第十七章 因式分解（单元自测）数学新教材人教版八年级上册

第十七章 因式分解 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若，，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，利用平方差公式分解因式，再代值求解即可． 【解析】∵，， ∴， 解得， 故选A． 2．下列多项式能用公式法分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．再逐一判断各选项是否能用于分解因式. 【解析】选项A： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式， ∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ， ∵， ∴ 能用公式法分解因式. 故选D 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可．本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键． 【解析】∵不是因式分解， ∴A不合题意； ∵不是因式分解， ∴B不合题意； ∵是因式分解， ∴C合题意； ∵， ∴D不符合题意； 故选C． 4．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从展开是否与原式相等、分解是否彻底两方面验证各选项. 【解析】A、，原式未分解彻底，错误，不符合题意； B、，分解正确，符合题意； C、，，与原式不符，错误，不符合题意； D、，原式未分解彻底，错误，不符合题意．故选B． 5．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x 【答案】A 【分析】分别将四个选项中的式子与多项式4x2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案. 【解析】A、4x2+1+2x，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意； B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意； D 、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意， 故选A. 【点睛】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键. 6．下列多项式不能用公式法分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断能否用公式法分解因式，完全平方公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据完全平方公式分解因式，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【解析】A．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； C．，平方和在实数范围内无法用公式法分解，故该选项符合题意； D．，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选C． 7．若有理数满足，则的值等于（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式因式分解及几个非负数的和为零的问题．先利用完全平方公式对方程进行处理，化为两个非负数的和为零的情况，两个非负数之和为零，则它们均为零，据此即可求出x，y的值，从而可求． 【解析】∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 即， ∴， 故选B． 8．若，则m的值是（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，把因式分解，然后根据对应系数相等解答即可． 【解析】∵， ∴， 故选A． 9．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ） ；； （3）；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的判断，熟练掌握因式分解的形式是做题的关键．根据因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且每个因式均为整式，逐一判断各变形是否符合定义即可． 【解析】 ① 左边为单项式，不是多项式，故不是因式分解； ② 左边为积的形式，右边为多项式，是整式乘法，故不是因式分解； ③ 左边为多项式，右边为整式的积，故是因式分解； ④ 右边不是积的形式，故不是因式分解； ⑤ 左边为多项式，右边为整式的积，故是因式分解； ⑥ 右边括号内分式分母含字母，不是整式，故不是因式分解． ∴ 是因式分解的有③和⑤，共2个． 故选B． 10．下列分式变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式恒等变形，熟记分式性质及因式分解是解决问题的关键． 通过因式分解和分式的基本性质，检查每个选项的变形是否正确即可得到答案． 【解析】A: ，选项分式变形错误，不符合题意； B: ，选项分式变形错误，不符合题意； C: ，选项分式变形错误，不符合题意； D: （其中），选项分式变形正确，符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．因式分解：________． 【答案】 【解析】．故答案为$\left(a-2\right)^{2}$． 12．分解因式：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可． 【解析】 ． 故答案为． 13．下列各式：①；②；③；④，其中________（填序号）是因式分解，________是整式乘法，由此可看出，因式分解与整式乘法是________的变形． 【答案】 ①④ ②③ 可逆 【分析】根据因式分解与整式乘法的定义，逐个判断题中各式，再推导二者的关系. 【解析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，把几个整式相乘化为一个多项式的变形，叫做整式乘法. ① 式子，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，属于因式分解. ② 式子，将整式的积的形式化为多项式，符合整式乘法的定义，属于整式乘法. ③ 式子，将整式的积的形式化为多项式，符合整式乘法的定义，属于整式乘法. ④ 式子，将多项式化为整式的积的形式，符合因式分解的定义，属于因式分解. 因此，①④是因式分解，②③是整式乘法，因式分解与整式乘法是可逆的变形.故答案为①④ ②③ 可逆． 14．在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【解析】 ． 故答案为． 15．下列多项式：①；②；③；④．其中分解因式的结果中含有相同因式的是________（填序号） 【答案】①④（或④①） 【分析】本题考查了因式分解的方法（提公因式法、公式法），解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解． 分别对四个多项式进行因式分解，再观察分解结果中含有的相同因式． 【解析】①； ②； ③； ④． 对比分解结果，①和④都含有因式． 故答案为①④． 16．在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【解析】 （3） ． 故答案为． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是解题的关键． （1）先根据平方差公式，再根据完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【解析】（1） （2） （3） （4） 19．（6分）因式分解： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了因式分解， 对于（1），根据平方差公式分解； 对于（2），先提出公因式2，再根据完全平方公式分解； 对于（3），先提出公因式，再根据平方差公式分解． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式， ， ． 20．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； （2）若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】（1）另一个因式为，的值为9 （2） 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【解析】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 21．（8分）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 （1）当________时，多项式，所以可以因式分解为________； （2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； （3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， （3） 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【解析】（1）解：当时，， ∴， 故答案为，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 22．（8分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 问题： （1）以上化简步骤中第一步将原式中的变形为用到了（ ） A．整式乘法  B．因式分解 （2）从第________步开始出现错误； （3）请写出此题正确的化简过程，并从，0，1中选取合适的数代入求值． 【答案】（1）B （2）二 (3)，当时，原式 【分析】本题考查因式分解，分式的化简求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据因式分解的定义进行求解即可； （2）根据去括号，括号前面是负号时，括号内的每一项都要变号，即可解答； （3）先进行分式的化简，再根据分母不为零求出且，则选代入计算即可． 【解析】（1）解：∵， ∴将原式中的变形为用到了因式分解． 故选B． （2）解：原式 ， ∴从第二步开始出现错误． 故答案为二． （3）解：原式 ， ． ∵且， ∴且， 选，则原式． 23．（8分）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要注意分解因式要彻底． （1）提取公因式即可； （2）将看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可； （3）多次利用平方差公式分解因式即可； （4）先利用完全平方公式进行整理，再利用平方差公式分解因式即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （1） （1）； （4）解： （3）． 24．（12分）已知整式，整式，若可以分解为，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解． 分别计算和的值，进而作答即可． 【解析】 ， （4） ， ∵可以分解为， ∴， 解得：． 25．（12分）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的方法，重点在于识别多项式中的结构特征．观察原式中的前三个项构成一个完全平方公式，而后一项为平方项，整体可转化为平方差的形式，从而使用平方差公式进行因式分解． 【解析】解∶ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若，，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列多项式能用公式法分解因式的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 5．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x 6．下列多项式不能用公式法分解因式的是（ ） A． B． C． D． 7．若有理数满足，则的值等于（ ） A． B．1 C． D．2 8．若，则m的值是（ ） A． B．2 C． D．4 9．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ） ；； （3）；； ；． A．个 B．个 C．个 D．个 10．下列分式变形正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．因式分解：________． 12．分解因式：________． 13．下列各式：①；②；③；④，其中________（填序号）是因式分解，________是整式乘法，由此可看出，因式分解与整式乘法是________的变形． 14．在实数范围内分解因式：________． 15．下列多项式：①；②；③；④．其中分解因式的结果中含有相同因式的是________（填序号） 16．在实数范围内分解因式：________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）因式分解 （1） （2） 18．（6分）分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．（6分）因式分解： （1） （2） （3）． 20．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； （2）若二次三项式有一个因式是，求a的值． 21．（8分）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 （1）当________时，多项式，所以可以因式分解为________； （2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； （3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 22．（8分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 问题： （1）以上化简步骤中第一步将原式中的变形为用到了（ ） A．整式乘法  B．因式分解 （2）从第________步开始出现错误； （3）请写出此题正确的化简过程，并从，0，1中选取合适的数代入求值． 23．（8分）因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 24．（12分）已知整式，整式，若可以分解为，求． 25．（12分）分解因式：． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $