第十五章 二次根式（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材冀教版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 二次根式·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B A C B B B C D B C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15．/ 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算二次根式的乘除法，然后再合并即可； （2）原式先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ；····················3分 （2）解： ．····················7分 18．（8分） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式化简，利用平方差公式化简A； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：，····················2分 则；····················4分 （2）解：将代入得： ．····················8分 19．（8分） 【答案】(1)这个舞台的宽为米 (2)舞台装饰后的面积是平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米；····················3分 （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米．····················8分 20．（8分） 【答案】(1)乙获胜 (2)选择的卡片为和，计算结果为；选择的卡片为和，计算结果为 (3)二； 正确的化简过程如下： 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和乘法运算、平方差公式、去括号法则，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，去括号时注意符号的变化即可． （1）根据甲、乙所选卡片，列式后先逐项化简，再合并同类二次根式，最后比较大小即可； （2）从6张卡片中选两张计算乘积，选出结果为正数的即可； （3）去括号时注意符号的变化即可； 【详解】（1）解：甲：              乙：              ∵， ∴乙获胜．····················2分 （2）若选择的卡片为和．         计算结果如下： ．             若选择的卡片为和．         计算结果如下： ．····················5分 （3）二； 正确的化简过程如下： ····················8分 21．（9分） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． （1）根据题意给出的规律即可求出答案． （2）分子分母同时乘以即可求出答案． （3）将两个数化为的形式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为： ；····················2分 （2）解：由题意，得 ； 故答案为：····················4分 （3）解：根据题意，得： ， ， ， ．····················9分 22．（9分） 【答案】(1) 9 (2) 2 【分析】本题考查分母有理化，完全平方公式，已知字母的值，求代数式的值． （1）通过分母有理化，对原式进行转化，计算即可； （2）通过分母有理化，可得，由完全平方公式可得，代入计算即可． 【详解】（1）解： ．····················4分 （2）解：∵， ∴ ．····················9分 23．（11分） 【答案】(1)裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 (2)无盖长方体铁箱的体积为 (3)按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键． （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出无盖长方体铁箱的长，宽，高，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为．····················3分 （2）解：依题意得：四个直角处的小正方形的边长为，无盖长方体铁箱的长为， ∴无盖长方体铁箱的宽为，高为 ∴无盖长方体铁箱的体积为．····················6分 （3）解：按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是， 按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积为； 按亮亮的方案制作的无盖长方体铁箱的宽为， 底面积为， 体积为， ∵， ∴按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大．····················11分 24．（12分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分子分母同时乘以，根据分母有理化进行计算即可求解． （2）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【详解】（1）解：····················3分 （2）解： ····················7分 （3）解：， ， ， ， ， ， ．····················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级下·江西上饶·期中）若，则的取值范围为，那么□中的符号为（   ） A．< B．≤ C．> D．≥ 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（    ） A．3 B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北张家口·阶段检测）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）如图，甲，乙，丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（　　） 甲 乙 丙 A．0张 B．1张 C．2张 D．3张 7．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A．8分 B．12分 C．16分 D．20分 8．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段检测）若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）老师设计了一个“接力游戏”，几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ） A．只有丁 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知最简二次根式与能合并，则__________． 14．（24-25九年级上·四川乐山·阶段检测）若，，用含的式子表示_____． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得__________； （2）关于的方程的解是__________． 16．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 18．（8分）（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． 19．（8分）（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 20．（8分）（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏． (1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． (2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果． (3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程． ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 21．（9分）（25-26八年级下·全国·期中）阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 22．（9分）（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ，，， ，． 请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 23．（11分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 24．（12分）（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式加减乘除的运算规则逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，不能直接合并相加，∴A运算错误. 选项B：∵，∴B运算正确． 选项C：∵，∴C运算错误． 选项D：∵，∴D运算错误． 综上，正确答案为B． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 3．（25-26八年级下·江西上饶·期中）若，则的取值范围为，那么□中的符号为（   ） A．< B．≤ C．> D．≥ 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质可得 ∵题目给出 ∴ 根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数 ∴ 即 因此□中的符号为． 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数a在数轴上的位置得到，再根据及绝对值的性质可得结论． 【详解】解：由数轴得， ∴ ． 5．（25-26八年级上·河北张家口·阶段检测）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件． 【详解】解： ①，含平方因数9，不是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式； ④ ，含平方因数9，不是最简二次根式； ⑤ ，不能简化，是最简二次根式； ∴最简二次根式有③和⑤，共2个， 故选C． 6．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）如图，甲，乙，丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（　　） 甲 乙 丙 A．0张 B．1张 C．2张 D．3张 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算和有理数的判断，完全平方公式，掌握二次根式的化简和运算是解题关键． 分别计算甲、乙、丙三个算式的值，判断结果是否为有理数． 【详解】解：对于甲： ∵ ，且是无理数， ∴是无理数． 对于乙： ∵， ∴ ， ∴是有理数． 对于丙： ∵，， ， ∴，且是无理数， ∴是无理数． 综上，只有乙的计算结果是有理数． 故选B． 7．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A．8分 B．12分 C．16分 D．20分 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，立方根，零指数幂以及二次根式的乘除运算，根据分母有理化，相反数、倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了，不得分； ②的绝对值是，该题做对了，得4分； ③，该题没做，不得分； ④，则，该题做对了，得4分； ⑤，该题做对了，得4分； 综上，正确题数为3题，每题4分，总得分为（分）， 故选：B． 8．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出是解决此题的关键． 先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可． 【详解】因为实数满足，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B． 9．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段检测）若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式，二次根式的混合运算，二次根式的化简，利用有理化因式进行变形计算后即可一一判断，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：①，故①错误，不合题意； ②，故②正确，符合题意； ③ ， 若， 则， 解得， ∴，故③错误， ④∵， 又∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上，结论正确的有个， 故选：． 10．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）老师设计了一个“接力游戏”，几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ） A．只有丁 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则可和性质逐个判断即可．本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据二次根式的运算法则可和性质逐个判断可得： ， 甲没有出现错误； ， 乙出现错误； ， 丙没有出现错误； ， 丁出现错误； 故自己负责的式子出现错误的是乙和丁， 故选： 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理．过点A作于点E，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， ∴， 故选：B． 12．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再根据规律计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知最简二次根式与能合并，则__________． 【答案】 【详解】解：最简二次根式与能合并， ， 解得． 14．（24-25九年级上·四川乐山·阶段检测）若，，用含的式子表示_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得__________； （2）关于的方程的解是__________． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键． （1）根据材料进行分母有理化即可． （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算二次根式的乘除法，然后再合并即可； （2）原式先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ；····················3分 （2）解： ．····················7分 18．（8分）（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式化简，利用平方差公式化简A； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：，····················2分 则；····················4分 （2）解：将代入得： ．····················8分 19．（8分）（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 【答案】(1)这个舞台的宽为米 (2)舞台装饰后的面积是平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米；····················3分 （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米．····················8分 20．（8分）（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏． (1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． (2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果． (3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程． ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 【答案】(1)乙获胜 (2)选择的卡片为和，计算结果为；选择的卡片为和，计算结果为 (3)二； 正确的化简过程如下： 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和乘法运算、平方差公式、去括号法则，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，去括号时注意符号的变化即可． （1）根据甲、乙所选卡片，列式后先逐项化简，再合并同类二次根式，最后比较大小即可； （2）从6张卡片中选两张计算乘积，选出结果为正数的即可； （3）去括号时注意符号的变化即可； 【详解】（1）解：甲：              乙：              ∵， ∴乙获胜．····················2分 （2）若选择的卡片为和．         计算结果如下： ．             若选择的卡片为和．         计算结果如下： ．····················5分 （3）二； 正确的化简过程如下： ····················8分 21．（9分）（25-26八年级下·全国·期中）阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． （1）根据题意给出的规律即可求出答案． （2）分子分母同时乘以即可求出答案． （3）将两个数化为的形式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为： ；····················2分 （2）解：由题意，得 ； 故答案为：····················4分 （3）解：根据题意，得： ， ， ， ．····················9分 22．（9分）（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ，，， ，． 请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 9 (2) 2 【分析】本题考查分母有理化，完全平方公式，已知字母的值，求代数式的值． （1）通过分母有理化，对原式进行转化，计算即可； （2）通过分母有理化，可得，由完全平方公式可得，代入计算即可． 【详解】（1）解： ．····················4分 （2）解：∵， ∴ ．····················9分 23．（11分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 【答案】(1)裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 (2)无盖长方体铁箱的体积为 (3)按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键． （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出无盖长方体铁箱的长，宽，高，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为．····················3分 （2）解：依题意得：四个直角处的小正方形的边长为，无盖长方体铁箱的长为， ∴无盖长方体铁箱的宽为，高为 ∴无盖长方体铁箱的体积为．····················6分 （3）解：按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是， 按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积为； 按亮亮的方案制作的无盖长方体铁箱的宽为， 底面积为， 体积为， ∵， ∴按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大．····················11分 24．（12分）（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分子分母同时乘以，根据分母有理化进行计算即可求解． （2）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【详解】（1）解：····················3分 （2）解： ····················7分 （3）解：， ， ， ， ， ， ．····················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级下·江西上饶·期中）若，则的取值范围为，那么□中的符号为（   ） A．< B．≤ C．> D．≥ 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简（    ） A．3 B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北张家口·阶段检测）在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）如图，甲，乙，丙三人手中各有一张纸质卡片，卡片的正面分别写有一个算式，则这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（　　） 甲 乙 丙 A．0张 B．1张 C．2张 D．3张 7．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A．8分 B．12分 C．16分 D．20分 8．（25-26九年级上·四川绵阳·开学考试）已知实数满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段检测）若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）老师设计了一个“接力游戏”，几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ） A．只有丁 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 11．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知最简二次根式与能合并，则__________． 14．（24-25九年级上·四川乐山·阶段检测）若，，用含的式子表示_____． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得__________； （2）关于的方程的解是__________． 16．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 18．（8分）（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． 19．（8分）（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 20．（8分）（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学利用如下6张卡片进行数学游戏． (1)甲选择，两张卡片并将卡片内容求和，乙选择，两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． (2)丙从6张卡片中选取两张计算这两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，请写出一种丙选择的卡片组合，并计算结果． (3)丁选择卡片和，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从第______步开始出现错误，请写出正确的化简过程． ……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 21．（9分）（25-26八年级下·全国·期中）阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 22．（9分）（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ，，， ，． 请你根据乐乐的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 23．（11分）（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 24．（12分）（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $