第12章 全等三角形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版八年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第12章全等三角形培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 8 9 10 D B B D C D C B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.6<EF<14 12.6cm 14.7或3.5 15.5号 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】解：在△BDC中，∠C=90°，∠DBC=60°， ∴.∠BDC=180°-∠C-∠DBC=30°，(3分) .·∠BDC是△ABD的外角， .∠ABD=∠BDC-∠A=30°-15°=15°=∠A,(5分) .AD=BD=6.(8分) 17.(8分) 【详解】解：AD是BC边上的中线， BD=CD,(1分) .AB=BC, “.设BD=CD=X,则AB=BC=2X, ,AD把△ABC的周长分成6和9的两部分， .当AB+BD=9,AC+CD=6时， 2x+x=9, 解得X=3, 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=6-3=3, 此时三边长为6、6、3，满足三角形三边关系；(5分) 当AB+BD=6,AC+CD=9时， 2x+x=6, 解得x=2, ∴.AC=9-2=7, 此时三边长为4、4、7，满足三角形三边关系， 综上所述，AC边的长为3或7.(8分) 18.(8分) 【详解】解：.OC平分∠AOB,∠AOB=80°， ∠A0C=∠A0B=40°，(1分) 分三种情况（如图）： A B 当CO=CP时，∠OP1C=∠C0P1=40°；(3分) 当P20=CP时，∠0CP2=∠C0P2=40°，(5分) ∴.∠0P,C=180°-∠C0P2-∠OCP2=100°： 当P,0=0C时，∠0CP,=∠0P,C=180°-40° 70°. 综上，∠OP℃的度数为40°或100°或70°.(8分) 19.(9分) 【答案】证明：在线段AE上取点F,使AC=CF, ∴.∠A=∠CA,(1分) .·∠A+∠B=180°，∠CFA+∠CFE=180°， ∴.∠CFE=∠DBE,(3分) AC=CF,AC=BD, ∴.CF=BD,(4分) 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .·∠CEF=∠DEB, .△CFE≌△DBE AAS,(8分) .CE=DE.(9分) B 20.(9分) 【答案】证明：取CD中点E,连接AE并延长至点F,使FE=AE,连接CF,则DE=CE, B 在△ADE和△FCE中， AE=FE ∠AED=∠FEC DE=CE .△ADE≌△FCESAS, ∴.∠ADE=∠FCE,AD=FC,(3分) ,∠ACD=20°，AD⊥AC ∴.∠ADC=90°-∠ACD=90°-20°=70°， .∠FCE=∠ADE=70, ∴.∠ACF=∠FCE+∠ACD=90°， ∴.∠DAC=∠ACF=90°， 在△ADC和△FCA中， AD=CF ∠DAC=∠FCA, AC=CA △ADC≌△CFA SAS,(6分) 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CD=AF, 又AF=2AE,CD=2DE, ..AE=DE .∠ADE=∠DAE=70°， ∴.∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=40°， 又∠B=40, .∠B=∠AED, ..AB=AE, ..CD=2DE=2AE=2AB.( 21.(9分) 【答案】证明：连接AP并延长交BC于点D,作∠CAD的平分线AE,交BC于点E, P :∠ABC=60°，∠ACB=40°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80° P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点， .∠BAD=∠DAC, R∠BAD=∠CAD=号2BAC三1×80=400， .∠DAC=∠DCA, .AD=CD,(2分) AE平分∠CAD, .PAE=EAC三) ∠DAC=20°， ∴.∠BAE=∠BAD+∠DAE=60°， ∠ABC=60, ∴.△ABE为等边三角形， .AE=AB,(4分) 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,PC平分∠ACB,∠ACB=40, :∠ACP=∠BCP=号∠ACD=20, ∴.∠DAE=∠DCP,(5分) 在△ADE和△CDP中 ∠DAE=∠DCP AD=CD ∠ADE=∠CDP ∴.△ADE≌△CDP ASA,(8分) ..AE=PC, .AB=PC.(9分) 22.(12分) 【答案】（①）证明：∠1=∠2， .∠1+∠ACE=∠2+∠ACE, 即∠ACB=∠DCE,(1分) BC=EC,CA=CD. .∴△ACB≌△DCE SAS, AB=DE.(3分) (②AB⊥DE' (4分) 证明：如图， 2 图② 由(1)有△ACB≌△DCE, ∴.∠B=∠E,(5分) .∠1=90， .∠B+∠BGC=90°， 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠EGF=∠BGC, .∠E+∠EGF=90°，(6分) ∴∠EFB=180°-∠E+∠EGF=90°， 即AB⊥DE.(7分) (3)解：过点C作CM⊥AB,CN⊥DE,垂足分别为M,N,设AC,DE相交于点H, E H 图③ ,△ACB≌△DCE, ∴SaAa=SaAm,AB=DE,∠A=∠D, AB-CM-DE-CN,.g)分 .CM=CN,(9分) ∴.CF平分∠BFD, ∠A=∠D'∠AHF=∠DHC' .∠AFH=∠2=a,(10分) ∠BrC=180-∠AH=180-a1=90-a.（12分) 23.(12分) 【答案】(I)CD=BE(2分) (2)解：如图2：过B作BF⊥CE于F,则∠BFC=∠ADC=90°， B E 图② .∠BCF+∠CBF=90°， 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ACB=90°， ∴.∠BCF+∠ACD=90, ∴.∠CBF=∠ACD, .AC=BC, ∴，△CDA≌△BFC AAS,(4分) .BF=CD=2, CD=2,DE=15 CE=CD+DE=29 △BCE的面积为CE:BF=号×29×2=29 27 (6分) (3)解：如图：过E作EH⊥AB于H,则∠H=∠ABD=90°，即∠AEH+∠EAH=90°， ------vH DB 图③ :△ADE是等腰直角三角形， .∠DAE=90°，AD=AE, ∴.∠BAD+∠EAH=90°， .∠BAD=∠AEH △BAD≌△HEA(AAS,(8分) ∴.AH=BD,EH=AB, ∴.AH+AB=BD+BC,即BH=DC, .AB=BC, .EH=BC, :∠H=∠ABC=90°，∠EFH=∠CFB .△EFH≌△CFB AAS,(10分) ∴.BF=HF,即BH=BF+HF=2BF, .DC=2BF.(12分) 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8/8 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第12章 全等三角形·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 【答案】D 【分析】分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，计算出底边长后根据三角形三边关系验证，即可得到结果． 【详解】解：若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若，即已知两边都是腰， 解得，此时两腰长均为， 则底边长为， 三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 综上，底边长度可以为或或． 2．如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于点，于点．首先证明，求出的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，设边上的高为h． 由作图可知平分， ， ， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ． 3．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值． 4．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】先过点作，利用三角形面积公式求出的长度，再依据角平分线的性质得到到的最短距离，结合垂线段最短确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴点到的垂线段长度等于， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长可能为、、，的长不可能为． 5．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 6．如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由等边三角形的性质可得，，，则，故当三点共线时，的最小值为的长，然后通过等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点，是边的中点， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的最小值为的长，如图， ∵， ∴，即的最小值为． 7．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】D 【分析】如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N， ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且． ∴． 在和中， ， ∴ ． ∴． ∴是等边三角形． ∴当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动时，且， ∴是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 8．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，点D为的中点，可得，，设点、的运动时间为，分别表示出，，分和两种情况，即可求解． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴，， ∴点的对应点是点， 设点、的运动时间为，点Q的运动速度为， ∴，， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 9．如图，在中，，点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为，则与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，先根据对称的性质推出，，，从而证明，进而求出两个三角形面积相等，以及，利用面积相等，底相等推出高相等，结合对称性质推出，利用底相同，高的关系通过等量转换求出与的面积之比． 【详解】解：连接并延长交于点，记与的交点为，连接，， 如图所示， 点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为， ，，，，， ， ，，， ， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， ， ， . 10．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①先证明，再证明，进而可依据“”判定；由此可对结论①进行判断；②根据①的结论正确得，再证明，进而可依据判定，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据全等三角形性质得，再根据已知得，则，由此可得出的面积，进而可对结论③进行判断；④根据，，可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴为等腰直角三角形, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵ ， ∴，， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ④在中，， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确得结论是①②③④． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 12．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【分析】如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为__________________． 【答案】 【分析】根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：∵点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，且、同时从出发， ∴出发秒后，米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴ 解得， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴ 解得， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为． 14．如图，在中，，，．点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点，当与全等时，的长为________． 【答案】7或3.5 【分析】设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，分点在上和点在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， 当点在上时，， 即， 此时，， ，、、在同一直线上， ， ，， ， ， ， 若与全等，则， ， 解得， 此时； 当点在上时，， 即， 此时已越过点，， 若与全等，由于、均在上，则、重合， 即， ， 解得， 此时； 综上所述，的长为7或3.5． 15．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在中，，，，，求的长． 【答案】6 【分析】在中，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ，（3分）                 是的外角， ，  （5分）               ．（8分） 17．（8分）在中，，是边上的中线，且把的周长分成6和9的两部分，求边的长． 【答案】边的长为3或7 【分析】由题意可得，设，则，再分两种情况：当，时，当，时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，（1分） ∵， ∴设，则， ∵把的周长分成6和9的两部分， ∴当，时， ， 解得， ∴， 此时三边长为、、，满足三角形三边关系；（5分） 当，时， ， 解得， ∴， 此时三边长为、、，满足三角形三边关系， 综上所述，边的长为3或7．（8分） 18．（8分）如图，，是的平分线上的一动点，在射线上．若是等腰三角形，求的度数． 【答案】的度数为或或 【分析】分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：平分，， ，（1分） 分三种情况（如图）： 当时，；（3分） 当时，，（5分） ； 当时，． 综上，的度数为或或．（8分） 19．（9分）如图，、交于，且，，求证：． 【答案】证明：在线段上取点，使， ，（1分） ，， ，（3分） ，， ，（4分） ， ，（8分） ．（9分） 【分析】根据等腰三角形的性质，可得，根据等角的补角相等，可得，根据，可得和的关系，根据全等三角形的性质，可得答案． 【详解】略 20．（9分）如图，已知在中，，，，交于，求证：． 【答案】证明：取中点，连接并延长至点，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，，（3分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，（6分） ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴．（9分） 【分析】取中点，连接并延长至点，使，连接，证明，得出，，导角求出，证明，得出，则，根据等边对等角求出，则，根据等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 21．（9分）如图在中，，，P为的平分线与的平分线的交点，求证：． 【答案】证明：连接并延长交于点D，作的平分线，交于点E， ∵，， ∴， ∵P为的平分线与的平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，（2分） ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，（4分） ∵平分，， ∴， ∴，（5分） 在和中 ， ∴，（8分） ∴， ∴．（9分） 【分析】连接并延长交于点D，作的平分线，交于点E，得出为等边三角形，得到，证明，得出，从而得出． 【详解】略 22．（12分）探究解题： (1)如图①，，，，与交于点F．求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． (3)如图③，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即，（1分） ∵，， ∴， ∴．（3分） (2)，（4分） 证明：如图， 由（1）有， ∴，（5分） ∵， ∴， ∵， ∴，（6分） ∴， 即．（7分） （3）解：过点作，垂足分别为，设相交于点， ∵， ∴，，, ∴，（8分） ∴，（9分） ∴平分， ∵,， ∴，（10分） ∴．（12分） 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理得到，即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，证明，得到平分，证明，即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作，垂足分别为，设相交于点， ∵， ∴，，, ∴， ∴， ∴平分， ∵,， ∴， ∴． 23．（12分）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 【答案】(1)（2分） （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，（4分） ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为．（6分） （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，（8分） ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ，（10分） ∴，即， ∴．（12分） 【分析】（1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可解答； （2）如图2：过B作于F，则，利用证明可得，再求得，最后利用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过E作于H，则，即，证明，易得、，再证明可得，即，进而完成解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴，， ， 又∵， ∴， ． （2）解∶如图2：过B作于F，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为． （3）解：如图：过E作于H，则，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第12章 全等三角形·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 2．如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（     ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 5．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（     ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 ∵平分， ∴，． ∴． ∴此时，是等边三角形． 8．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，，点关于边的对称点是，点关于边的对称点为，点关于的对称点为，则与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 12．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 13．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为__________________． 14．如图，在中，，，．点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点，当与全等时，的长为________． 15．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在中，，，，，求的长． 17．（8分）在中，，是边上的中线，且把的周长分成6和9的两部分，求边的长． 18．（8分）如图，，是的平分线上的一动点，在射线上．若是等腰三角形，求的度数． 19．（9分）如图，、交于，且，，求证：． 20．（9分）如图，已知在中，，，，交于，求证：． 21．（9分）如图在中，，，P为的平分线与的平分线的交点，求证：． 22．（12分）探究解题： (1)如图①，，，，与交于点F．求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． (3)如图③，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 23．（12分）【初步感知】 (1)如图①，在中，，，D是外一点，且于点D．数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作，交的延长线于点E，可以构造全等三角形，则与的数量关系是_________________； 【问题探究】 (2)如图②，在中，，，点E在边AB上，于点D，若，，求的面积； 【问题解决】 (3)如图③，是某公园的一片玫瑰园，，，为了进一步满足市民游玩需求，现要对玫瑰园进行扩建，在小路的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段为直角边向左侧作，，在小路与的交点处修建游客服务中心F，求小路与之间的数量关系．（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第12章全等三角形培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.等腰三角形的两边长为2x和x+6,周长为28，则底边的长度可能为() A.8 B.10.4 C.8或10.4 D.8或10.4或4 2.如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,S△ABc=10.①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于 点G,交AC于点H;再分别以点G,H为圆心，以大于号GH的长为半径画弧，两弧交于点E:作射线 AE交BC边于点D:②分别以点A,D为圆心，以大于号AD的长为半径画弧，两弧相交于点M,N:作 直线MN交AD于点F.则△BDF的面积为() B D A.2.5 B.3 c.5 D.6 3.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点 E,F,若D为底边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为()· E A.6 B.8 C.10 D.12 4.如图，OC是∠AOB的平分线，点D,E分别是OC,OB上的动点，OA=4,当△AOD的面积是6时， 117 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段DE的长不可能为() D A.4.5 B.4 C.3 D.2 5.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接BE,CE.BD平分∠ABE, CE‖AB.若CE=3,BE=8,则AB的长为() B D A.8 B.10 C.11 D.12 6.如图，在等边三角形ABC中，E是AC边的中点，AD⊥BC于点D,P是AD上的动点，若AD=3, 则EP+CP的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上，且△PMN为 等边三角形，则满足上述条件的△PMN有() P A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M OP ∠AOB ,平分 ∴.PM=PN,∠PMO=90°，∠PNO=90° .∠MPN=360°-∠AOB-∠PMO-∠PNO=60°. ∴此时，△PMN是等边三角形 8.如图，在△ABC中，AB=AC=24Cm,BC=16Cm,点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以 4Cms的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若在某一时刻能使△BPD 与△CQP全等.则点Q的运动速度为() D A.4cm/s B.6cm/s C.4cm/s或6cm/s D.6cm/s或8cm/s 9.如图，在△ABC中，∠C=90,°，点A关于BC边的对称点是A,点B关于AC边的对称点为B,点C 关于AB的对称点为c,则△ABC与△ABC的面积之比是(） D 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°， 过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① 317 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABD≌△ACF;②DE=EF;③若SAAEF=15,S△cEF=6,则S△ABc=36;④BD+CE>DE,其中 正确的是() B A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在△ABC中，D是边AC的中点，∠EDF=90°，AF=10,CE=4,则EF的取值范围是 12.如图所示，线段AB=12Cm,射线AN⊥AB于点A,点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角 边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE,连接DE交射线AN于点M,则CM的长为 D 13.如图，已知线段AB=20米，MA⊥AB于点A,MA=8米，BD⊥AB于B,P点从B点向A运动，每 秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走2米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C, 使△CAP与△PBQ全等，则x的值为 D M dB 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=10.点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P, Q两点同时出发.分别过P,Q两点作PE⊥I于点E,QF⊥I于点F,当△PEC与△QFC全等时，CQ的 长为 ■ C F 15.如图，己知四边形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，CD=14厘米，∠B=∠C,点E为线段 AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点 向D点运动.当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三 角形全等. A P 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BD=6,求AD的长. B D 17.(8分)在△ABC中，AB=BC,AD是BC边上的中线，且AD把△ABC的周长分成6和9的两部 分，求AC边的长 I8.(8分)如图，∠AOB=80°，C是∠AOB的平分线上的一动点，P在射线OA上.若△OPC是等腰 三角形，求∠OPC的度数. 517 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(9分)如图，AB、CD交于E,且AC=BD,∠A+∠B=180°，求证：CE=DE B D 20.(9分)如图，已知在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD⊥AC,交BC于D,求证： CD=2AB 21.(9分)如图在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分 线的交点，求证：AB=PC 22.(12分)探究解题： A 图① 图② 图③ (I如图①，CA=CD,∠1=∠2，BC=EC,AB与DE交于点F.求证：AB=DE. (2)如图②，在(1)的条件下，当∠1=∠2=90°，试判断AB与DE的位置关系并证明. (3)如图③，在(1)的条件下，当∠1=∠2=a,连接CF,求∠BFC(用含a的式子表示). 23.(12分)【初步感知】 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E D B 图① 图② 图③ (1)如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是△ABC外一点，且AD⊥CD于点D.数学活 动课上，老师组织同学们展开了如下探究：过点B作BE⊥CD,交DC的延长线于点E,可以构造全等三 角形，则CD与BE的数量关系是 【问题探究】 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E在边AB上，AD⊥CE于点D,若CD=2, DE=15 ，求△BCE的面积： 【问题解决】 (3)如图③，△ABC是某公园的一片玫瑰园，∠ABC=90°，AB=BC,为了进一步满足市民游玩需求， 现要对玫瑰园进行扩建，在小路CB的延长线上的点D处修建了一座观景塔，以A为直角顶点，线段AD为 直角边向左侧作Rt△ADE,AD=AE,在小路AB与EC的交点处修建游客服务中心F,求小路DC与FB 之间的数量关系.（观景塔及游客服务中心大小忽略不计）， 7/7