第二章 实数（单元自测）数学新教材北师大版八年级上册

第二章 实数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．请估计的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小．由，得到，即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴， 故选A． 2．小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的乘法，先理解题意，观察计算器，得，整理得，即． 【解析】观察计算器，得，， ∴， 则 ∴ 即， 故选B 3．下列叙述正确的是（ ） A．0没有平方根 B．0没有立方根 C．负数没有平方根 D．负数没有立方根 【答案】C 【解析】A、0的平方根是0，原说法错误； B、0的立方根是0，原说法错误； C、负数没有平方根，原说法正确； D、负数有立方根，原说法错误．故选C． 4．已知三边长分别为，，，且满足，则是（ ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【解析】∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入x值是64，则输出y的值是（ ） A． B．8 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据程序框图，依次计算算术平方根和立方根，判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【解析】输入，取算术平方根得， 是有理数，继续运算； 取的立方根得， 是有理数，返回取算术平方根； 取的算术平方根得， 是无理数，输出； 则输出的值为．故选A． 6．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【解析】∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小，， ∴正整数最小是，此时，符合题意．故选A． 7．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数的取值范围是解题的关键． 先估算的整数部分，再求的小数部分，最后计算即可． 【解析】∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分， ∴， 故选D． 8．正整数、分别满足，，则（ ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【解析】∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选D． 9．估计的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和计算，无理数的估值，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和计算法则． 先对二次根式进行化简计算，再对无理数进行估值即可． 【解析】∵， ∴， ∴在5和6之间， 故选B． 10．若与是同一个数两个不同的平方根，则的值为（ ） A．3 B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】根据同一个数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程即可求解． 【解析】∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得．故选B． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．定义新运算“☆”：，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【解析】∵， ∴， ∴， 故答案为． 12．计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，立方根定义，准确计算．根据立方根定义和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【解析】 故答案为． 13．已知一个数的绝对值是，则的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性，绝对值的性质，直接利用绝对值的性质得出答案，正确掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 【解析】∵一个数的绝对值是， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为． 14．若m是64的平方根，则m的立方根是________；若的立方根为4，则的平方根为________． 【答案】 【分析】先根据平方根的定义得到的值，再计算的立方根；再根据立方根的定义求出的值，代入计算得到的结果，最后求它的平方根． 【解析】∵是的平方根， ∴； 当时，， 当时，， ∴的立方根是； ∵ 的立方根为， ∴， 解得， 将代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根为．故答案为① $\pm 2$ ② $\pm 5$． 15．已知．下列关于m的四种说法： ①m是整数；②m的值有两个，且它们互为相反数；③m是10的平方根；④． 其中说法正确的序号是________． 【答案】 ②③ 【分析】由得，逐个判断四个说法的正误即可得到正确结论． 【解析】∵， ∴， ①不是整数，也不是整数，故①错误； ②的值是和，，二者互为相反数，故②正确； ③根据平方根的定义，若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，，所以是的平方根，故③正确； ④当时，，不满足，故④错误， 因此正确的序号是②③．故答案为②③． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题： （1）x是________（填“有理数”或“无理数”）． （2）x的整数部分是几？ （3）将x精确到十分位的值是多少？ 【答案】（1）无理数 （2）的整数部分是3 （3）将精确到十分位的值是 【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解. 【解析】（1）解：依题意， ∴． ∴（负值已舍去）是无理数． （2）解：由题意，得， ∴． ∵， 即 即的整数部分是3． （3）解：∵， ∴． 又∵， ∴， 即将精确到十分位的值是． 17．（9分）运算能力  下面是嘉嘉设计的运算程序图： （1）若输入的值为-5，则输出的值为________． （2）若输入的值，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（2）∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数为或， ∴第一次取立方根前的数为或，即输入的值是27或-27． 18．（9分）解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程： （3）解方程：． 【答案】（1） （2） (3)， 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 或 解得， 19．（9分）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； （2）当时， ；当时， ； （3）计算：． 【答案】(1)，； (2)，； （3） 【分析】（1）根据示例填写即可； （2）观察示例可知，当算术平方根符号内的式子为正时，去掉算术平方根符号的形式与原式相同；当算术平方根符号内的式子为负时，去掉算术平方根符号的形式与原式符号相反； （3）根据（2）所得规律分别表示出算式中的算术平方根，再运用有理数加法运算律计算即可． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解： 20．（9分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】（1）4， （2） 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【解析】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 21．（10分）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． （1）如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为________． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】（1） （2）①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【解析】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 22．（10分）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． （1）求点到点之间的距离； （2）若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【解析】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 23．（10分）已知正数的两个不同平方根分别是和，的立方根为． （1）求和正数的值； （2）若的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】（1） ， （2） 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求，再代入计算的值； （2）先由立方根的定义求，再估算的范围得到整数部分，最后计算的算术平方根． 【解析】（1）解：∵正数的两个不同平方根分别是和， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．请估计的值在（ ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（ ） A． B． C． D． 3．下列叙述正确的是（ ） A．0没有平方根 B．0没有立方根 C．负数没有平方根 D．负数没有立方根 4．已知三边长分别为，，，且满足，则是（ ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 5．按如图所示的程序计算，若开始输入x值是64，则输出y的值是（ ） A． B．8 C．2 D． 6．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．正整数、分别满足，，则（ ） A．4 B．8 C．9 D．16 9．估计的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 10．若与是同一个数两个不同的平方根，则的值为（ ） A．3 B．1 C．或1 D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．定义新运算“☆”：，则________． 12．计算：________． 13．已知一个数的绝对值是，则的值为________． 14．若m是64的平方根，则m的立方根是________；若的立方根为4，则的平方根为________． 15．已知．下列关于m的四种说法： ①m是整数；②m的值有两个，且它们互为相反数；③m是10的平方根；④． 其中说法正确的序号是________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题： （1）x是________（填“有理数”或“无理数”）． （2）x的整数部分是几？ （3）将x精确到十分位的值是多少？ 17．（9分）运算能力  下面是嘉嘉设计的运算程序图： （1）若输入的值为-5，则输出的值为________． （2）若输入的值，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 18．（9分）解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程： （3）解方程：． 19．（9分）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： ， ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； （2）当时， ；当时， ； （3）计算：． 20．（9分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 21．（10分）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． （1）如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为________． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 22．（10分）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． （1）求点到点之间的距离； （2）若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 23．（10分）已知正数的两个不同平方根分别是和，的立方根为． （1）求和正数的值； （2）若的整数部分为，求的算术平方根． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $