第十五章 二次根式（单元自测）数学新教材冀教版八年级上册

第十五章 二次根式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式的定义对各选项进行判断，熟知：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，是解题的关键． 【解析】A．为最简二次根式，所以A选项符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选A． 2．下列各式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的概率，掌握最简二次根式的概念是解题的关键：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 【解析】A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有分母，，不是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 3．下列各式，，，中是二次根式的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【解析】下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不能含有分母，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，进行解答即可． 【解析】A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意．故选D． 5．已知是整数，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【解析】∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选A． 6．以下各式中计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，立方根，二次根式的性质化简，正确掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的加法法则，立方根定义，分母有理化方法、二次根式的性质分别判断各选项即可． 【解析】A、不是同类二次根式不能相加，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选C． 7．若最简二次根式可以与合并，则的值是（ ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【解析】， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选C． 8．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的变形，由已知和式推导差式的平方，再开方求解． 【解析】∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴．故选C． 9．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【解析】当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选C． 10．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质． 直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、二次根式的性质分别判断得出答案． 【解析】A、，选项错误，故此选项不合题意； B、，选项错误，故此选项不合题意； C、，选项正确，故此选项符合题意； D、，选项错误，故此选项不合题意； 故选C． 11．当时，化简（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【解析】． ． ． 故选B． 12．下列命题正确的是（ ） A．将32000精确到千位，记为 B．在实数，，，，，中，无理数的个数为4个 C．在①；②；③；④四个分式中，与相等的是② D．等腰三角形两边长分别是2，4，则第三边长为4 【答案】D 【分析】根据近似数的定义，无理数的定义，分式的约分，等腰三角形的定义逐一判断即可． 【解析】A．将32000精确到千位，记为，原命题错误； B．在实数，，，，，中，无理数的个数为、、共3个，原命题错误； C．在①；②；③；④四个分式中，与相等的是④，原命题错误； D．等腰三角形两边为2和4，第三边可能为2或4．若第三边为2，则，不满足三角形两边之和大于第三边；若第三边为4，则，，满足， ∴第三边为4正确，原命题正确； 故选D． 【点睛】本题考查了求一个数的近似数，无理数的定义，二次根式的化简，分式的约分，等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次根式的乘法和性质，平方差公式，根据平方差公式求解即可． 【解析】 ． 故答案为5． 14．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式， 先根据数轴的定义得出，，再根据绝对值的意义，二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【解析】由数轴可得：，，， 故． 故答案为． 15．和分别是的整数部分和小数部分，那么________． 【答案】 【分析】先化简二次根式，再确定其整数部分和小数部分，最后代入计算并化简即可． 【解析】先化简， ， ， ， ， 可得整数部分，小数部分，代入得： 即．故答案为$6+4\sqrt{3}$ ## $4\sqrt{3}+6$． 16．已知在数轴上的位置如图：化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置比较大小、绝对值的化简、二次根式的性质、整式的加减运算，根据点在数轴上的位置，推出，，再化简绝对值，根据二次根式的性质进行化简，最后根据整式加减运算法则计算即可． 【解析】∵，，在数轴上的位置如图所示， ∴， ∵，， ∴， 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）4 （2）－3 （3） （4） 【分析】本题考查算术平方根、立方根、二次根式的化简与分母有理化，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用算术平方根的定义，直接计算平方等于的非负数； （2）利用立方根的定义，直接计算立方等于的数； （3）利用二次根式的化简，将被开方数拆为平方数与另一个数的乘积，然后化为最简二次根式； （4）将二次根式的分母有理化，分子分母同乘分母的根式． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．（8分）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程： （1）________的解法是错误的； （2）当时，求的值． 【答案】（1）小亮 (2)，10 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值及整式的加减． （1）根据二次根式的被开方数具有非负性解答即可； （2）先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质解答解． 【解析】（1）解：∵， ， ∴原式 ， ∴小亮的解答是错误的． 故答案为小亮； （2）解：， ， ； 当时．原式． 19．（8分）计算： （1）； （2） 【答案】（1）5 （2） 【分析】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，掌握二次根式混合运算法则和顺序是解题关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）先化简，再进行合并计算． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 【答案】（1）旗杆的高度为12米 （2）小明需要后退约米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）过E作于点G，可证明，，米，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【解析】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过E作于点G， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，由勾股定理得（米）， 米， （6）米米， 答：小明需要后退约米． 21．（9分）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算，根据二次根式被开方数的非负性可得、的值，将所求式子化简后代入、的值进行计算即可. 【解析】∵ ∴且， ∴， ∴， 当时， 原式 22．（9分）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，运用完全平方公式计算，再根据二次根式的加减法则合并即可； （2）先根据二次根式的除法法则化简，再加减合并即可； （3）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法则合并即可； （4）先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的除法法则化简，最后加减合并即可． 【解析】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 23．（11分）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： （1）化简：； （2）若，，求： ①的值； ②的值． 【答案】（1） （2）①；② 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算． （1）根据数轴可得，，进而根据二次根式的化简，即可求解； （2）先计算出的值； ①根据平方差公式进行计算即可求解； ②先通分，再根据完全平方公式变形求值，即可求解． 【解析】（1）解：根据数轴可得，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ①， ②． 24．（12分）已知 （1）求，的值． （2）求的值． 【答案】(1)， （2） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值，是解答本题的关键． （1）利用二次根式有意义的条件，得到，由此得到，的值，得到答案． （2）把，代入中，求出答案． 【解析】（1）解：根据题意得： ， ， 解得：， 则． （2）把，代入中得： ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 二次根式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式，，，中是二次根式的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 5．已知是整数，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．以下各式中计算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．若最简二次根式可以与合并，则的值是（ ） A．11 B．4 C．2 D．1 8．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ） A．1 B． C． D．2 10．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 11．当时，化简（ ） A． B． C． D． 12．下列命题正确的是（ ） A．将32000精确到千位，记为 B．在实数，，，，，中，无理数的个数为4个 C．在①；②；③；④四个分式中，与相等的是② D．等腰三角形两边长分别是2，4，则第三边长为4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．________． 14．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是________． 15．和分别是的整数部分和小数部分，那么________． 16．已知在数轴上的位置如图：化简的结果为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（8分）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程： （1）________的解法是错误的； （2）当时，求的值． 19．（8分）计算： （1）； （2） 20．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 21．（9分）已知实数、使等式成立，请化简代数式，并求代数式的值． 22．（9分）计算： （1） （2） （3） （4） 23．（11分）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： （1）化简：； （2）若，，求： ①的值； ②的值． 24．（12分）已知 （1）求，的值． （2）求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $