第1章 三角形 单元测试卷 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

第1章三角形单元测试卷 一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 2．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 3．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 5．下列条件中能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图，是的中线，则与面积大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 7．如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 9．如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 12．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 13．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 14．如图，在和中，，，那么由所给条件判定和全等的依据可以简写为 ． 15．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角，那么这棵树折断之前的高度是 米． 16．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F．若，，，则线段的长为 ． 17．已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 18．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 三．解答题（共9小题，满分66分） 19．（6分）如图，在中，，D是边上的中点，，求和的度数． 20．（6分）如图，已知点，在上，，，．求证：； 21．（6分）如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．    22．（6分）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边、边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，请先说明与全等的理由，再说明平分的理由． 23．（8分）如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 24．（8分）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 25．（8分）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 26．（8分）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】（1）如图①，直线l是线段 的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， 请证明这个结论； 【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D 是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由． 27．（10分）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 第1章三角形单元测试卷 一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质以及轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线翻折与原图形能够完全重合的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有3条， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的定义以及等边三角形的性质，题目比较简单． 2．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 3．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 4．如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论为顶角或底角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况． 【详解】解：当为顶角时： 和相等，由内角和定理得：； 当为底角时：另一底角也为， 当为顶角：； 当也为底角：； 综上，的度数不可能是， 故选：C． 5．下列条件中能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．依据全等三角形的判定定理进行判断，并结合线段与角的位置关系准确分析即可． 【详解】解：A、边边角不能证明两个三角形全等，故A错误，不符合题意； B、边边角不能证明两个三角形全等，故B错误，不符合题意； C、边边角不能证明两个三角形全等，故C错误，不符合题意； D、，，，符合，故D正确，符合题意． 故选：D． 6．如图，是的中线，则与面积大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边与底边上的高的积一半；等底等高的三角形的面积相等．根据中线的定义得到，然后根据等底等高的三角形的面积相等即可得到． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 8．如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等， 乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足，故乙与一定全等， 在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等， 综上可知能和全等的是乙、丙， 故选：B． 9．如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，、均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， 同理可得：， ∴， 同理：， ， ， …， 以此类推：， 故选：B． 10．如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，点D为的中点， ，， 设点P、Q的运动时间为， ， ， 当时．则有：，， ， 解得：， ， 故点Q的运动速度为：； 当时，则，， ， ， ． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或， 故选：D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念求解即可． 【详解】解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为， 故答案为：． 12．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处． 故答案为：三条角平分线的交点处． 13．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时， ， 能组成三角形； 综上所述：第三边长是10， 故答案为：10． 14．如图，在和中，，，那么由所给条件判定和全等的依据可以简写为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据，和即可得证．解题的关键灵活选用全等三角形判定的方法解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴由所给条件判定和全等的依据可以简写为， 故答案为：． 15．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角，那么这棵树折断之前的高度是 米． 【答案】9 【分析】此题考查了30度直角三角形的应用，由题意得，在直角三角形中，知道了短直角边和一锐角为30度，运用直角三角形30度角的性质，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：∵一棵大树在离地面3米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角， 如图，可知：，米，， ∴米， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：9． 16．如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点F．若，，，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 先证明，再根据全等三角形的性质可得，，即可算出的长． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：2． 17．已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键； 分两种情况：为锐角与为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可． 【详解】解：当为锐角时，如图，设三角形的两条高交于点O， 则，， ∴， ∴； 当为钝角时，如图，设三角形的两条高所在的直线交于点O， 则，， ∴； 故答案为：或． 18．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ∵，， ∴垂直平分， 即，故②③正确，符合题意； ，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故答案为：3． 三．解答题（共9小题，满分66分） 19．（6分）如图，在中，，D是边上的中点，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，直角三角形的特征；由等腰三角形的性质，，由三角形内角和及直角三角形的特征，即可求解；能熟练利用等腰三角形的性质，三角形内角和，直角三角形的特征进行求解是解题的关键． 【详解】解：，D是边上的中点， ，， ， ； 故：，． 20．（6分）如图，已知点，在上，，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，最后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ 21．（6分）如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．    【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质及等角对等边求得，再利用含30度直角三角形的性质求得的长即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】考查了含30度直角三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得，再根据含30度直角三角形的性质求得的长． 22．（6分）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边、边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，请先说明与全等的理由，再说明平分的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可根据“”得到三角形全等，进而问题可求解 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 23．（8分）如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线判定，掌握三角形全等判定与性质，角平分线判定是解题关键．根据垂直的定义得到，根据判定，得出，根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 24．（8分）如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得，再由题意，解得的长，最后由线段和，据此解题即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合可得，再根据“三角形的一个外角等于其不相邻两个内角的和”可得，即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， 是中线， ， ∴， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键． 25．（8分）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 26．（8分）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】（1）如图①，直线l是线段 的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， 请证明这个结论； 【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D 是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边的关系，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）如图①，连接，由线段垂直平分线的性质推出，由三角形三边关系定理得到，推出； （2）如图②，当D不在线段上时，连接，由线段垂直平分线的性质推出，由三角形三边关系定理得到，当D在线段上时，，于是． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，，理由如下： 当D不在线段上时，连接， ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 当D在线段上时，， 综上可知，． 27．（10分）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． （1）①根据，得出，从而得出，再利用即可证明；②由全等三角形的性质可得，，即可得证； （2）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得证； （3）根据，得出，从而得出，再利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ②∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴． $