第12章 函数与一次函数（单元自测）数学新教材沪科版八年级上册

第12章 函数与一次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．正比例函数的图象经过的象限是（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 根据正比例函数的图象与性质即可得到结论． 【解析】∵， ∴ 正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选B． 2．小哲匀速地向一个容器装水，直至装满容器．若在接水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的图象，用到的知识点是函数图象的应用，掌握匀速地向一个容器内注水，容器粗细与水面高度变化的关联情况是解题关键． 根据每一段函数的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【解析】从图中可以看出，段水面上升速度最快，段水面上升速度较慢，段水面上升速度较快， 由速度变化与所给容器的粗细有关， 则相应的排列顺序为下端较细，中间最粗，上端较粗． 故选C． 3．函数中自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负建立不等式求解即可． 【解析】由题意得，， ∴．故选B． 4．如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据点的运动路径，当点分别在上、上、上表示出的面积随的变化情况即可判断． 【解析】由题知，因为四边形是矩形，且，，． 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，， 当时，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而减少， 当时，点与点重合，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，． 对照四个选项，不难发现C选项符合题意． 故选C． 5．将直线向下平移个单位长度后得到直线（、为常数，且），则下列关于直线说法正确的是（ ） A．与轴的交点坐标为 B．经过第一、二、三象限 C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数的图象和性质，根据一次函数图象的平移规律求出平移后的直线解析式，再根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解析】∵直线 向下平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，， ∴， ∴平移后的直线与轴的交点坐标为，故选项错误； ∵，， ∴平移后的直线经过一、三、四象限，故选项错误； 当时，， ∴平移后的直线与轴的交点坐标为， ∴平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项错误； ∵， ∴随的增大而增大，故选项正确； 故选． 6．已知一次函数的图象经过点，则方程必然有一组解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点代入一次函数解析式得到的定值，将方程变形后整体代入推导对应解． 【解析】∵一次函数的图象经过点 ∴将，代入，得 方程可变形为 取，此时 代入上式得，解得 ∴方程必有一组解为．故选A． 7．若无论取何值，总是取与中的较小值，则的最大值为（ ） A． B．3 C．4 D．7 【答案】C 【分析】根据题意可知，y的最大值就是两函数相交时y的值，联立两方程求出y的值即可． 【解析】由题意得，当时，， 解得， ∴， ∵当时，；当时，， ∴y的最大值为4．故选C． 8．关于函数，下列说法错误的是（ ） A．当时， B．随的增大而减小 C．若，为该函数图象上两点，，则 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】先确定一次函数的、符号，再结合一次函数的性质判断各选项正误即可． 【解析】函数为一次函数，其中，， 将代入表达式，得，故选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴随的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 由随的增大而减小可知，当时，，故选项C说法错误，符合题意； ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，故选项D说法正确，不符合题意． 9．如图，一次函数（，为常数且）与一次函数（，为常数且）的图象相交于点，给出下列结论：①关于的方程的解是；②当时，函数的值比函数的值小；③关于的不等式的解集是；④关于，的方程组的解是，其中错误的结论有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与方程和不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数与方程和不等式的关系逐项判断即可． 【解析】①：方程 的解为两函数图象交点的横坐标，即 ，正确． ②：当 时，函数 的图象在 图象下方，即的值小于 的值，正确． ③：不等式 的解集为图象在图象下方时的取值范围，即 ，而不是 ，错误． ④：方程组 的解为两函数图象交点坐标，是 ，正确． 错误的结论有1个， 故选B． 10．一次函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一次函数图象与系数的关系：，，的图象在一、二、三象限，，，的图象在一、三、四象限，，，的图象在一、二、四象限，，，的图象在二、三、四象限，据此判断即可． 【解析】∵， ∴， ∴一次函数经过第一、第二、第四象限， 故只有A选项符合题意．故选A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．当________时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，一次函数解析式 的结构特征：（1）是常数， ；（2）自变量的次数是；（3）常数项可以为任意实数． 根据一次函数的定义求解即可． 【解析】∵函数 是一次函数， ∴， 解得. 故答案为． 12．已知点、都在直线上，则、的大小关系是________． 【答案】 【分析】利用一次函数的增减性或代入自变量求函数值来分析． 【解析】方法一： 对于直线，， 随的增大而增大，横坐标越大，对应的值越大． 点、在直线上，且横坐标， ． 方法二： 将点的横坐标代入直线方程，直接计算和的值． 当时，， 当时，， 经比较可知，， ．故答案为$y_{1}&lt; y_{2}$． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接． （1）________； （2）若直线与有公共点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）求出直线经过点和点时，的值，即可得出结果． 【解析】（1）∵点，的坐标分别为， ∴， ∵轴，且， ∴，； （2）由（1）知：， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∴当直线与有公共点时，．故答案为① $\frac{1}{2}$ ## $0.5$ ② $-2\leq b\leq 0$． 14．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点． （1）当时，点A的坐标为________； （2）若当（t为常数）时，该一次函数的最大值为10，最小值为4，则k的值为________． 【答案】 【分析】（1）把点B的坐标代入解析式求出b的值，再求出时x的值即可得到答案； （2）分两种情况：当时，则y随x的增大而增大，当时，则y随x的增大而减小，分别建立方程组求解即可． 【解析】（1）∵一次函数与y轴交于点， ∴， 当时，一次函数的解析式为， 当时，，解得， ∴； （2）∵一次函数与y轴交于点， ∴； 当时，则y随x的增大而增大， ∵当（t为常数）时，该一次函数的最大值为10，最小值为4， ∴， ∴； 当时，则y随x的增大而减小， ∵当（t为常数）时，该一次函数的最大值为10，最小值为4， ∴， ∴； 综上所述，k的值为．故答案为① $\left(-2,0\right)$ ② $\pm 2$． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）已知一次函数． （1）将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x 0 1 （2）点 (填“在”或“不在”)函数图象上． 【答案】（1） 补充表格如下： x … 0 1 … … 0 4 6 … 画出函数图象如下． （2）不在 【分析】本题考查一次函数的图象，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象． （1）直接将点横（纵）坐标代入，计算即可补充表格，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象； （2）求出当时的函数值，即可求解． 【解析】（1）解：时，， 解得：， 时，， 时， （2）解：当时，， ∴点 不在函数图象上． 故答案为不在 16．（8分）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求点A，B的坐标，并在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】函数的图象如图所示． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标并画出函数图象是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象． 【解析】当时，，解得，则点的坐标为； 当时，，则点的坐标为． 17．（8分）已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）判断点是否在函数图像上． 【答案】（1） （2）点不在函数图像上 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． （1）由题意可设，代入，求出的值，即可求解； （2）代入，求出对应的值，即可判断． 【解析】（1）解：∵与成正比例， ∴， 代入，得，， 解得， ∴， 整理得：； （2）解：当时，， ∴点不在函数图像上． 18．（8分）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 0 1 2 3 4 0 0 则________，________； （2）描点并画出该函数的图象； （3）①观察函数图象，当________时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是________； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【答案】（1） （2） 描点、连线得到的函数图象如下： （3）①；②；③存在最小值，最小值是 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画函数图象，注意数形结合； （1）把与的值分别代入函数式中即可求得对应a与b的值； （2）描点、连线即可画出函数图象； （3）①观察函数图象上升时自变量的取值范围即可； ②观察当时函数图象，即可确定的取值范围； ②观察函数图象是否存在最低点，则判断是否有最小值，若有，最低点的纵坐标是最小值． 【解析】（1）解：当时，；当时，； 故答案为； （2）略 （3）解：①由图象知，当时，图象是上升的，即函数值随自变量的增大而增大； 故答案为； ②当时，即， 解得：或； ∴当时，由图象知，； 故答案为； ③观察图象知，函数图象存在最低点，其纵坐标为， ∴函数存在最小值，最小值是． 19．（10分）为了鼓励居民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费y（单位：元）与用电量x（单位：）之间的函数图象如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式． （2）若小明家8月需缴电费159元，求小明家8月的用电量． 【答案】（1） （2）小明家8月的用电量为 【分析】（1）根据图象分别设出和时的函数解析式，再用待定系数法求解即可； （2）根据图象可以判断电费159元在的函数图象上，将函数值代入求解即可． 【解析】（1）解：由图可知，图像分两段和， ①当时，设函数表达式为，代入得 ， 解得， ∴； ②当时，设函数表达式为，代入、得 ， 解得， ∴； 综上，； （2）解：∵， ∴适用计算， 把代入，得 ， 解得． 答：小明家8月的用电量为． 20．（10分）已知一次函数． （1）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）该图象经过哪几个象限？y随x的增大如何变化？ （3）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）如图， （2）该图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小 （3） 【分析】（1）根据列表、描点、连线画出函数的图象即可； （2）由函数图象可得结论； （3）由函数图象可得结论． 【解析】（1）解：列表得： x ⋯ 0 2 ⋯ y ⋯ 4 0 ⋯ 描点、连线，如图； （2）解：由图象知：该图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小； （3）解：由图象知：当时，x的取值范围是． 21．（12分）一次函数的图象与直线平行，与直线相交于点A，且点A的纵坐标是3．    （1）求函数的表达式； （2）是直线上一点，若点到轴的距离是点到轴距离的4倍，求点坐标． 【答案】（1） （2）或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由一次函数的性质可得，再确定点，然后代入一次函数解析式即可解答； （2）设，则点到轴的距离是，点到轴距离是，再根据题意列绝对值方程求解即可． 【解析】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵直线过点A，且点A的纵坐标是3， ∴，解得， ∴， 将代入得： ，解得：， ∴． （2）解：设，则点到轴的距离是，点到轴距离是， ∵点到轴的距离是点到轴距离的4倍， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或． 22．（12分）已知一次函数． （1）当m为何值时，y随x的增大而增大？ （2）当m为何值时，函数图象经过原点？ （3）当m为何值时，函数图象经过第一、二、四象限？ 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据一次函数的增减性，y随x的增大而增大列不等式，求解即可； （2）由一次函数图象过原点的特征，代入原点坐标列方程，求解即可； （3）由一次函数图象经过的象限与系数的关系，列不等式组，求解即可． 【解析】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵函数图象经过原点， ∴当时，， ∴． （3）解：∵函数图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：， ∴当时，函数图象经过第一、二、四象限． 23．（14分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， （1）列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，________，________． （2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． （3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则________，________；（填“>”，“=”或“<”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为________；（注：直线为经过且垂直x轴的直线） ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值． （注：直线为经过且垂直y轴的直线） 【答案】（1）；0； （2） 如图所示： （3）①<，<；②；③. 【分析】（1）选择对应的函数解析式，代入求值即可； （2）描点连线即可； （3）①把代入中，得，把代入中，得，然后比较即可；由（2）中的图象可知，当时，或或，当时，，即可比较；②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称，即可求解；③根据题意可得，由，得， ，得或，解得，，然后根据即可求解. 【解析】（1）解：当时，代入得，，即； 当时，代入得，，即 故答案为；0 （2）略 （3）解：①把代入中．得 把代入中，得 ∴ 由（2）中的图象可知，当时，或或 当时， ∴ 故答案为<，<. ②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称， ∴. 故答案为. ③根据题意可得，由，得 ，得或 解得， ， 解得 所以t的值为. 【点睛】本题是新定义题目，考查一次函数的图象和性质，画出函数图象是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 函数与一次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．正比例函数的图象经过的象限是（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．小哲匀速地向一个容器装水，直至装满容器．若在接水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（ ） A． B． C． D． 3．函数中自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（ ） A． B． C． D． 5．将直线向下平移个单位长度后得到直线（、为常数，且），则下列关于直线说法正确的是（ ） A．与轴的交点坐标为 B．经过第一、二、三象限 C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．随的增大而增大 6．已知一次函数的图象经过点，则方程必然有一组解是（ ） A． B． C． D． 7．若无论取何值，总是取与中的较小值，则的最大值为（ ） A． B．3 C．4 D．7 8．关于函数，下列说法错误的是（ ） A．当时， B．随的增大而减小 C．若，为该函数图象上两点，，则 D．图象经过第二、三、四象限 9．如图，一次函数（，为常数且）与一次函数（，为常数且）的图象相交于点，给出下列结论：①关于的方程的解是；②当时，函数的值比函数的值小；③关于的不等式的解集是；④关于，的方程组的解是，其中错误的结论有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．一次函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．当________时，函数是一次函数． 12．已知点、都在直线上，则、的大小关系是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接． （1）________； （2）若直线与有公共点，则的取值范围为________． 14．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点． （1）当时，点A的坐标为________； （2）若当（t为常数）时，该一次函数的最大值为10，最小值为4，则k的值为________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）已知一次函数． （1）将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x 0 1 （2）点 (填“在”或“不在”)函数图象上． 16．（8分）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求点A，B的坐标，并在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． 17．（8分）已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）判断点是否在函数图像上． 18．（8分）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． （1）列表： 0 1 2 3 4 0 0 则________，________； （2）描点并画出该函数的图象； （3）①观察函数图象，当________时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是________； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 19．（10分）为了鼓励居民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费y（单位：元）与用电量x（单位：）之间的函数图象如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式． （2）若小明家8月需缴电费159元，求小明家8月的用电量． 20．（10分）已知一次函数． （1）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）该图象经过哪几个象限？y随x的增大如何变化？ （3）当时，求x的取值范围． 21．（12分）一次函数的图象与直线平行，与直线相交于点A，且点A的纵坐标是3．    （1）求函数的表达式； （2）是直线上一点，若点到轴的距离是点到轴距离的4倍，求点坐标． 22．（12分）已知一次函数． （1）当m为何值时，y随x的增大而增大？ （2）当m为何值时，函数图象经过原点？ （3）当m为何值时，函数图象经过第一、二、四象限？ 23．（14分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整， （1）列表： x … 0 1 2 3 … y … m 0 1 n 1 2 3 4 … 其中，________，________． （2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． （3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则________，________；（填“>”，“=”或“<”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，且，则的值为________；（注：直线为经过且垂直x轴的直线） ③直线与图象相交，交点依次从左到右为M，N，K三点，如果，求t的值． （注：直线为经过且垂直y轴的直线） 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $