第11章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦整式乘除单元，通过基础运算、新定义、数形结合及实际应用问题，分层考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题36分|幂运算、因式分解、数形结合|基础巩固（如第1题运算）、能力提升（如第3题新定义）| |填空题|6题12分|代数式求值、三角形边长、杨辉三角|创新应用（如第16题杨辉三角系数）| |解答题|8题72分|因式分解应用、代数推理、实际问题|综合探究（如第25题代数推理证明）|

第11章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 3．新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 5．生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当，时，各因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似的，对于多项式，当取时，用上述方法可以产生一个六位数密码为206614．已知为正整数，则的值为（     ） A．20 B．26 C． D． 6．某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（     ）块． A．9 B．6 C．4 D．2 7．汽油的价格是不断变化的（如图），但由国家统一调控，在今年的月日与日油价均有下调（如图）．小丁与小李在月日与日都给各自的汽车加油．已知小丁每次加升的油，小李每次加元的油，则（     ） A．小丁的加油方式更划算 B．小李的加油方式更划算 C．两人的加油方式一样划算 D．因为油价下降幅度未知，所以无法比较 8．在课本124页“设计题”中，有3张边长为的正方形纸片，4张长为x，宽为1的长方形纸片，5张边长为1的正方形纸片．若从中取若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的纸片无空隙、无重叠地拼成一个正方形，则拼成的正方形的边长最大可以为（     ） A． B． C． D． 9．一大一小两个正方形的位置如图所示，其中，要求阴影部分的面积，只需知道（     ） A．大正方形的面积 B．小正方形的面积 C．两个正方形的面积的和 D．两个正方形的面积的差 10．如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 11．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 12．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知，，则________． 14．已知a，b，c是的三边长，则__________0（填“>”“<”或“=”）． 15．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 16．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 17．如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 18．分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 20．（6分）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 21．（8分）阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 22．（8分）小温在查阅数学家杨辉撰写的《详解九章算法》及相关资料时，翻看到二项式的乘方的展开式，其各项系数排列成表如图所示． (1)写出的展开式． (2)小温由的展开式推导公式：，以下是部分过程，请继续完成推导． 解：因为 所以 …… (3)若正数，满足，，求的值． 23．（10分）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； (1)在6，26，99中，是“完美数”的是________； (2)已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________； (3)如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”． 24．（10分）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 25．（12分）代数推理是指依据代数知识（公式、法则、等式或不等式的性质等）进行运算或证明．请用代数推理解决如下问题： (1)已知：，求证：； (2)已知：是一个三位数，各数位上数字a、b、c为三个连续整数且，求证：能被整除； (3)已知：，，，且，求t的最大值和t的最小值． 26．（12分）探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第11章整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 3 4 5 6 8 10 11 12 C C B B D A B D D A B B 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.) 13.4 14.> 15.-11 16.-2026 17.36 18.16 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】(1 3a6+36-3y,(2)900 【解析】(1)解：3a(6+9}'-108ab =3a[6+9-362 =3a(b2+9+6b)(b2+9-6b) =3a(b+3)2(b-3)2 (2)解：2022+202×196+982 =2022+2×202×98+982 =(202+98)2 =3002 =90000 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.【答案】(1)135 (2)243 【解析】(1)解：.am=3,b”=5, am.b=(a）-b =33×5 =135 (2)解：.4x+3y=5」 81'×27 =(3)×(3)y =34×33y =34r+3y =35 =243 21.【答案】(1)所生成的密码为101119 (2)生成的密码是282114 x4-1=(x2+1)(x2-1)=(x2+1)(x+1)(x-1) 【解析】(1)解： 当x=10时，x2+1=102+1=101,x+1=10+1=11,x-1=10-1=9. 将101,11,9从大到小排列为101,11,9，所以生成的密码是101119 答：所生成的密码为101119. (2)解： x2(x-2y)+xy(2x-y)=x3-2x2y+2x2y-xy2=x3-xy2=x(x+y)(x-y) 当x=21,y=7时，x+y=21+7=28.x-y=21-7=14, 将28,21,14从大到小排列为28,21,14，所以生成的密码是282114. 答：生成的密码是282114」 22.【答案】(1)a3+3a2+3a+1 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(a+b)(a-ab+b) (3)18 【解析】(1)解：(a+八=a+3a2×1+3a×1P+P=d2+3a2+3a+1 (2)继续推导： a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2 =(a+b)3-3ab(a+b) =(a+b)(a+b)-3ab =(a+b)(a2+2ab+b2-3ab) -(a+b)(a-ab+b): (3)解：由(2)知+b=(a+ba2-b+b) ,正数a,b满足a2+b2=7,ab=1, :(a+b=a+B+2ab=7+1x2=9,a+b>0, .a+b=3, a3+b3=3×(7-1)=3×6=18 23.【答案】(1)26 (2)5(答案不唯一) (3)见解析 【解析】(1)解：对三个数逐一验证： 6无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”； 26=52+1 ,符合“完美数”的定义，是“完美数”· 99无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”. 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M=x2+4x+k」 (2)对 配方得： M=(x+2)2+(k-4) c+2x+2,为整数，则 x+21 由平方性质可得： 必然是非负整数， 根据“完美数”定义，只需k-4是一个非负整数的平方即可. 取k-4=1,得k=5, 此时 M=(x+2)2+1 ,符合要求， 因此k=5是一个符合条件的值，答案不唯一 (3)证明：m,n都是“完美数”， ”可设m=a+62n=c2+ a b c d ,其中，，，”都是非负整数. mn=(a2+b2)c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+bd2 对式子变形配方： mn=(a'c2+2abed+b2d2)+(a'd2-2abcd +b'c2) mn (ac+bd)2+(ad-bc)2 整理得 =(ac+bd)+ad-bep :a,b,c,d都是非负整数， ∴ac+bd,ad-bc都是整数，平方后均为非负整数. .mn可以表示为两个非负整数的平方和. .mn也是“完美数”. 24.【答案】(r-6x+8)r-6x+10)+1=(x-3) 2x+2y+2r+2y2-2） (3*-2@x-b-2ab-(x+b)(x-2a-b) 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)解：设m=x-6x, (x2-6x+8)(x2-6x+10)+1 =(m+8)(m+10)+1 =m2+8m+10m+80+1 =m2+18m+81 =(m+9)2 =(x2-6x+9月 =(x-3)4 (2)解：‘+4 =x4+4y+4x2y2-4x2y2 =(x2+2y2）-(2y)月 =(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy） (3)解：x2-2ax-b2-2ab =x2-2am+a2-a2-b2-2ab =(x2-2ax+a2）-(a2+2ab+b2） =(x-a)2-(a+b)2 =(x-a+a+b)(x-a-a-b) =(x+b)x-2a-b) 25.【答案】(1)见解析 (2)见解析 26 (3),的最大值为7，最小值为-2 518 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)证明：：a>b>0, ∴.a+b>0,a-b>0, ∴.(a+b)(a-b)>0 a2-b2>0 a2>b2 (2)证明：~a、b、c为三个连续整数且a>b>c, ∴b=c+1,a=c+2, ∴.abc=100a+10b+c=100(c+2)+10(c+1)+c=111c+210 :.abc+70a+b=(111c+210)+70(c+2)+(c+1)=182c+351=13(14c+27) .abc+70a+b 13 能被整除： (3)解：设a+b+2c=8①，2a-b=1②. 则0+②得3a+2c=9:解得a-9-2)3-子。 0×2-②相36+c=15,解得6-5-4d)=5-c， 1a+h-2c-6-号05-40)-26=18-2 3 :a≤b≤c, （9-2c)5-4c),化简得2c≤6，解得c≤3 15 写5-4e)sc,化简得15-4e≤3c:解得c≥7， 15 :.1 ≤c≤3 18-20×15-26.18-20×3=-2, -X 377， 3 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2s18-20。<26 c≤ 3 7， 26 :的最大值为7，最小值为-2： 26.【答案】(1)±2 (2)80平方米 (3)①a=3b:②9 【解析】(1)解：图1中4个小长方形的面积为4ab, 图2中4个小长方形的面积为a+b)-a-b, :(a+b)°-(a-b)2=4ab x+y=4,xy=3」 :(x+川-(x-yヅ=4w， :4-(-y2=4×3 :(x-y2=4 x-y=2; (2)解：设AE=DE=a米，BE=CE=b米， 由题意得，a+b=AE+CE=AC=20米， ,种花区域的面积和为120平方米 CS+92a2+=120,即g+6=240 2 S种草区域=S,CDE+S。ABE 1 36 ab (a+b)}'-(a2+b2) 2 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 202-240 2 =80(平方米)， 答：种草区域的面积和为80平方米 (3)解：①：长方形18CD的面积为S,长方形EFGH的面积为 S S2 S=3b(4b+CE)=126+3bCE,S:=a(a+CE)=a'+aCE :S-S;=126+3bCE-(a2+aCE)-12b-d+(3b-a)CE 不论B的长为何偷时，月-永运为定位，且B=(E+46 的值与CE无关， .3b-a=0, 即a与b之间的数量关系为a=3b: ②由(3)①得 -S2=12b2-a2a=3b 当b=5时，S-S,=12b-(3)}2=12b2-962=362=3×(5=9 818 第11章 整式的乘除（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、平方差公式、积的乘方的法则，逐一判断选项的运算是否正确即可． 【详解】解： A、，故选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，运算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意 2．若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 【答案】C 【分析】用平方差公式把所求式子化简为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】读懂新运算规则，按规则列出算式后，展开合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据新运算规则，得： ． 4．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在图甲中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形的面积，再加上一个边长为的正方形的面积， 在图乙中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积， ∴等式为． 5．生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当，时，各因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似的，对于多项式，当取时，用上述方法可以产生一个六位数密码为206614．已知为正整数，则的值为（     ） A．20 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】先对多项式因式分解，再结合已知密码和的值得到另外两个因式的值，通过方程组计算即可求出，然后再检验即可． 【详解】解：先对多项式因式分解： ， ∵ ，得到的六位数密码为， ∴ 对应密码前两位，剩余两个因式的值为和． ∴ 得方程组或， 两式相减得或， ∴或， 检验：当时，，解得，符合为正整数的条件； 当时，，解得，符合为正整数的条件. 综上，． 6．某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（     ）块． A．9 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式求出长方形墙壁的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，4块B板材， 9块C板材． 7．汽油的价格是不断变化的（如图），但由国家统一调控，在今年的月日与日油价均有下调（如图）．小丁与小李在月日与日都给各自的汽车加油．已知小丁每次加升的油，小李每次加元的油，则（     ） A．小丁的加油方式更划算 B．小李的加油方式更划算 C．两人的加油方式一样划算 D．因为油价下降幅度未知，所以无法比较 【答案】B 【分析】先设两次油价分别为，分别根据两人固定加油升数、固定加油金额的方式，求出小丁、小李各自的平均油价代数式，再用作差法将两个平均油价相减，通分化简得到完全平方形式，结合已知条件判断差值大于，得出小丁平均油价更高，小李加油方式更划算． 【详解】解：设月日油价为元/升，月日油价为元/升，由于油价连续下调，因此， 小丁每次加升，两次总花费为，总油量为升，因此平均油价： 小李每次加元，两次总花费为元，总油量为，因此平均油价： 由于， 因此，且分母， 可得，即， 即小李的加油方式更划算． 8．在课本124页“设计题”中，有3张边长为的正方形纸片，4张长为x，宽为1的长方形纸片，5张边长为1的正方形纸片．若从中取若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的纸片无空隙、无重叠地拼成一个正方形，则拼成的正方形的边长最大可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设拼成的正方形边长为（为正整数），则拼成的正方形面积为，题目中所给的三种纸片面积分别为，且数量分别为，据此确定的取值范围． 【详解】解：设拼成的正方形边长为（为正整数）， 则拼成的正方形面积为， ∵所给的三种纸片面积分别为，且数量分别为， ，故，代入可知时正方形边长最大且为． 9．一大一小两个正方形的位置如图所示，其中，要求阴影部分的面积，只需知道（     ） A．大正方形的面积 B．小正方形的面积 C．两个正方形的面积的和 D．两个正方形的面积的差 【答案】D 【分析】阴影部分是两个梯形，其上底与下底分别为一小一大两个正方形的边长，两梯形高之和为大正方形边长减去小正方形边长，据此可求阴影部分面积． 【详解】解：一大一小两个正方形的位置如图所示，其中， 故， 设小正方形边长为a，大正方形边长为b， ； ∴只需知道两正方形面积差即可求阴影部分面积． 10．如图1，现有2个边长为的正方形，一个长为、宽为的长方形，将它们按图2放置在一个长为、宽为的长方形中，其中①②③④四块阴影部分的面积分别为，，，，若满足，则与满足的关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，根据，得，据此求解即可． 【详解】解：∵长为、宽为的长方形的面积为， 2个边长为的正方形的面积分别为， 一个长为、宽为的长方形的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即． 11．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的式子总结规律，将所求式子变形后匹配规律计算，根据题干规律得，变形所求式子后代入公式计算即可． 【详解】解： ； ； ； ……， 由此可得， 当时，， ∴， ∴， ∴ ． 12．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形，分析对应的边长，即可求解． 【详解】①：由图③可知，，故①是正确的，符合题意； ②：因为，由图③可知，，所以，故②是正确的，符合题意； ③：由题意可知图③是由个长为，宽为的小矩形和个边长为的小正方形构成的个边长为的大正方形，所以，即， 故③是正确的，符合题意； ④：∵由③得，即， 若成立， 那么，即， ∴， ∵与矛盾， ∴④是错误的，不符合题意； ∴符合题意的共有个． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知，，则________． 【答案】 【详解】解：，， ∴， ∴． 14．已知a，b，c是的三边长，则__________0（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式因式分解，再结合三角形三边关系判断各因式的符号，进而得到原式与的大小关系． 【详解】解： ，即， ，即， ∴， 即． 15．已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 16．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式中项的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题中排列方式知，展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， ， 所以展开式中项的系数为． 当时，展开式中，含项的系数是． 17．如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 【答案】36 【分析】延长交的延长线于点，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图像列出的代数式，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 延长交的延长线于点， ∵点为的中点， ∴， 则， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴小正方形的面积为． 18．分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________． 【答案】16 【分析】根据题中给出的三个式子，结合多项式，由，，的形式即可表示出，根据多项式是完全平方式，得到①；多项式是完全平方式，得到②，从而两式相乘即可得到的值． 【详解】解：，对比多项式有， 由可知； 同理，对于，，由，，均可得到； 当多项式是完全平方式，得到①； 当多项式是完全平方式，得到②， ， 和都是多项式，， ， ，两边同时除以得到 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）（1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了提公因式法、平方差公式、完全平方公式在因式分解及简便计算中的应用，熟练掌握因式分解的方法和乘法公式的结构特征是解题的关键． （1）先提取公因式 ，再将括号内的式子整理为平方差的形式，利用平方差公式分解，最后对分解后的因式用完全平方公式进一步化简； （2）观察式子结构，将 转化为 ，使原式符合完全平方公式的形式，再利用公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（6分）根据幂的运算，完成下列问题． (1)已知，，求． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵， ∴ ． 21．（8分）阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)所生成的密码为101119 (2)生成的密码是282114 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）先分解因式再求出当时各个式子的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先根据单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把化简结果分解因式，并求出当，时，各个式子的值，从而求出密码． 【详解】（1）解：， 当时，，，， 将101，11，9从大到小排列为101，11，9，所以生成的密码是101119． 答：所生成的密码为101119． （2）解：， 当，时，，， 将28，21，14从大到小排列为28，21，14，所以生成的密码是282114． 答：生成的密码是282114． 22．（8分）小温在查阅数学家杨辉撰写的《详解九章算法》及相关资料时，翻看到二项式的乘方的展开式，其各项系数排列成表如图所示． (1)写出的展开式． (2)小温由的展开式推导公式：，以下是部分过程，请继续完成推导． 解：因为 所以 …… (3)若正数，满足，，求的值． 【答案】(1) (2)继续推导： ； (3)18 【分析】（1）在中，令即可求解； （2）继续因式分解即可完成推导； （3）先根据和已知求得，再整体代入中进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵正数，满足，， ∴，， ∴， ∴． 23．（10分）定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； (1)在6，26，99中，是“完美数”的是________； (2)已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值________； (3)如果数，都是“完美数”，求证：也是“完美数”． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)证明：，都是“完美数”， 可设，，其中，，，都是非负整数． 对式子变形配方： 整理得． ， ，，，都是非负整数， ，都是整数，平方后均为非负整数． 可以表示为两个非负整数的平方和． 也是“完美数”． 【分析】（1）根据定义，逐一验证三个数能否表示为两个非负整数的平方和，即可得到结果． （2）对M进行配方，将其整理为一个完全平方式加常数的形式，只需使常数项为非负整数的平方，即可得到符合条件的k． （3）先将m，n分别表示为两个非负整数的平方和，展开后配方，将整理为两个非负整数的平方和，即可完成证明． 【详解】（1）解： 对三个数逐一验证： 6无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”； ，符合“完美数”的定义，是“完美数”． 99无法写成两个非负整数的平方和，不是“完美数”． （2）对配方得： ． 由平方性质可得：，为整数，则必然是非负整数， 根据“完美数”定义，只需是一个非负整数的平方即可． 取，得， 此时，符合要求， 因此是一个符合条件的值，答案不唯一． （3）略 24．（10分）请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 25．（12分）代数推理是指依据代数知识（公式、法则、等式或不等式的性质等）进行运算或证明．请用代数推理解决如下问题： (1)已知：，求证：； (2)已知：是一个三位数，各数位上数字a、b、c为三个连续整数且，求证：能被整除； (3)已知：，，，且，求t的最大值和t的最小值． 【答案】(1)证明：， ，， ， ， ； (2)证明：a、b、c为三个连续整数且， ，， ， ， 能被整除； (3)的最大值为，最小值为． 【分析】（1）由可得出，与的大小关系，进而可得到与的大小关系，利用平方差公式可得证； （2）由题目条件用表示出和，再把表示成关于的式子，这个式子提出公因数就可得证； （3）利用，这两个条件用表示出和，从而可用表示出，再利用求出的取值范围，用这个范围可以求出的取值范围，从而得到的最大值和最小值． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：设，， 则得，解得， 得，解得， ， ， ，化简得，解得， ，化简得，解得， ， ，， ， 的最大值为，最小值为． 26．（12分）探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【答案】(1) (2)平方米 (3)①；② 【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，，根据代入计算即可． （3）①根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答；②根据（3）①所求代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中4个小长方形的面积为， 图2中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设米，米， 由题意得，米， ∵种花区域的面积和为120平方米 ∴，即， ∴ （平方米）， 答：种草区域的面积和为80平方米． （3）解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为； ②由（3）①得，， ∴当时，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $