（1）求证：AE=BD；（2）求证：△MCN是等边三角形；（3）求∠APB的度数。 19．（14分）合肥天鹅湖畔一座景观拱桥的钢结构支架可抽象为：如图，桥拱两侧支撑臂AB=AC，为加固在AB、AC上分别取点D、E，使BD=CE，连接BE、CD交于点O。（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）判断△OBC的形状并说明理由；（3）过A作AH⊥BC于点H，求证：AO的延长线经过BC的中点。 20．（14分）折叠探究：（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠（点D在AB上、点E在AC上），点A落在四边形BCED内部的点A′处，探究∠CEA′与∠BDA′的和与∠A之间的数量关系，并证明；（2）如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED外部的点A′处，直接写出∠CEA′、∠BDA′与∠A之间的数量关系（不需证明）。 21．（14分）综合与实践——将军饮马模型拓展：如图，∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，OP=8，M、N分别为OA、OB上的动点。（1）分别作P关于OA、OB的对称点P1、P2，判断△OP1P2的形状并证明；（2）求△PMN周长的最小值；（3）若将∠AOB改为60°，其余条件不变，直接写出此时△OP1P2的形状及∠OP1P2的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $