第十四章 全等三角形（单元自测）数学新教材人教版八年级上册

第十四章 全等三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A．三条边分别相等 B．两边和它们的夹角分别相等 C．两角和其中一角的对边分别相等 D．三个角分别相等 3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 4．如图，RtRt，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 6．下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．通过构造得到．构造的依据是（ ） A． B． C． D． 7．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 8．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 9．老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（ ） A．5    B．7    C．8    D．9 甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（ ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都不正确 10．如图，，，要使，则以下条件错误的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，相交于点O，，添加一个条件使得，可添加的条件是（添加一个即可）________．    12．如图，已知，要使，还需添加的一个条件是________．（写出一个即可） 13．如图，，，则________，根据是________． 14．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中有________个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中有________个与全等且有一个公共点的格点三角形． 15．如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 16．如图，AD是的角平分线，于点F，且，则的度数是________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 18．（6分）耀州瓷是陕西铜川的传统名瓷，以“巧如范金，精比琢玉”著称．某陶瓷工坊接到一批耀州瓷瓶订单，需要检测瓷瓶内最宽部分的内径（即瓷瓶如图位置放置时，瓶身内壁两点间的最大水平距离）．由于瓷瓶内部无法直接用直尺测量，工匠们用“型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中点O是、的中点，测得，请你帮工匠求出瓶身内壁两点间的最大水平距离的长． 19．（6分）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20．（6分）已知，在中，，，一直线过顶点，过、分别作这条直线的垂线，垂足分别为、． （1）如图，求证：； （2）如图，请直接写出、、三者之间的关系________． 21．（8分）如图，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求的度数（用含的式子表示）． 22．（8分）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 23．（8分）如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，求的度数． 24．（12分）中，，，在平面直角坐标中的位置如图所示． （1）如图1，已知，，求点C的坐标； （2）如图2，已知，，求点C的坐标． 25．（12分）如图1一直角三角板，，，过点C的直线l不经过三角形内部，过点A、B作，，垂足分别为D，E． （1）请你在图1中写出一对全等三角形：________ （2）请证明你所写结论． （3）尝试探究：若，； ①图1中四边形的面积为：________（用含a，b的代数式表示，） ②图2中过点C的直线l经过三角形内部，其它不变，则四边形的面积为：________（用含a，b的代数式表示，） （4）拓展应用：，，则B点坐标为：________；若点P（不与B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为：________ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等形的识别，观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等形”即可得到答案． 【解析】A．两个图形的形状不同，不是全等形，不合题意； B．两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； C．两个图形的形状不同，不是全等形，不合题意； D．两个图形的大小不同，不是全等形，不合题意； 故选B． 2．下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A．三条边分别相等 B．两边和它们的夹角分别相等 C．两角和其中一角的对边分别相等 D．三个角分别相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【解析】A、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； B、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； C、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； D、若三个角分别相等，则不能推出两三角形全等，故本选项符合题意．故选D． 3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带④去 【答案】A 【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解． 【解析】第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．故选A． 4．如图，RtRt，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形可知，进一步证明，再利用性质求解即可． 【解析】 RtRt，， ， ， ， ， 故选A． 5．如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； 证明即可得出答案． 【解析】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 无法得出， 故选B． 6．下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．通过构造得到．构造的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图步骤确定三边对应相等． 【解析】由作图步骤可知，，， 在和中 ， ∴．故选B． 7．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形知识；解题的关键是通过正方形面积求边长，设未知数表示相关线段，利用勾股定理建立方程求解；先由正方形的面积求出其边长，易证得，根据，证得，． 【解析】∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可证 ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选D． 8．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】判定全等需边、角对应相等，两边及其中一边的对角不能判定一般三角形全等，据此逐一验证四组条件. 【解析】① ，，，符合判定，可确定. ② ，，，边与角不对应，不能确定全等. ③ ，，，边不对应，不能确定全等. ④ ，，，为两边及其中一边的对角，不能确定全等. 综上，能确定全等的条件共组.故选A． 9．老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（ ） A．5    B．7    C．8    D．9 甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（ ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都不正确 【答案】C 【分析】延长到使得，利用倍长中线模型证明得到，再由三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；过作交的延长线于，证明，得，，再由三角形三边的关系即可判断丙同学的说法． 【解析】如图，延长到点，使得，连接， 则； 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 的长不可能是5； 如图，过作交的延长线于，则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在 中，， 即， ， ， 的长不可能是5； 综上所述，甲说法错误，乙和丙说法正确．故选C． 10．如图，，，要使，则以下条件错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判断即可． 【解析】∵， ∴即， ∵，， ∴，故选项A不符合题意； ∵，， ∴，故选项B不符合题意； 添加，无法得出，故选项C符合题意； ∵，， ∴，故选项D不符合题意． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，相交于点O，，添加一个条件使得，可添加的条件是（添加一个即可）________．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，全等三角形的判定定理有． 【解析】添加条件，结合条件，可利用证明， 添加条件，结合条件，可利用证明， 故答案为（答案不唯一）． 12．如图，已知，要使，还需添加的一个条件是________．（写出一个即可） 【答案】（或、等） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解析】∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为（或、等）． 13．如图，，，则________，根据是________． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，由平行线的性质可得，根据可证明． 【解析】∵，， ∴， 又， ∴． 故答案为；． 14．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中有________个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中有________个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【答案】 6 3 11 【分析】本题考查作图，三角形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用“”方法找出所有全等三角形． （1）用割补法求解即可； （2）①根据“” 以为公共边，另一点在格点上作出与全等的三角形即可；②根据“”以点为公共点，其它两点在格点上作出与全等的三角形即可． 【解析】（1）； 故答案为6； （2）①如图2中，、、是与全等且有一条公共边的格点三角形，则在图2中有3个与全等且有一条公共边的格点三角形； 故答案为3； ②如图3中，、、、、、、、是与全等且有一个公共点的格点三角形，则在图3中有11个与全等且有一个公共点的格点三角形． 故答案为11． 15．如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 【答案】3 【分析】首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据，即可获得答案． 【解析】∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴．故答案为3． 16．如图，AD是的角平分线，于点F，且，则的度数是________． 【答案】 【分析】过点作于点，先利用角平分线的性质得，再证，通过等角代换与邻补角的性质，求出的度数． 【解析】过点作于点 ∵ 是的角平分线，， ， ∴ 在 和 中， ∴ ∴ ∵ ∴ ．故答案为$180{^{\circ}}$． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2） 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 【解析】（1）略 （2）解：由（1）知： 所以，即． 18．（6分）耀州瓷是陕西铜川的传统名瓷，以“巧如范金，精比琢玉”著称．某陶瓷工坊接到一批耀州瓷瓶订单，需要检测瓷瓶内最宽部分的内径（即瓷瓶如图位置放置时，瓶身内壁两点间的最大水平距离）．由于瓷瓶内部无法直接用直尺测量，工匠们用“型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中点O是、的中点，测得，请你帮工匠求出瓶身内壁两点间的最大水平距离的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用证明，则可得到． 【解析】∵点O是、的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 答：瓶身内壁两点间的最大水平距离的长为． 19．（6分）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中 ， ． （2） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，然后根据证明出即可； （2）根据三角形全等的性质结合三角形外角的性质可得，即可求解； 【解析】（1）略 （2）解：∵， ， ∵， ∴． 20．（6分）已知，在中，，，一直线过顶点，过、分别作这条直线的垂线，垂足分别为、． （1）如图，求证：； （2）如图，请直接写出、、三者之间的关系________． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到，，再利用即可证明结论； （2）先证明，可得，，再由，即可得结论． 【解析】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 21．（8分）如图，，，，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】（1）利用“”证，得； （2）由（1）证，则，推出． 【解析】（1）解：∵， ∴， 即 又∵ ∴ ∴； （2）解：由（1）可得，则， 又∵ ∴． 22．（8分）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1)， （2）证明：①与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ； ②在等边三角形中，， ， ， ； （3） 【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可； （2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可； （3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可． 【解析】（1）解：，，， ， 在与中， ， ； ； （2）略 （3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示： ， 是等边三角形， 与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， 则在等边三角形中，． 23．（8分）如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴与都是直角三角形． 在与中 ∴ ∴ （2） 【分析】（1）直接证明，即可解决问题． （2）首先证明，进而证明，即可解决问题． 【解析】（1）略； （2）解：∵， ∴． ∵点D为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵∠， ∴． 24．（12分）中，，，在平面直角坐标中的位置如图所示． （1）如图1，已知，，求点C的坐标； （2）如图2，已知，，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）过点作轴，交轴于点，通过直角三角形两个锐角互余，结合同角的余角相等可证明，然后通过证明，最后通过全等三角形的性质与线段和差关系可得到、，即可得到点的坐标； （2）过点作轴，交轴于点，延长，过点作，交于点，通过直角三角形两个锐角互余，结合同角的余角相等可证明，然后通过证明，最后通过全等三角形的性质与线段和差关系可得到点的横纵坐标，即可得到点的坐标． 【解析】（1）解：如图，过点作轴，交轴于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ∴点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴，交轴于点，延长，过点作，交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 25．（12分）如图1一直角三角板，，，过点C的直线l不经过三角形内部，过点A、B作，，垂足分别为D，E． （1）请你在图1中写出一对全等三角形：________ （2）请证明你所写结论． （3）尝试探究：若，； ①图1中四边形的面积为：________（用含a，b的代数式表示，） ②图2中过点C的直线l经过三角形内部，其它不变，则四边形的面积为：________（用含a，b的代数式表示，） （4）拓展应用：，，则B点坐标为：________；若点P（不与B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为：________ 【答案】（1） （2） 证明：，， ，， ， 在和中， ， ； （3）①，②或 (4)，或或 【分析】（1）由图可知； （2）利用可证； （3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）参照1-3，在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论． 【解析】（1）解：和是一对全等三角形， 故答案为； （2）略． （3）解：①由（2）知， ，， 四边形的面积为：； ②同（2）可证， ，， ， 四边形的面积为：， 故答案为，； （4）解：如图所示，作轴于点D． ，， ，． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为，或或． 【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $