第十三章 三角形（单元自测）数学新教材人教版八年级上册

第十三章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．匀质三角形薄板的重心是三角形（ ）的交点 A．三条高 B．三条中线 C．三条角平分线 D．三边垂直平分线 2．如图，在三角形纸片中，，将纸片的一角折叠，使点落在点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．三角形的稳定性有着广泛的应用，下列物品中，没有用到三角形稳定性的是（ ） A．手机支架 B．折叠马扎 C．剪叉式升降平台 D．汽车引擎盖支架 4．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 5．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 6．下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 7．若等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为（ ） A． B． C． D．或 8．如图，在中，，于，点在线段上，图中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各（ ） A．，，个 B．，，个 C．，，个 D．，，个 9．将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（ ） A．16 B．12 C．14 D．8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是________． 12．等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为________． 13．如图，某渔船在海面上朝正东方向航行，在A处观测到灯塔M在北偏东方向上，行驶一段时间后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东方向上，那么从M处观测A，B两处的视角的度数是________． 14．如图，已知，，，则________． 15．如图，在中，于点，平分．若，，则________． 16．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为4，求它的周长． 18．（6分）已知三角形的三边长分别为，和． （1）求的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 19．（6分）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若等腰三角形的一边长为，求另两边的长． 20．（6分）如图，将含有的直角三角尺直角顶点A放到长方形DEFH的边DE上，若，求的度数． 21．（8分）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是”的方法是________（请填写序号）； （2）在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 22．（8分）已知，c是的三边长． （1）已知，求c的取值范围； （2）若，且的周长不超过，求a的取值范围． 23．（8分）如图，为的中线，为的中线． (1)，求的度数； （2）在中作边上的高； （3）若的面积为，则点到边的距离为多少？ 24．（12分）如图，已知是的角平分线，，垂足为．，相交于点，，试求的度数． 25．（12分）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为，则的面积________； （2）当，时，求的度数． （3）若，的周长比的周长多，求的长度． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．匀质三角形薄板的重心是三角形（ ）的交点 A．三条高 B．三条中线 C．三条角平分线 D．三边垂直平分线 【答案】B 【解析】匀质三角形薄板的重心与三角形的重心重合，三角形的重心是三条中线的交点．故选B． 2．如图，在三角形纸片中，，将纸片的一角折叠，使点落在点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等的角，利用三角形内角和定理逐步进行求解即可． 【解析】由翻折的性质得，， ， ∴， ∴， ∴， 故选B． 3．三角形的稳定性有着广泛的应用，下列物品中，没有用到三角形稳定性的是（ ） A．手机支架 B．折叠马扎 C．剪叉式升降平台 D．汽车引擎盖支架 【答案】B 【分析】定位解题突破口为识别各物品结构中所蕴含的几何图形特性，三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性． 【解析】A．手机支架与桌面构成三角形，利用了三角形的稳定性； B．马扎分开后的两腿与地面构成三角形，利用了三角形的稳定性； C．剪叉式升降平台，利用了四边形的不稳定性； D．汽车引擎盖支架与引擎盖、车身构成三角形，利用了三角形的稳定性．故选B． 4．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【解析】∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 5．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线、角平分线、高的定义，解答即可． 【解析】，，分别是的中线、角平分线、高， ，，，，，不成立， 故ABC正确；D错误.故选D． 6．下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 【答案】A 【解析】A. 三角形的三条中线交于一点，说法正确； B. 直角三角形有三条高，两条直角边为高，斜边上有一条高，说法错误； C. 三角形的角平分线是线段，不是射线，说法错误； D. 钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高在边上，并非三条高都在三角形内部，说法错误．故选A． 7．若等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需分类讨论是腰长或底边长的情况，并验证三边是否满足关系，然后即可求解； 【解析】∵等腰三角形周长为，一边长为， ∴当为腰长时，底边长为，此时三边、、，满足，能构成三角形； 当为底边长时，腰长为，此时三边、、，满足，能构成三角形； 综上所述：底边长为或； 故选D； 8．如图，在中，，于，点在线段上，图中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各（ ） A．，，个 B．，，个 C．，，个 D．，，个 【答案】D 【分析】先列出图中全部三角形，再根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，逐一识别图中的所有三角形即可． 【解析】首先列出图中全部三角形，分别为，，，，，，再进行分类统计：锐角三角形只有，共个；直角三角形有，，，，共个；钝角三角形只有，共个．故选D． 9．将两个三角形叠在一起，得到如图所示的图形，其中以为边的三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【解析】由图可知，以为边的三角形有、、，共三个．故选C． 10．如图，在中，是边的中线，是边的中线，点F为的中点，连接．若的面积为2，则的面积为（ ） A．16 B．12 C．14 D．8 【答案】A 【分析】利用三角形的中线性质以及等底同高的三角形的面积相等，逐个求出三角形的面积． 【解析】如图，连接， ∵是边的中线， ∴； ∵点F为的中点， ∴； ∵是边的中线， ∴； ∵是边的中线， ∴．故选A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是________． 【答案】28 【分析】根据三角形三边关系定理，求出x的取值范围，再结合x为奇数的条件确定x的值，进而计算周长 【解析】根据三角形的三边关系，可得，即． 由于为奇数，因此． ∴三角形的周长为． 故答案为28． 12．等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为________． 【答案】（或度） 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果． 【解析】等腰三角形的一个内角为， 一定是等腰三角形的顶角， 等腰三角形的一个底角的度数为．故答案为（或度）． 13．如图，某渔船在海面上朝正东方向航行，在A处观测到灯塔M在北偏东方向上，行驶一段时间后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东方向上，那么从M处观测A，B两处的视角的度数是________． 【答案】（或30度） 【分析】本题考查方位角，三角形内角和定理．由已知方位角得出和的度数，再根据三角形内角和为180度即可求解． 【解析】由题意知，，， ， 故答案为． 14．如图，已知，，，则________． 【答案】30° 【分析】在中由三角形内角和定理得出度数，再由对顶角性质得出度数，最后在中利用三角形内角和定理可得答案． 【解析】在中，， ， ， 在中，， ．故答案为30°． 15．如图，在中，于点，平分．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形内外角关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．由三角形内角和定理求出，进而根据角平分线性质求出，再由三角形外角的性质求出，最后根据，求解即可． 【解析】，， ， 平分， ， ， ，   ． 故答案为 ． 16．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和必须大于第三边是解题的关键． 先列举出所有可能性，然后运用三角形的三边关系逐个判断即可． 【解析】四根木棒的所有可能三根组合有：①；②；③；④． 组合①，由，不能构成三角形； 组合②，，不能构成三角形； 组合③，，不能构成三角形； 组合④，，所有两边之和均大于第三边，满足三角形三边关系． ∴能组成三角形的三根小木棒长度为． 故答案为． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分） 17．（6分）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为4，求它的周长． 【答案】11或10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键．本题应分为两种情况：3为底，4为腰；4为底，3为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【解析】等腰三角形的两条边长为3和4， 3为底，4为腰时，，，能构成三角形，此时周长为：； 4为底，3为腰时，，，能构成三角形，此时周长为：． 综上，它的周长为11或10． 18．（6分）已知三角形的三边长分别为，和． （1）求的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【解析】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 19．（6分）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若等腰三角形的一边长为，求另两边的长． 【答案】另两边的长为， 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况：当边长为的边为底边时；当边长为的边为腰长时，分别进行求解即可得到答案． 【解析】当边长为的边为底边时，两腰长， 此时三角形另两边长分别为，，能组成三角形； 当边长为的边为腰长时，另一腰长， 则底边长 ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，三角形另边长分别为，． 20．（6分）如图，将含有的直角三角尺直角顶点A放到长方形DEFH的边DE上，若，求的度数． 【答案】 【分析】先利用与求，再根据长方形对边平行的性质求，最后在中用内角和求，得到的度数． 【解析】，， ， ， ， ， ， ． 21．（8分）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是”的方法是________（请填写序号）； （2）在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】（1）①②③ （2） 当选择图①时， 证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ， 三角形的内角和为． 当选择图③时， 证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【解析】（1）①②③ （2）略 22．（8分）已知，c是的三边长． （1）已知，求c的取值范围； （2）若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【解析】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 23．（8分）如图，为的中线，为的中线． (1)，求的度数； （2）在中作边上的高； （3）若的面积为，则点到边的距离为多少？ 【答案】（1） （2）如图所示，线段即为所求 （3） 【分析】（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求的度数； （2）是钝角三角形，所以边上的高在的延长线上； （3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得的面积，再直接求点到边的距离即可． 【解析】（1）解：∵是的外角， ∴； （2）略 （3）解：∵为的中线，为的中线， ∴． ∵， ∴， 即， 解得． ∴点到边的距离为． 24．（12分）如图，已知是的角平分线，，垂足为．，相交于点，，试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理． 由对顶角相等可得，再根据垂直的定义可得，进而求得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得：． 25．（12分）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为，则的面积________； （2）当，时，求的度数． （3）若，的周长比的周长多，求的长度． 【答案】（1）10 （2） （3） 【分析】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长多，推出，即可求解． 【解析】（1）解：是的中线，的面积为， ； （2）解：，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； （3）解：是的中线， ， 的周长比的周长多， ， 则， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $