第14章 全等三角形（单元自测）数学新教材沪科版八年级上册

第14章 全等三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等形的识别，观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等形”即可得到答案． 【解析】属于全等形的是D选项，其他选项的两个图形大小不一致，不符合题意， 故选D． 2．下列图形中，具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对图形稳定性的理解和判断．解题的关键在于理解稳定性的定义，即图形在受到外力作用时能够保持其形状和大小不变的性质，并熟悉哪些基本图形具有稳定性． 在判断组合图形的稳定性时，可以根据图形中是否包含三角形或者能否通过三角形的组合来增强图形的稳定性即可解答． 【解析】A． 正方形状：正方形在受到外力作用时，容易变形，因此不具有稳定性，故该选项不符合题意； B． 梯形和三角形组合：这个组合包含了梯形和三角形，由于梯形的是四边形，这个组合的整体不具有稳定性，故该选项不符合题意； C． 三角形组合的六边形：这个图形是由三角形组合而成的六边形，由于三角形具有稳定性，这个六边形在受到外力时能够保持其形状不变．因此，这个图形具有稳定性，故该选项符合题意； D． 平行四边形：平行四边形在受到外力作用时，容易变形，因此不具有稳定性．故该选项不符合题意； 故选C． 3．如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（ ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 【分析】利用角平分线的尺规作图和三角形全等的判定定理即可求解． 【解析】如图， 以点为圆心，为半径作弧，交、于点、，分别以点、为圆心，以为半径作弧，交于点，连接，即为的平分线． 在和中， ∴， ∴，即为的平分线．故选A． 4．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ） A．屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．升降平台 D．旧木门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【解析】由图可知，A，B，D都应用了三角形的稳定性，C应用了四边形的不稳定性， 故选C． 5．下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，构成三角形的条件，根据全等三角形的判定定理即可判断A、B、C，根据构成三角形的条件即可判断D． 【解析】A、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意 B、由可以证明三角形全等，能确定三角形的形状和大小，符合题意； C、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意 D、由不能构成三角形，不符合题意． 故选B． 6．如图，在中，，．若，，则（ ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可证，进而可证明，可得，，则题目可解． 【解析】∵，， 且， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故选B． 7．在和中，．添加下列条件后，不能判定 的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】A选项，∵，，， ∴，不符合题意． B选项，∵，，， ∴，不符合题意． C选项，∵，，， ∴，不符合题意． D选项，仅，，结合已知，无对应边相等，不能判定两三角形全等，符合题意．故选D． 8．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识，掌握这些知识是关键；由平行线的性质及等腰三角形性质、三角形内角和，可求得，从而判断①；可证明，得，即可判断②；由②的判断可判断③；由得，而，由此即可判断④，从而可确定答案． 【解析】∵，， ∴， 由题意知，， ∴， 故①正确； 由题意知：，且， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由②知，， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④错误， 综上，正确的有①②③三个正确， 故选B． 9．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形知识；解题的关键是通过正方形面积求边长，设未知数表示相关线段，利用勾股定理建立方程求解；先由正方形的面积求出其边长，易证得，根据，证得，． 【解析】∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可证 ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选D． 10．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】判定全等需边、角对应相等，两边及其中一边的对角不能判定一般三角形全等，据此逐一验证四组条件. 【解析】① ，，，符合判定，可确定. ② ，，，边与角不对应，不能确定全等. ③ ，，，边不对应，不能确定全等. ④ ，，，为两边及其中一边的对角，不能确定全等. 综上，能确定全等的条件共组.故选A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．如图，用尺规作的依据是________． 【答案】 【解析】由作法得： 在和中， ， ．故答案为$\mathrm{SSS}$． 12．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有________对． 【答案】3（或三） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解析】∵， ∴在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， 故图中的全等三角形一共有3对， 故答案为3． 13．如图，D，E是等边两边上的两个点，且，连接与交于点P，过点B作于Q，那么，________． 【答案】 【分析】利用“”证明，根据全等三角形对应角相等，得出，根据三角形外角的性质求出，根据含30度的直角三角形的性质，得出，即可得出结果． 【解析】∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故答案为$2\colon 1$． 14．如图，已知，，若直接用“SAS”判定，则可补充的条件是________；若用“ASA”判定，则可补充的条件是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键 【解析】直接用“”判定补充条件为：，理由如下： ， ， . 在和中， . 用“”判定补充条件为：，理由如下： ， ， . 在和中， . 故答案为①② ． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）如图，在中，分别是上的点，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【解析】在和中， ， ． ， ， ． 16．（8分）如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2） 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【解析】（1）略 （2）解：由（1）知： 所以，即． 17．（8分）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中 ， ． （2） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，然后根据证明出即可； （2）根据三角形全等的性质结合三角形外角的性质可得，即可求解； 【解析】（1）略 （2）解：∵， ， ∵， ∴． 18．（8分）中，，，在平面直角坐标中的位置如图所示． （1）如图1，已知，，求点C的坐标； （2）如图2，已知，，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）过点作轴，交轴于点，通过直角三角形两个锐角互余，结合同角的余角相等可证明，然后通过证明，最后通过全等三角形的性质与线段和差关系可得到、，即可得到点的坐标； （2）过点作轴，交轴于点，延长，过点作，交于点，通过直角三角形两个锐角互余，结合同角的余角相等可证明，然后通过证明，最后通过全等三角形的性质与线段和差关系可得到点的横纵坐标，即可得到点的坐标． 【解析】（1）解：如图，过点作轴，交轴于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ∴点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴，交轴于点，延长，过点作，交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 19．（10分）解决下列问题． （1）如图①，为线段上一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． （2）如图②，为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧，此时与相等吗？请说明理由． （3）如图③，为线段外一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）相等．理由见解析 （2）相等．理由见解析 （3）相等．理由见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质得到对应边相等，推导夹角相等，通过证明三角形全等证线段相等； （2）根据等边三角形性质找出相等边，结合三点共线推导等角，借助证明全等； （3）由等边三角形边角特性，等式变形推导夹角相等，利用证明三角形全等． 【解析】（1）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 在和中： ∴， ∴． （2）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． ∵点为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧， ∴点，，这三点共线， ∴， 在和中： ∴， ∴． （3）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 在和中： ∴， ∴． 20．（10分）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1)， （2）证明：①与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ； ②在等边三角形中，， ， ， ； （3） 【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可； （2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可； （3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可． 【解析】（1）解：，，， ， 在与中， ， ； ； （2）略 （3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示： ， 是等边三角形， 与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， 则在等边三角形中，． 21．（12分）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； ∴； （2） （3） 证明：延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）根据，推出，证明即可解答． （2）先证明，得到，再求出，，即可解答． （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【解析】（1）略 （2）解：∵， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 22．（12分）点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. （1）在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. （2）根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 【答案】（1）② （2） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质定理； （1）根据全等三角形的判定定理进行判断即可； （2）由得出，再由即可求解． 【解析】（1）解：①作为条件，再结合已知条件：,， 能利用“”证明，故①不符合题意； ②作为条件，可得出，即，再结合已知条件：,，就能利用“”证明，故②符合题意； ③作为条件，无法证明，故③不符合题意； 故答案为②． （2）解：根据（1）中添加的条件, ∵， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴， ∵． 23．（14分）如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，． （1）求点P到的距离； （2）如图1，射线交的垂直平分线于点C，试判断的形状，并说明理由； （3）如图2，为x轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与y轴，线段分别交于点F，G，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 【答案】（1）1 （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 如图．延长交y轴于点R，作于S，于T， 点C是垂直平分线上的点， ， ， ， ， ， 到，，的距离均为1， ，，分别平分，，， ， ， 于S，于T，平分， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，且． （3）的周长不变，为4 【分析】本题主要考查坐标与图形，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识： （1）过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，由得，再根据可得结论； （2）延长交y轴于点R，作于S，于T，根据垂直平分线的性质得，证明，，分别平分，，得，，证明得，得，再证明，得出，即可得到结论； （3）过点P分别作垂线，，，，连，．证明，，得到，，可求出的周长为，故可得结论 【解析】（1）解：过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，如图 ，，， ，，， ， ， ， ∵, ∴， ∴ ． （2）略 （3）解：的周长不变，为4，理由如下： 过点P分别作垂线，，，，连，． 将沿所在直线翻折， ， ， ，， ，， 的周长为， ，， ， 的周长为4． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中，具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，作一个角的平分线，其尺规作图的原理是（ ） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 4．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ） A．屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．升降平台 D．旧木门钉木条 5．下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图，在中，，．若，，则（ ） A．6 B．7 C．8 D． 7．在和中，．添加下列条件后，不能判定 的是（ ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 10．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．如图，用尺规作的依据是________． 12．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有________对． 13．如图，D，E是等边两边上的两个点，且，连接与交于点P，过点B作于Q，那么，________． 14．如图，已知，，若直接用“SAS”判定，则可补充的条件是________；若用“ASA”判定，则可补充的条件是________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）如图，在中，分别是上的点，且．若，求的度数． 16．（8分）如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 17．（8分）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18．（8分）中，，，在平面直角坐标中的位置如图所示． （1）如图1，已知，，求点C的坐标； （2）如图2，已知，，求点C的坐标． 19．（10分）解决下列问题． （1）如图①，为线段上一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． （2）如图②，为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧，此时与相等吗？请说明理由． （3）如图③，为线段外一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． 20．（10分）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 21．（12分）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 22．（12分）点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. （1）在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. （2）根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 23．（14分）如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，． （1）求点P到的距离； （2）如图1，射线交的垂直平分线于点C，试判断的形状，并说明理由； （3）如图2，为x轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与y轴，线段分别交于点F，G，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $