第十六章 整式的乘法（单元自测）数学新教材人教版八年级上册

第十六章 整式的乘法 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于幂的运算，根据关于幂的运算法则分别计算出各项正确结果，根据计算结果判断正误． 【解析】A选项：根据乘方的定义可知，故A选项正确； B选项：根据同底数的乘法法则可知，故B选项错误； C选项：根据幂的乘方运算法则可知，故C选项错误； D选项：根据积的乘方的法则可知，故D选项错误． 故选A． 2．若，则等于（ ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】将所求式子的底数统一为，结合已知条件整体代入求值. 【解析】∵, ∴, ∴ .故选D． 3．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查幂的相关运算，熟练掌握幂的相关运算法则是做题的关键．根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法则，逐一判断各选项的计算是否正确即可． 【解析】幂的运算法则： 积的乘方：，幂的乘方：，同底数幂相乘：，同底数幂的除法：（ ）， 故对各选项推导如下： A选项：，计算正确，故符合题意； B选项：，计算错误，故不符合题意； C选项：，计算错误，故不符合题意； D选项：，计算错误，故不符合题意． 故选A． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、完全平方公式、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；根据指数运算规则和乘法公式判断各选项的正确性． 【解析】A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选D． 5．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式，积的乘方，同底数幂相除，根据以上知识点逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解析】A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 6．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方．逐一验证各选项的正确性即可解答． 【解析】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选D． 7．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式的应用，设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【解析】设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由丙得知：， 故选． 8．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方，合并同类项以及单项式乘单项式，单项式除单项式．根据积的乘方，合并同类项以及单项式乘单项式，单项式除单项式的法则，逐一进行判断即可． 【解析】A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选D． 9．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，包括合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．根据各运算法则逐一计算，验证每个选项的正确性即可． 【解析】A、和 不是同类项，不能合并，故错误； B、 ，计算正确； C、 ，故错误； D、 ，故错误． 故选B． 10．已知，，那么的值是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】D 【分析】利用幂的运算性质将所求式子转化为含的形式，结合已知条件求出的值，代入计算． 【解析】， ∵，， ∴， ∴， ∴．故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若的展开式中不含的一次项，则常数________． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，先根据多项式乘多项式的运算法则展开式子，再合并同类项，根据不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进而求出m的值． 【解析】 ， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为5． 12．已知，则________． 【答案】 8 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．利用完全平方公式展开已知条件，通过加减方程组求解和的值，再代入所求表达式计算． 【解析】∵，， ∴两式相加得， ∴； 两式相减得， ∴． 则． 故答案为8． 13．________． 【答案】 【解析】 （4） （4） （4） （4） ．故答案为$4$． 14．若，，则________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】比较两个多项式的大小，采用作差法，计算，根据结果的符号判断大小关系． 【解析】展开得， 计算得， ， ， ．故答案为$>$． 15．①已知，，则________； ②若，，则________． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，积的乘方，同底数幂的乘法． ①逆用同底数幂的除法法则计算； ②利用积的乘方得到，根据同底数幂的乘法得到，根据可知． 【解析】①解：， 故答案为； ②解：由， 得． 代入， 得． 而， 所以， 因此． 故答案为4． 16．计算的结果为________． 【答案】 【分析】将拆分为，逆用积的乘方法则简化计算． 【解析】．故答案为$3$． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． （1）请表示图①中阴影部分的面积； （2）某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图②所示，请你表示出它的面积； （3）比较（1）（2）的结果，你能发现什么结论？ 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积问题，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据正方形面积公式及题意可直接进行求解； （2）由图②可知长方形的长为，宽为，然后根据面积公式可进行求解； （3）由（1）（2）可进行求解． 【解析】（1）解：由图①可知：阴影部分的面积为； （2）解：由图②可知：长方形的长为，宽为， ∴面积为； （3）解：由（1）（2）的结果可知结论为：． 18．（6分）小颖利用某月的月历探究奥秘，先用如图1的“十字型”框架任意框住月历中的4个数(如图2阴影部分)，然后将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减．例如：________，________．他发现结果都是一个定值．他按照同样的方式在不同月份的月历中探究，发现都有同样的规律． （1）这个定值是________； （2）请利用整式的运算证明这个规律． 【答案】（1）； （2） 证明：设月历中十字型框架中间的数为， 则位置的数为，位置的数为，位置的数为，位置的数为； ∴， 因此，无论取符合月历规则的任意整数，结果均为，即该规律成立． 【分析】本题考查月历数字规律与整式的乘法运算，关键是利用月历中“同一行左右数相差1，同一列上下数相差7”的排列规律，通过设未知数表示出四个数，再通过整式运算验证结果为定值． （1）通过直接计算题目给出的两个示例算式，得到相同的结果，即可确定定值； （2）设十字型框架中间的数为，根据月历数字规律表示出、、、四个位置的数，再利用平方差公式展开计算两个乘积的差，验证结果为定值． 【解析】（1）解：； ； 故答案为； （2）略 19．（6分）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律．如图． （1）请你按照规律写出展开式________； （2）设，小明发现通过赋值法可求解系数间的关系：如令，可得________；如令，则可得，借助此思路求出________； （3）此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期________． 【答案】（1） （2） （3）六 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式的系数和项数的规律问题， 对于（1）根据的系数分别为，可得答案； 对于（2），令，求出，再令，可得， 然后令，可得…，将两式相减可得答案； 对于（3），将改写为，再展开根据结果可得答案. 【解析】（1）解：由题知， 故答案为； （2）解：当时， ， 所以 又因为当时， ， 当时， …， 两式相减得， ， 所以 故答案为1，； （3）解：将改写为， 则 因为 所以除以7余1， 因为今天是星期五，再过7天还是星期五，所以再过天是星期六 故答案为六． 20．（6分）求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，再通过合并同类项进行化简，最后将给定的、的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握多项式乘法法则、合并同类项法则以及代入求值的方法是解题的关键． 【解析】 ， 当，时， 原式 ， 故答案为． 21．（8分）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．    （1）图中的阴影部分的面积为 ； （2）观察图请你写出、、之间的等量关系是 ； （3）根据（ ）中的结论，若，，则 ； （4）实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图，因式分解： ． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】本题考查了完全平方公式和因式分解，解题的关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式． （ ）根据阴影部分为一个正方形，其边长为，即可求出面积； （ ）利用完全平方公式、、之间的等量关系即可； （ ）由（ ）得，将，代入即可求出所求式子的值； （ ）可利用长方形面积的两种表示法列出等式即可． 【解析】（1）解：图中阴影部分边长为，面积为， 故答案为； （2）解：图中阴影部分面积为， 故答案为； （3）解：由（ ）得， ∵，， ∴， ∴； 故答案为； （4）解：由图可知，， 故答案为． 22．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 ， 当时，原式． 23．（8分）已知，其中． （1）求的值（用含的式子表示）； （2）求的值． 【答案】（1） （2）4 【分析】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式． （1）求出，与比较即可得到的值； （2）根据完全平方公式得到，，开平方得到，进而根据得到． 【解析】（1）解：由题意得， ， ，， ； （2）解：，， ， ， ∴， ， ， ． 24．（12分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为2027 【解析】 ， 当，时， 原式． 25．（12分）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）当 时，多项式有最 值，最 值是 ； 【知识迁移】 （3）代数式的最小值为 ． 【答案】（1）9；（2），大，大，7；（3）6 【分析】本题主要考查了多项式、完全平方式和多项式的最值，解题关键是熟练掌握利用配方法把多项式写成完全平方式． （1）利用已知条件中的配方法求出答案即可； （2）把所给多项式配方，写成一个完全平方式，根据偶次方的非负性，求出其最值即可； （3）利用分组分解法分解因式，再写成完全平方式，求出其最值即可． 【解析】（1）， 故答案为9； （2） ， ， ， 当，即时，有最大值，最大值是7， 即当时，多项式有最大值，最大值是7， 故答案为，大，大，7； （3） ， ， 代数式有最小值，最小值为6， 故答案为6． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若，则等于（ ） A．1 B．4 C．8 D．16 3．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 9．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知，，那么的值是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若的展开式中不含的一次项，则常数________． 12．已知，则________． 13．________． 14．若，，则________．（填“>”“<”或“=”） 15．①已知，，则________； ②若，，则________． 16．计算的结果为________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． （1）请表示图①中阴影部分的面积； （2）某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图②所示，请你表示出它的面积； （3）比较（1）（2）的结果，你能发现什么结论？ 18．（6分）小颖利用某月的月历探究奥秘，先用如图1的“十字型”框架任意框住月历中的4个数(如图2阴影部分)，然后将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减．例如：________，________．他发现结果都是一个定值．他按照同样的方式在不同月份的月历中探究，发现都有同样的规律． （1）这个定值是________； （2）请利用整式的运算证明这个规律． 19．（6分）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示为非负整数的展开式的项数及各项系数的有关规律．如图． （1）请你按照规律写出展开式________； （2）设，小明发现通过赋值法可求解系数间的关系：如令，可得________；如令，则可得，借助此思路求出________； （3）此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期________． 20．（6分）求值：，其中． 21．（8分）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．    （1）图中的阴影部分的面积为 ； （2）观察图请你写出、、之间的等量关系是 ； （3）根据（ ）中的结论，若，，则 ； （4）实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图，因式分解： ． 22．（8分）先化简，再求值：，其中． 23．（8分）已知，其中． （1）求的值（用含的式子表示）； （2）求的值． 24．（12分）先化简，再求值：，其中，． 25．（12分）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）当 时，多项式有最 值，最 值是 ； 【知识迁移】 （3）代数式的最小值为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $