第1章 三角形（单元自测）数学新教材苏科版八年级上册

第1章 三角形 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【解析】由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选D． 2．图中以为边的三角形有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【解析】以为边的三角形有：、、，共个． 故选C ． 3．下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 【答案】A 【解析】A. 三角形的三条中线交于一点，说法正确； B. 直角三角形有三条高，两条直角边为高，斜边上有一条高，说法错误； C. 三角形的角平分线是线段，不是射线，说法错误； D. 钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高在边上，并非三条高都在三角形内部，说法错误．故选A． 4．如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A．中线、角平分线、高 B．角平分线、高、中线 C．高、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高 【答案】B 【分析】角平分线是指将角的两边重合折叠，折痕即为角平分线；高是指将顶点向对边折叠，使折痕与对边垂直，折痕即为高；中线是指将底边的两个端点重合折叠，折痕经过顶点，则折痕与底边的交点为中点，连接顶点与该点的线段即为中线． 【解析】观察图①的折纸方式，是将的两边和重合折叠，折痕为． 根据角平分线的定义，折痕平分了， 即 ． 所以，是的角平分线． 观察图②的折纸方式，是将顶点向底边折叠，折痕为． 从图中可以看出，折痕与底边垂直(即)，所以，是的高． 观察图③的折纸方式，是将点折叠到点的位置，图中标注，折痕经过点交于点．这意味着点和点关于折痕对称，即，点是的中点． 根据三角形中线的定义，连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 所以，是的中线． 综上所述，依次是的角平分线、高、中线．故选B． 5．手工课上，小芳手里有长和的两段吸管，她想再剪一段吸管，与这两段首尾相接围成三角形．剪下的这段吸管可以长（ ） A．19 B．12 C．6 D．7 【答案】B 【分析】三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，简化为：两边之差第三边两边之和，求出取值范围后对照选项筛选符合条件的数值． 【解析】设剪下的吸管长为， 则， 即，选项中只有符合该范围．故选B． 6．等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】①当角为顶角时，底角为； ②当角为底角时，底角为； 综上，底角大小为或.故选D． 7．以下说法正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个．故选C． 8．已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长为（ ） A．2或5 B．5 C．3.5 D．5或3.5 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，需分腰长为5和底边长为5两种情况讨论，再验证是否符合三角形三边关系． 【解析】①当腰长为5时， ∵等腰三角形周长为12，腰长为5， ∴底边长， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立，腰长为5； ②当底边长为5时， ∵等腰三角形周长为12，底边长为5， ∴腰长， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立，腰长为3.5， 综上，它的腰长为5或3.5， 故选D． 9．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，过点作垂足在的延长线上，根据等腰三角形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可知，再根据三角形的面积公式求出结果． 【解析】如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为．故选A． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，点在上，连接、，并延长交于点，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，，则可证明，得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【解析】∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴．故选A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的________．    【答案】中线 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解析】由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段应该是的中线， 故答案为中线． 12．如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明得，再求出的值即可． 【解析】是木条和的中点 又 ， ， ， 故答案为3． 13．如图，甲、乙两人沿不同的路线从地到地的路程分别为和．则和的大小关系是________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】延长与交于点，容易证明，则，，由三角形三边关系可得，进而得到． 【解析】如图，延长与交于点， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴．故答案为$>$． 14．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【解析】是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：．故答案为$8$． 15．如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形中线的性质可知与面积相等，利用三角形面积公式分别表示出两个三角形的面积，建立等量关系即可求解． 【解析】∵为边上的中线， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴．故答案为$\frac{16}{5}$． 16．如图是由相同的小正方形组成的网格，点均在格点上，则的度数为________． 【答案】（或45度） 【分析】如详解图，把绕点逆时针旋转到的位置，即可求得答案． 【解析】如图，设小正方形的边长为，则， ， ， ， ．故答案为（或45度）． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 52 分） 17．（5分） 如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明: ∵， ∴， 即: ， 在与中， ， ∴； （2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 18．（5分）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【解析】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 19．（6分）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． （1）证明：是线段的垂直平分线； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2） 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（6分）如图，，，，延长至点使， （1）求证：． （2）若，求． 【答案】（1） 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． 【解析】（1）略 （2）解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 21．（6分）如图，已知于点，于点，．请写出添加下列条件判定的依据． （1）添加，判定依据为________ （2）添加，判定依据为________ （3）添加，判定依据为________ （4）添加，判定依据为________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）根据进行判定； （2）根据进行判定； （3）根据进行判定； （4）根据进行判定； 【解析】（1）解：∵于点于点， ， ， ∴当添加时，根据可判定； （2）解：∵于点于点， ， ， ∴当添加时，根据可判定； （3）解：∵于点于点， ， ∵， ∴， ， ∴当添加时，根据可判定； （4）解：∵于点于点， ， ∵， ∴， ， ∴当添加时，根据可判定； 22．（6分）如图，已知：，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【分析】（1）由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明； （2）根据线段的和差关系求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 23．（6分）几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． （1）【活动一】尺规作图仅用一把无刻度的直尺和圆规．活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． （2）【活动二】量化作图仅用一把有刻度的直尺（只能用来度量和画线）．活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． （3）【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺（只能用来画线）． 活动任务：如图3，B、C、E三点共线．在和中，，，是中点，作出的角平分线，简要说明作图依据． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）； 在与中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴为所求角平分线． （3）如图，即为所求． ； 依据如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴即平分． 【分析】（1）以为圆心作弧，交、于、；分别以、为圆心，以相同且大于的长为半径作弧，两弧交于角内部的点，作射线，即为所求． （2）用有刻度直尺在两边分别取、，使（如均取3个长度单位）；连接，度量并取其中点，作射线，则射线即为所求． （3）连接，作直线交于，连接，射线即为所求． 【解析】（1）解：如图，连接、， 在和中， ， ∴（ ）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴平分． （2）略 （3）略 24．（6分）如图，在中，是边上的中线，，． （1）延长至点，使，连接．求证：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）解：为的中点， ． 在与中， ． （2）． 【分析】（1）采用“中线倍长”法：延长中线至使，连接，以证； （2）由全等得，在中用三边关系把转化为的取值范围． 【解析】（1）略 （2）解：由（1）知， ． 在中，，，． 由三角形三边关系得， 代入数值得， 即， ． 25．（6分）用无刻度直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，标明相应的字母． （1）如图1，已知，请你画的角平分线和高； （2）如图2，点为内的一点，请你确定一条过点的直线分别交于点，使得． 【答案】（1）如图，角平分线和高即为所求： （2）如图，直线l、点M、点N即为所求： 【分析】（1）根据作角平分线和垂线的尺规作图步骤画图即可； （2）作的平分线，再过点P作射线的垂线l交于点，则直线l、点M、点N即为所求． 【解析】（1）略 （2）解：作图依据： 设直线l与射线相交于K， 由作图知，，又， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A． B． C． D． 2．图中以为边的三角形有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 4．如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A．中线、角平分线、高 B．角平分线、高、中线 C．高、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高 5．手工课上，小芳手里有长和的两段吸管，她想再剪一段吸管，与这两段首尾相接围成三角形．剪下的这段吸管可以长（ ） A．19 B．12 C．6 D．7 6．等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 7．以下说法正确的有（ ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长为（ ） A．2或5 B．5 C．3.5 D．5或3.5 9．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，点在上，连接、，并延长交于点，若，则的大小为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的________．    12．如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为________． 13．如图，甲、乙两人沿不同的路线从地到地的路程分别为和．则和的大小关系是________．（填“”“”或“”） 14．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，若，，则的长为________． 15．如图，在中，为边上的中线，于点，于点，，，，则________． 16．如图是由相同的小正方形组成的网格，点均在格点上，则的度数为________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 52 分） 17．（5分） 如图，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 18．（5分）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 19．（6分）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． （1）证明：是线段的垂直平分线； （2）若，求的度数． 20．（6分）如图，，，，延长至点使， （1）求证：． （2）若，求． 21．（6分）如图，已知于点，于点，．请写出添加下列条件判定的依据． （1）添加，判定依据为________ （2）添加，判定依据为________ （3）添加，判定依据为________ （4）添加，判定依据为________． 22．（6分）如图，已知：，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 23．（6分）几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． （1）【活动一】尺规作图仅用一把无刻度的直尺和圆规．活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． （2）【活动二】量化作图仅用一把有刻度的直尺（只能用来度量和画线）．活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． （3）【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺（只能用来画线）． 活动任务：如图3，B、C、E三点共线．在和中，，，是中点，作出的角平分线，简要说明作图依据． 24．（6分）如图，在中，是边上的中线，，． （1）延长至点，使，连接．求证：； （2）求的取值范围． 25．（6分）用无刻度直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，标明相应的字母． （1）如图1，已知，请你画的角平分线和高； （2）如图2，点为内的一点，请你确定一条过点的直线分别交于点，使得． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 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