第七章 证明（单元自测）数学新教材北师大版八年级上册

第七章 证明 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列命题是真命题的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D．同旁内角互补 【答案】A 【分析】本题考查真命题的判断，平行线的性质和判定，同旁内角，锐角和钝角，掌握相关知识是解决问题的关键．需根据平行线的性质、锐角和钝角的概念、垂直的性质等知识逐一分析选项． 【解析】 A、两直线平行，同位角相等，这是正确的，是真命题； B、 两个锐角的和可能是锐角或直角，不一定是钝角，原命题错误，是假命题； C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，原命题缺少“在同一平面内”，是假命题； D、同旁内角只有在两直线平行时才互补，原命题错误，是假命题． 故选A． 2．如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法对选项逐个判断即可． 【解析】A、∵， ∴，选项不符合题意； B、由能判定，选项不符合题意； C、由能判定，选项不符合题意； D、由能判定，不能判定，选项符合题意． 故选D． 3．下列说法错误的是（ ） A．命题是判断一件事情的句子 B．基本事实的正确性必须得到证明 C．证明假命题举一个反例即可 D．演绎推理的过程叫做证明 【答案】B 【分析】逐个辨析选项概念，找出描述错误的一项． 【解析】A、命题是判断一件事情的句子，正确； B、基本事实的正确性无需证明，该说法错误； C、证明假命题举一个反例即可，正确； D、演绎推理的过程叫做证明，正确．故选B． 4．下列说法正确的是（ ） A．所有的命题都是定理 B．定理可能是假命题 C．不正确的命题称为假命题 D．假命题不是命题 【答案】C 【分析】根据命题，真命题，假命题的定义解答即可． 【解析】因为有的命题不一定是定理，所以A不正确； 因为定理一定是真命题，不是假命题，所以B不正确； 因为不正确的命题称为假命题，所以C正确； 因为假命题也是命题，所以D不正确．故选C． 5．如图，在中，若，是边上一点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，同旁内角互补”或“内错角相等”推导角度关系． 【解析】在中，由三角形内角和为， ∴． ∵， ∴． 故选B． 6．如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法解答即可． 【解析】如图 ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ， （同位角相等，两直线平行）； ，， （平面内垂直于同一直线的两条直线平行）． 故①③④正确． 故选C． 7．下面是某位同学证明“三角形内角和为”的方法． 证明：延长到，过点作． ∴． ∵， ∴． ①平行线的性质，②平角的定义，③等量代换，这三个依据中用到的有（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【解析】由得出，依据是平行线的性质，即① 由，依据是平角的定义，即② 由代入得出，依据是等量代换，即③， 综上，用到的依据有①②③故选A． 8．如图，已知，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质定理，是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质定理逐项判断即可． 【解析】A、∵， ∴， ∴A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴， ∴C正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴． ∴D不正确，符合题意． 故选D． 9．下列图形中，，其中能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理，逐一判定即可． 【解析】A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故该选项错误，不符合题意； B、∠1和∠2不是同位角也不是内错角也不是同旁内角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； C、∠1和∠2不是同位角也不是内错角也不是同旁内角，不能判定，故该选项错误，不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），符合题意． 故选D． 10．下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．若，则 C．三角形的一个外角等于两个内角之和 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假． A选项缺少两直线平行的条件；B选项忽略a与b可能互为相反数；C选项错误表述为任意两个内角之和，实际应为不相邻的两个内角之和；D选项是平行公理的推论，正确． 【解析】A：同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，A是假命题； B：由可知，不一定，B是假命题； C：三角形外角等于与之不相邻的两个内角之和，不是任意两个内角之和，C是假命题； D：平行于同一直线的两直线平行，这是平行公理的基本推论，D是真命题； 故选D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．下列说法：①作直线的平行线；②；③垂线段最短吗？④同角的余角相等，其中是命题的有________个． 【答案】 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”，逐一判断每个说法即可． 【解析】①“作直线的平行线”是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题； ②“”对两个数的大小关系作出了判断，是命题； ③“垂线段最短吗？”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题； ④“同角的余角相等”对余角的关系作出了判断，是命题； 因此是命题的共有个．故答案为$2$． 12．下列命题中，是真命题的是________．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【答案】 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断各命题的真假：同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；符合平行公理，正确；两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】对于命题，同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题； 对于命题，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； 对于命题，锐角定义是小于的角，两个锐角之和可能小于（如，仍为锐角）、等于（如，为直角）或大于但小于（如，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题， 故答案为． 13．如图，相交于点，．若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再由，得到，即可推出． 【解析】∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为． 14．可以用来说明“，则”是假命题的反例是________． 【答案】 【分析】本题考查的是命题与定理，要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【解析】∵当时，，但是， ∴是假命题的反例． 故答案为． 15．如图所示，在四边形中，是对角线．下列三个条件：①；②；③．请将其中的两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题：如果________，那么________．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【分析】在四边形中，是对角线，如果，，则可证明，即可得到． 【解析】如果①③，那么②． 理由如下：在和中 ∴， ∴． 故如果①③，那么②（答案不唯一）．故答案为①③ ②． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．过点E作，根据平行线的性质求出，从而求出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【解析】如图，过点E作． ， ， ， ， ． 17．（9分）如图，有如下三个论断：①，②，③平分． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题，你能构造哪几个命题？ （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 【答案】（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①； （2）都是真命题，选择如果①②，那么③． 证明：， ，， ，， 平分． 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断其真假命题． 【解析】（1）解：如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①； （2）解：都是真命题，选择如果①②，那么③． 证明：， ，， ，， 平分． 18．（9分）如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴________（________）． 又∵（已知）， ∴________（________）． （________）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】先由，利用同位角相等，两直线平行得到；再结合已知，根据平行公理的推论得到；最后由两直线平行，内错角相等证得． 【解析】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，内错角相等）． 19．（9分）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （ ）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （ ）以上命题是真命题的有________个． （ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 【答案】（ ）画图见解析（答案不唯一）； （ ）； （ ）选择命题． 已知：如图①，筝形中，，； 求证：； 证明：如图①，连接， 在和中， ， ∴， ∴； 选择命题． 已知：如图②，筝形中，，，对角线相交于点； 求证：且． 证明：在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴且． 【分析】本题考查了筝形的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （ ）根据筝形的定义画图即可； （ ）根据筝形的特征判断即可求解； （ ）根据全等三角形的判定和性质即可求证； 【解析】（ ）解：如图所示，四边形即为所求；（答案不唯一） （ ）解：命题：筝形有一组对角相等，是真命题； 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线，是真命题； 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角，是假命题； ∴以上命题是真命题的有个， 故答案为； （ ）略 20．（9分）（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【解析】（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 21．（10分）请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【解析】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 22．（10分）如图，直线，且和分别交于两点，点在上．直线和分别交于，两点，连接． （1）探讨图中之间的关系，并说明理由； （2）当点在两点外侧运动时，请直接写出之间的关系，不需要说明理由（点和不重合）． 【答案】（1） 解：．理由如下： 如图，过点作，交于点， ∵， ∴， ， ∴， ． （2）或 【分析】本题考查的是平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）根据平行线的性质和角的和差运算即可求解； （2）分两种情况讨论：当点在的延长线上时、当点在的延长线上时，再进一步利用平行线的性质求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：①当点在的延长线上时，如图所示．过点作，则， ， ， ， ， ． ②当点在的延长线上时，如图所示．过点作，则， ， ， ． ， ． 综上所述，或． 23．（10分）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 【答案】 （1）①， ， 即， 又，， ， ，， ，，， ， ， ； ②，理由如下： ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）①先根据全等三角形的判定，证明，得到，，进一步证明，即可证明结论； ②根据①的方法证明，即可得出结论； （2）将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，根据①的方法证明，得到，，并根据温馨提示求出，同时证明，即可根据勾股定理求出答案． 【解析】（1） 略 （2）将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，， ， ， 即， 又，， ， ，， ，， ，， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 证明 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列命题是真命题的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D．同旁内角互补 2．如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（ ） A．命题是判断一件事情的句子 B．基本事实的正确性必须得到证明 C．证明假命题举一个反例即可 D．演绎推理的过程叫做证明 4．下列说法正确的是（ ） A．所有的命题都是定理 B．定理可能是假命题 C．不正确的命题称为假命题 D．假命题不是命题 5．如图，在中，若，是边上一点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法：用角尺画木板边缘的两条垂线a，b．关于这样画的理由给出下列4种说法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．下面是某位同学证明“三角形内角和为”的方法． 证明：延长到，过点作． ∴． ∵， ∴． ①平行线的性质，②平角的定义，③等量代换，这三个依据中用到的有（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 8．如图，已知，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 9．下列图形中，，其中能判定的是（ ） A． B． C． D． 10．下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．若，则 C．三角形的一个外角等于两个内角之和 D．平行于同一直线的两直线平行 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．下列说法：①作直线的平行线；②；③垂线段最短吗？④同角的余角相等，其中是命题的有________个． 12．下列命题中，是真命题的是________．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 13．如图，相交于点，．若，则的度数是________． 14．可以用来说明“，则”是假命题的反例是________． 15．如图所示，在四边形中，是对角线．下列三个条件：①；②；③．请将其中的两个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真命题：如果________，那么________．（填序号） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，，求的度数． 17．（9分）如图，有如下三个论断：①，②，③平分． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题，你能构造哪几个命题？ （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 18．（9分）如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴________（________）． 又∵（已知）， ∴________（________）． （________）． 19．（9分）春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （ ）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （ ）以上命题是真命题的有________个． （ ）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 20．（9分）（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 21．（10分）请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 22．（10分）如图，直线，且和分别交于两点，点在上．直线和分别交于，两点，连接． （1）探讨图中之间的关系，并说明理由； （2）当点在两点外侧运动时，请直接写出之间的关系，不需要说明理由（点和不重合）． 23．（10分）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $