第十三章 三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学第十三章三角形高效培优单元卷，120分钟120分，覆盖三角形性质、全等、变换等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习强化需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|三边关系（第1题）、高的识别（第2题）、外角计算（第3题）|结合体育课侧压腿抽象几何（第6题），考查几何直观| |填空题|6/12|三角形形状判断（第13题）、中点面积（第15题）、七巧板拼图（第17题）|融入传统文化素材，培养空间观念| |解答题|8/72|角平分线性质（第19题）、平移应用（第20题）、动点与折叠综合（第25题）|设置探究性问题（第24题），发展推理能力与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章三角形（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 12 C C B B A B B B C D D B 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.等腰三角形 14.145°或35 15.2 16.80° 17.67.5° 45° 18.2202 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】(1)证明见解析：(2)54° 【解析】(1)证明：：AE平分∠CAB, ∠2=∠EAB, ∠2=180°-∠C-∠AEC=18 :∠2=∠3 .∠EAB=∠3 .DE∥AB: (2)解：设∠EAB=∠2=∠3=x, 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DF⊥AC, .∠ADF=90°， .∠2=180°-∠ADF-∠AFD=18°， .x=18°， :DE∥AB,AE平分∠CAB, .∠CDE=∠CAB=2x,∠CED=∠B, DF⊥CA,即∠CDF=90°， .∠1=∠CDF-∠CED=90°-2x, ∠1=∠B, .∠CED=∠B=90°-2x, ∴.∠B=90-2x=54° 20.【答案】(1)55°；(2)16 【解析】(I)解：：△ABC沿CB方向平移得到△DEF, .∠BAC=∠EDF=60° 又：∠ABC=65°， .∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-65°=55°. (2)解：，△ABC沿CB方向平移得到△DEF,AD=2, .DE=AB,BE=AD=2. :△ABC的周长为12， 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB+BC+AC=12. ∴.四边形ACED的周长=AC+CE+DE+AD=AC+BC+DE+BE+AD=12+2+2=16 21.【答案】(1)70°；(2)证明见解析 【解析】(1)解：：在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°. .∠B=180°-∠BAC-∠C=70°， .∠1=∠2， ∠APC=∠B+∠I=∠APD+∠2 ∴.∠B=∠APD, .∠APD=70° (2)·∠APC=∠I+∠B=∠APD+∠2， 且∠ADP=∠APD. ∴.∠1+∠B=∠2+∠ADP, :∠ADP=∠2+∠C, :.∠1+∠B=∠2+∠C+∠2， .∠1+∠B=2∠2+∠C. 又：∠B=∠C, .∠1=2∠2. 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.【答案】(1)30°，(2)120° 【解析】(1)解：：∠ABC=48°，∠C=72°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60°， BE⊥AC, ∴.∠AEB=90°， .∠ABE=180°-∠AEB-∠BAC=30°： (2)解：：∠BAC=60°，AD是∠BAC的角平分线， 片∠BAD=)∠BAC=30° 2 .∠AFB=180°-∠BAD-∠ABE=120°=∠EFD 23.【答案】(1)55°：(2)3 【解析】(1)解：，AD是△ABC的高， .∠ADB=90°， .∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°， :CE是△ABC的角平分线， 、,BE=∠ACB=亏×509=259 .∠AEC=∠ABD+∠BCE=55°： (2)解：：BF是△ABC的中线， 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF CF, :BC+BF+CF-(AB+AF+BF)=BC-AB=3 .△BCF与△BAF的周长之差为3. 1 ∠P=90°- ∠A 24.【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为 ，证明见解析：(2) 109° ∠P=90° ∠A 【解析】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为 2 证明：：BP,CP是∠CBF和∠BCE的角平分线， :∠PBC-CaF.PCB-BcE :2P=180-∠PBc-∠PcB=180-CBF-}BE=10-CBF+∠BCE) 又，∠CBF=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC, ∠P=180-(4+∠4C8+∠4+∠4BC)=180-080+∠0-=90-A ∴.“前进”小组的结论不成立，正确结论为 P=w-4 (2)解：如图，连接AP, 图3 ∠I=∠EAP+∠EPA,∠2=∠DAP+∠DPA, 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠I+∠2=∠EAP+∠EPA+∠DAP+∠DPA=∠EAD+∠EPD, 由折叠的性质得：∠EAD=∠EPD, .∠1+∠2=2∠EAD=76°， .∠EAD=38°， ∠BPC=90°+二∠EAD 由题干的结论得： :∠BPC=90°+)×38°=109 25.【答案】(1)124°，∠EMG=40°：(2)①∠ABD=2∠EAF,理由见解析：②∠EAF=24°或 ∠EAF=112° 【解析】(d解：…4% :.∠ABM=∠BAN,∠NAE=∠AED=50°， .∠BAD=24°，∠DAE=∠AED=50°， :.∠ABM=∠BAN=∠BAD+∠DAE+∠NAE=24°+50°+50°=124°， M /B D E (2)①∠ABD=2∠EAF,理由： % :.∠CAN=∠ABD,∠NAE=∠AED, 又，AF平分∠CAD, 6/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠DAF=∠C4F=∠CAD 2 :∠DAE=∠AED=∠NAE, :∠D1E=∠NME=(∠DAE+∠NAE)=)∠DAN .∠E4P=∠nF-∠DaE-CD-DAN-CIN--480 即∠ABD=2∠EAF: M/B D E ②当点D在点B右侧时，如图31所示， M /B D E 图3-1 1 ∠EAF=∠ABD 此时有 2 :∠ABM+∠EAF=156°， ∠ABM+∠ABD=156° 2 又：∠ABM+∠ABD=180°， 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠4BD=180°-156°=249 2 ∠EAF=24°： 当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图32所示： M /D BE 图3-2 ,AF平分∠CAD, ∠DAF=∠CAD .4 ∴.∠AED=∠NAE,∠CAN=∠ABE, :∠DAE=∠AED=∠NAE, A∠DiE=DAE+∠NME)-DN :∠EMF=∠DiF+∠D1E=2C4D+∠DMN）=(60-∠CN)=I80-<CN -18w-ABE ,∠ABE+∠ABM=180°， 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EAF180°-80°-∠ABM0)=90°+号∠ABM 2 又：∠EAF+∠ABM=156°， ∠EaF=0+56-∠BaF)=l68-EAF 2 ∴.∠EAF=112°： 当D、E均在B点左侧时，如图3-3所示： B E 图3-3 t时∠DiE-D4w,DP-<CD 2 ∠EMF=∠DAE+∠DAF=5∠DAN+5∠CAD-∠DAN+∠CAD)-(B60P-∠CAN) =180-号C4N=180-5080P-∠BN)=180-80-∠4M)-=0+54BM 又：∠EAF+∠ABM=156°， ∠EAF=90°+156°-∠EAE)=168°- ∠EAF 2 .∠EAF=112° 综上所述：∠EAF=24°或∠EAF=112°. 4的坐标为3,0，点B的坐标为0,6：(2)点P的坐 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC-∠ACB (3)结论① 2∠F 为定值，定值为1 【解析】山解：：b-6与Vb-a-3互为相反数， :lb-6+vb-a-3=0 b-6=0,b-a-3=0, 解得b=6,a=3, 点A的坐标为 3.0). 点B的坐标为(0,6)， (2)解：第三象限内有一个点C,点C到y轴的距离是到x轴距离的2倍， ·设点C的坐标为(2c,-c) ,点C到两坐标轴的距离之和为9， 2c+C=9,解得c=3, 点C的坐标为(6，-3) 作AG⊥CM于点G, y A M G A(3,0).B(0,6) 片5=5am+Sm+saa-Sm6s(6+3列+x6x3+3x3-×3x(6+3)-g. 10112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点P是直线CM上一点， ·设点P的坐标为，-3) 1 S.APC=8.Ac 2 ,2Me=5×t+6×3=1×63 22, 9 33 t= 解得2或2， 流“层空 (3)解：：∠AEB=∠ACB+∠EAC,∠AEB=∠ACB+∠BAE, .∠EAC=∠BAE, .AE是∠BAC的平分线， yA H A M 设∠EAC=∠BAE=x, .∠AEB=180°-∠ABC-x,∠AEB=∠ACB+x, :.∠ACB+x=180°-∠ABC-x, 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.2x=180°-∠ABC-∠ACB. FH⊥AE, :∠F=90°-∠HEF=90°-∠AEB=90°-（∠4CB+) :.2∠F=180°-2∠ACB-2x=180°-2∠ACB-180°+∠ABC+∠ACB=∠ABC-∠ACB. ∠ABC-∠ACB=1 2∠F ∠ABC-∠ACB ∴.结论①2∠F 为定值，定值为1. 12112 第十三章 三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若长度分别为3，6，m的三条线段能组成一个三角形，则m的值可以是（     ） A．2 B．3 C．6 D．10 2．如图，在中，，点D是上一点，，垂足为E，点F是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 3．如图，的外角平分线交射线于点D，E在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，是中边上的中线，E、F分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，的平分线，相交于点F，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 7．如图，，，点F在的反向延长线上，，记，，则与之间的关系为（     ） A． B． C． D． 8．用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 9．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，D是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点E落在上；②；③平分，结论正确的是（     ） A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确 11．如图，在三角形纸片中，，，点D在上且．若在上找一点E，将纸片沿折叠，点B落在点F处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 12．如图，在四边形中，平分交的延长线于点F，平分交的延长线于点E，与交于点P，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知a，c是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 14．若平面内两个角、的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且，则________． 15．如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 16．如图，长方形纸片中，E为边上一点，将纸片沿，折叠，点A落在点的位置，点D落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 17．七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“燕几图”演变而来，能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．某同学利用图1（外轮廓为正方形）中的部分图形拼成图2中的图形．若，则_____． 18．如图，在中，，的角平分线和外角的平分线交于，的平分线和外角的平分线交于，的平分线和外角的平分线交于，…，则__________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，平分，，． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 20．（8分）如图，将沿边向左平移得到． （1）若，，求的度数． （2）若的周长为12，，求四边形的周长． 21．（8分）如图，在中，点D、P分别在边、上． （1）若，，且，求的度数； （2）若，，试说明：． 22．（8分）如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点F，求的度数． 23．（10分）如图，的高、角平分线、中线相交于点O． （1）若，，求的度数； （2）若，求与的周长之差． 24．（10分）综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点P是和的角平分线的交点，则． 证明如下：∵，是和的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图2，若点P是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 （2）如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，求的度数． 25．（10分）已知：直线，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． （1）如图1，若，，直接写出的度数________； （2）射线为的角平分线． ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点D与点B不重合，且时，直接写出的度数． 26．（10分）在平面直角坐标系中，点、是坐标轴上的点，且与互为相反数． （1）求A、B的坐标； （2）如图1，第三象限内有一个点C，点C到y轴的距离是到x轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和为9．过点C作轴交y轴于点M，点P是直线上一点，当时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，线段上存在点E，满足，线段延长线上存在一动点F，过点F作于点H．下列结论：①为定值；②为定值．请选择你认为正确的结论，求出该定值． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十三章三角形（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.若长度分别为3,6，m的三条线段能组成一个三角形，则m的值可以是( ) A.2 B.3 C.6 D.10 【答案】C 【解析】解：，三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， .6-3<m<6+3, 即3<m<9, 选项中只有6满足3<m<9. 2.如图，在RtAABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，DE⊥AB,垂足为E,点F是AB上一点， 连接DF,且DF⊥BC,下列说法中不正确的是() A.线段DE是△ABD中AB边上的高 B.线段DE是△ADF中AF边上的高 C.线段DF是△ABD中BD边上的高 D.线段AC是△ABD中BD边上的高 【答案】C 【解析】解：A.线段DE是△ABD中AB边上的高，正确，不符合要求： B.线段DE是△ADF中AF边上的高，正确，不符合要求： C.线段DF是△BDF中BD边上的高，不是△ABD中BD边上的高，原说法错误，符合要求： D.线段AC是△ABD中BD边上的高，正确，不符合要求， 1/32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，△ABC的外角平分线AD交射线BC于点D,E在BA延长线上，若∠B=35°，∠DAE=60°， 则∠ACD的度数为() E A A.85° B.95° c.100° D.105° 【答案】B 【解析】解：，AD平分∠CAE,∠DAE=60°， .∠CAE=2∠DAE=120°， ∠BAC=180°-∠CAE=60°， .∠ACD=∠B+∠BAC=35°+60°=95° 4.如图，AD是△1BC中边BC上的中线，尽、F分别是B、MD的中点，若△1C 的面积为12cm2 则△DEF的面积是() D 1cm2 A 6cm2 B 3cm2 c.1.5cm2 D 【答案】B 【解折】解，：1D是△1BC中BC边上的中线，△1CD 的面积为 2cm2 2/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷SiBo=12cm2 :点E是线段AB的中点， .-ocm ,点F是线段AD的中点， S.o.3cm 3/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠DFE=120°， ∠ACB=80°∠BDC ,则 的度数为（) A D B A.100° B.95° C.90° D.85° 【答案】A 【解析】解：：CD平分∠ACB,∠ACB=80°， 1 ∠BCD=-∠ACB=40° .·∠BFC=∠DFE=120°. ∴.在△BFC中，由三角形内角和可得∠CBF=180°-∠BFC-∠BCD=20°， :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE=20°， .∠DFE=∠ABE+∠BDC, .∠BDC=∠DFE-∠ABE=100°， 6.体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1=120°，则∠2的度数是 4/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 侧压腿式 图1 图2 A.20° B.30° C.40° D.120° 【答案】B 【解析】解：由题意可得：∠2=∠1-90°=120°-90°=30° 5/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 ∠GAE=二∠EAB ∠GCF=3∠FcD 7.如图，AB∥CD, ,点F在AE的反向延长线上， 2 ,记 ∠G=a,∠F=B.则“与P之间的关系为() ,则 2 3 2a+33=180° Q= 2B-a=180 B-a=90° B. C.2 D 【答案】B 【解析】解：如图，反向延长AB与CG交于点M,CG与EF交于点N, G E B <GAB=3∠BAB∠GCr 3∠FCD 令∠EAB=2x∠FCD=2y 则<GME=3x,∠GCF=3y ∠GCD=2y+3y=5y AB∥CD 6/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BMC=∠GCD=5y :∠BMC=∠G+∠GAM, ÷5y=a+180-5x 则r+y=Q+1800 5, .∠GNA=∠CNF, :.180°-∠GNA=180°-∠CWF, :.∠F+∠FCG=∠G+∠GAF, :.B+3y=a+180°-3x :x+y=a-B+1800 3 a+180°a-B+180° .5 B-a=180° 整理得：2 8.用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A,E,C,F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°， ZB=60°，∠F=45°.当AD/BC时.∠GDF 时， 的大小为() D E A.80° B.75° C.70° D.65° 7/32 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 【答案】B 【解析】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°， .∠BCA=90°-60°=30°， :AD∥BC, ∴∠EAG=∠BCA=30°， 在Rt△ADF中，∠F=45°，∠EAG=30°， .∠ADF=180°-∠DAF-∠F=105°， .∠GDF=180°-∠ADF=75°. 9.将一副分别含30°角和45°角的直角三角板按如图所示方式摆放，∠B=∠F=90°，点D在AB边上， 保持点D位置不动，将△DEF绕点D旋转，始终保持DE边与BC边相交，则∠I和∠2的数量关系是( 45 30>E A.∠1+∠2=75° B.∠1+∠2=90° C.∠1-∠2=30° D.∠1-∠2=30° 【答案】C 【解析】解：如下图所示，在△DEF中，∠E=30°，∠F=90°， .∠FDE=60°， :.∠1+∠3=180°-60°=120°， 8/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠3=120°-∠1， :∠B=90°， .∠2+∠3=90°， .∠2+120°-∠1=90°， .∠1-∠2=30° 45 30>E D 3 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，D是边AB上的一个动点，连接CD,当CD为 ∠ACB ACDB CD △CDE AC 的平分线时，将 沿着翻折，得到 如下结论：①点五落在心上：② DE⊥ACDE∠ADC ③ 平分 ,结论正确的是(） C E D 夕 A.①②正确 B.②③正确 C.①③正确 D.①②③都正确 【答案】D 【解析】解：在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°， ,∠ACB=90°-∠A=60°， 9/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD=∠BCD=∠ACB=30 当CD为∠ACB的平分线时， 2 由翻折得∠ECD=∠BCD=30°， .∠ECD=∠ACD=30°， “点B落在AC上，故①正确： C E D B 由翻折得∠CED=∠B=90°， 由①知点E落在AC上， :DE⊥AC,故②正确： ,∠ECD=∠A=30°，∠AED=∠CED=90°， ∴.∠ADE=∠CDE=60°， :.DE平分∠ADC,故③正确. BD<T4B 11.如图，在三角形纸片ABC中，∠B=20°，∠C=60°，点D在AB上且 . 若在BC上 找一点E,将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，EF恰好与三角形ABC的一边平行，则满足所有平行条 件的∠BDE度数为() 10132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.40°或80° B.50°或130° C.50°或80°或130°D.40°或80°或130° 【答案】D 【解析】解：当AC∥EF时，如图，则∠FEG=∠C=60°， 由折叠性质得：∠BED=∠DEF, .∠BED=080°+∠GEF)=2180°+60)=120° 则∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-20°-120°=40°， 当AB∥EF时，如图，则∠FEC=∠B=20°， B 由折叠性质得：∠B=∠F=20°，∠BED=∠DEF, 1 ∠DEF=二×(180°-20)=80° AB∥EF, .∠BDE=∠DEF=80°， 当AC∥EF时，如图，则∠FEB=∠C=60°， 11/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BED=1∠BEF=1∠C=30 2 :.∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-20°-30°=130°， 综上，∠BDE的度数为40°或80°或130°. 12.如图，在四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC的延长线于点F,DE平分∠ADC交CB的延长 线于点E,AF与DE交于点P,∠I与∠2互余，下列说法：①AB∥CD:②AF⊥DE:③若 ∠ABE=10°，则22=40°，③若∠1BC=22E,则1=2F ,则 ④若 ,正确的是() E A B 不2 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【解析】解：AF平分∠BAD,DE平分∠ADC, :A=∠DMr=<BAD.2=ADE=∠ADC 2 2 ∠1+∠2=90°， :∠BAD+∠ADC=2(A+∠2)=180° .ABI∥CD,∠PAD+∠ADP=90°， .AF⊥DE, .①②正确， 12132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若∠ABE=100°，则∠BCD=100°，题目中没告知AD与CB的位置关系， ∴.无法求出∠2的大小 若∠ABC=2∠E, ·ABI/CD, .∠ABC=∠DCF=2∠E, .∠DCF=∠E+∠2， .∠2=∠E, :∠2=∠ADE ∴.∠ADE=∠E, AD∥EF, .∠DAF=∠F, ∠1=∠DAF, ∴.∠1=∠F, ④正确. 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.) 1B.已知a,c是△1C的两边，且满足-c=0,则4MBC 的形状一定是 【答案】等腰三角形 【解析】解：，a,c是△ABC的两边， ∴.a>0,c>0, a2-c2=0 2-c2 ..a=c, :.△ABC的形状一定是等腰三角形. 13132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.若平面内两个角∠A、∠B的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且∠A=55°，则∠B= 【答案】145°或35 【解析】解：分两种情况讨论： (1)当∠A的一边与∠B的一边平行，另一边互相垂直，得到钝角∠B时： C E B D BD∥AF,∠A=55°， .∠EGB=∠A=55°， 又，另一边互相垂直，即∠E=90°， .∠EBC=90°+55°=145°： (2)当∠A的一边与∠B的一边平行，另一边互相垂直，得到锐角∠B时： E 6 D :AD∥BC,∠A=55°」 .∠FEB=∠A=55°， 又，另一边互相垂直，即∠F=90°， .∠B=90°-55°=35°， 14132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上可知，∠B=145°或35°」 15.如图，D、E、F分别为AC、BD、AE的中点，△ABC的面积是8，则图中阴影部分的面积等于 【答案】2 【解析】解：，点D为边AC的中点， S.BCD=S.= ≥SBC=二×8=4 2 1 1 Sam-28w=2x4=2,S.m=25m-2 1 1 ×4=2 同理可得： S.4EC=S,ECD+S.4D=2+2=4 :点F为边AE的中点， 1 1 5.c2a-2×4=2 即：阴影部分的面积为2 16.如图，长方形纸片ABCD中，E为边AD上一点，将纸片沿EB,EC折叠，点A落在点A的位置， 点D落在点D'的位置（点A'在点D'右侧），若∠A'ED'=20°，则∠BEC= A 15132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】80° 【解析】解：设∠HEB=x,∠DEC=y 则∠A'EB=x.∠D'EC=y .∠AED'=20°， :∠BED=x-20°∠CEA=y-20 ∠BEC=180°-∠AEB-∠DEC=180°-x-y ∠BEC=∠BED'+∠A'ED'+∠CEA'=x-20°+20°+y-20°=x+y-20° :1809-x-y=x+y-20 x+y=100° 化简得 ∠BEC=x+y-20°=80° 17.七巧板是我国一款传统的益智玩具，由宋朝的“燕几图”演变而来，能够启迪智慧，陶冶情操.七巧 板是由五块含45°角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的.某同学利用图1（外轮廓为正 方形)中的部分图形拼成图2中的图形.若∠1=∠2，则∠3=一 → 图1 图2 【答案】67.5° 16132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】解：如图2所示，由图1得∠BCD=180°-45°-90°=45°， B3 图2 :∠1=∠2，∠1+∠2+∠BCD=180°. .∠1=∠2=67.5°， :∠A=45°， .∠ABC=180°-∠A-∠1=67.5° .∠3=∠ABC=67.5° 18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分线和外角∠CBD的平分线交于乃，∠R4B 的平 ∠PBD 分线和外角 的平分线交于B,∠BAB 的平分线和外角 ∠PB 的平分线交于乃，，则 ∠P3026= P P2 B 45° 【答案】2202 【解折】解：：∠C1B的平分线和外角∠CBD的平分线交于， 17132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠PBD-CBD.RAD=C4B 2 2 :∠R=∠PBD-∠R4D=(2C8D-∠CMAB)=C 同理可得： 8-n-)c. 026 45° 依此类推， c-) ×90°= 22025. 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(8分)如图，AE平分∠BAC,∠2=∠3，∠1=∠B. 3 (1)请说明：DE∥AB: (2)若DF⊥AC,∠DFA=72°，求∠B的度数. 【答案】(1)证明见解析；(2)54 【解析】(1)证明：，AE平分∠CAB, ∴.∠2=∠EAB, ∠2=180°-∠C-∠AEC=18° :∠2=∠3， 18132 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠EAB=∠3， ∴DE∥AB: (2)解：设∠EAB=∠2=∠3=x, :DF⊥AC, .∠ADF=90°. .∠2=180°-∠ADF-∠AFD=18°， x=18°， DE∥AB,AE平分∠CAB, .∠CDE=∠CAB=2x,∠CED=∠B, :DF⊥CA,即∠CDF=90°， .∠1=∠CDF-∠CED=90°-2x, ∠1=∠B, .∠CED=∠B=90°-2x, .∠B=90-2x=54°. 20.(8分)如图，将△ABC沿边CB向左平移得到△DEF. D B (1)若∠ABC=65°，∠EDF=60°，求∠C的度数. 19132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若△ABC的周长为12，AD=2,求四边形ACED的周长. 【答案】(1)55°，(2)16 【解析】(I)解：：△ABC沿CB方向平移得到△DEF, .∠BAC=∠EDF=60°. 又，∠ABC=65°， .∠C=180°-∠B4C-∠ABC=180°-60°-65°=55° (2)解：：△ABC沿CB方向平移得到△DEF,AD=2, ∴.DE=AB,BE=AD=2. :△ABC的周长为12， .AB+BC+AC=12. ∴.四边形ACED的周长=AC+CE+DE+AD=AC+BC+DE+BE+AD=12+2+2=16 21.(8分)如图，在△ABC中，点D、P分别在边AC、BC上. (1)若∠BAC=50°，∠C=60°，且∠1=∠2，求∠APD的度数： (2)若∠B=∠C,∠ADP=∠APD,试说明：∠1=2∠2 【答案】(1)70°：(2)证明见解析 20132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)解：：在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°， .∠B=180°-∠BAC-∠C=70°， ,∠1=∠2. ∠APC=∠B+∠I=∠APD+∠2 .∠B=∠APD, .∠APD=70°. (2)·∠APC=∠I+∠B=∠APD+∠2， 且∠ADP=∠APD. .∠1+∠B=∠2+∠ADP, :∠ADP=∠2+∠C, :.∠1+∠B=∠2+∠C+∠2. .∠1+∠B=2∠2+∠C. 又：∠B=∠C, .∠1=2∠2」 22.(8分)如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC=48°，∠C=72°. B (1)求∠ABE的度数： (2)若AD是∠BAC的角平分线，AD交BE于点F,求∠EFD的度数. 21132 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 【答案】(1)30°：(2)120° 【解析】(1)解：：∠ABC=48°，∠C=72°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60° BE⊥AC, ∴.∠AEB=90°， .∠ABE=180°-∠AEB-∠BAC=30°： (2)解：：∠BAC=60°，AD是∠BAC的角平分线， 片∠BAD=)∠B4C=30° 2 .∠AFB=180°-∠BAD-∠ABE=120°=∠EFD 23.(10分)如图，△ABC的高AD、角平分线CE、中线BF相交于点O. (1)若∠ACB=50°，∠BAD=60°，求∠AEC的度数； (2)若BC-AB=3,求△BCF与△BAF的周长之差. 【答案】(1)55°：(2)3 【解析】(I)解：：AD是△ABC的高， .∠ADB=90°， 22132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°， :CE是△ABC的角平分线， ∠BCE=∠ACB=x50=25° .∠AEC=∠ABD+∠BCE=55°： (2)解：：BF是△ABC的中线， .AF=CF. :BC+BF+CF-(AB+AF+BF)=BC-AB=3 :.△BCF与△BAF的周长之差为3. 24.(10分)综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用. 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动.“前进” 小组得到了一个结论：己知△ABC,如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则 ∠P=90°+∠A 2 证明如下：BP,CP是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∠Pac-4c.∠rB4ce 2 :.∠A+2(∠PBC+∠PCB)=180° :.∠PBC+∠PCB=90-1∠A 21 23132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2P=180-(2Pac+2ca)=1s0-(0-A=0+A 图1 图2 图3 【问题解决】 (1)如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立， 给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明. 【拓展创新】 (2)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P 重合，若∠1+∠2=76°，求∠BPC的度数. ∠P=90°-1 ∠A 【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为 ，证明见解析：(2)109° ∠P=90°-1 ∠A 【解析】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为 证明：：BP,CP是∠CBF和∠BCE的角平分线， ∠PBc=CBF.∠PCB-/8CE .2P=180-∠PBc-∠PCB=180P-CBF-∠BCE=180P-CaF+∠BCE)】 又'∠CBF=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC, 24132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠P=180-（24+∠4C8+∠4+∠48C)=180-080+∠0=90-号4 ,“前进”小组的结论不成立，正确结论为 P=90°-1 (2)解：如图，连接AP, 图3 .∠I=∠EAP+∠EPA,∠2=∠DAP+∠DPA, :.∠I+∠2=∠EAP+∠EPA+∠DAP+∠DPA=∠EAD+∠EPD. 由折叠的性质得：∠EAD=∠EPD, .∠1+∠2=2∠EAD=76°. ∴.∠EAD=38°， ∠BPC=90°+∠EAD 由题干的结论得： 2 ∠BPC=90°+三×38°=109° 25。(10分)已知：直线/4，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点，点℃在线段BA的 延长线上.D,E为直线？上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD,AE,满足∠AED=∠DAE 点M在上，且在点B的左侧. 25132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M /BD 图1 图2 (1)如图1，若∠BAD=24°，∠AED=50°，直接写出∠ABM的度数： (2)射线AF为∠CAD的角平分线. ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明： ②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF=156°时，直接写出∠EAF的度数. 【答案】(1)124°，∠EMG=40°：(2)①∠ABD=2∠EAF,理由见解析：②∠EAF=24°或 ∠EAF=112° 【解析】()解： .∠ABM=∠BAN,∠NAE=∠AED=50°， :∠BAD=24°，∠DAE=∠AED=50°， ∴.∠ABM=∠BAN=∠BAD+∠DAE+∠NAE=24°+50°+50°=124°. M /B D E (2)①∠ABD=2∠EAF,理由： 4W% .∠CAN=∠ABD,∠NAE=∠AED, 26132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：AF平分∠CAD, :∠DAF=∠CAF= ∠CAD .'∠DAE=∠AED=∠NAE, :∠D1E=∠NME=(DME+∠NME)-=2DAN 即∠ABD=2∠EAF: M/BD E ②当点D在点B右侧时，如图31所示， A M /B D 图3-1 ∠ABD 此时 ∠EAF=I 2 :∠ABM+∠EAF=156°. :∠ABM+∠ABD=156 又：∠ABM+∠ABD=180°， 27132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠4BD=180°-156°=249 2 ∠EAF=24°： 当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图32所示： M /D BE 图3-2 ,AF平分∠CAD, .44 ∴.∠AED=∠NAE,∠CAN=∠ABE, :∠DAE=∠AED=∠NAE, A∠DiE=DAE+∠NME)-DN :∠EMF=∠DiF+∠D1E=2C4D+∠DMN）=(60-∠CN)=I80-<CN -18w-ABE ,∠ABE+∠ABM=180°， 28132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF=180°- 08w-48W)=w+4aM 又：∠EAF+∠ABM=156°， ∠EaF=0+56-∠BaF)=168-EAr 2 ∴.∠EAF=112°： 当D、E均在B点左侧时，如图3-3所示： B M布 E 图3-3 t时∠DiE-D4N,DaP-<CD 2 ∠EMF=-∠DAE+∠DAF=∠DAN+5∠CAD-(∠DAN+∠CAD)-660°-∠CAW) =180-号C4N=180-5080P-∠BN)=180-80-∠4M)-=0+54BM 又：∠EAF+∠ABM=156°， ∠EAF=90°+156°-∠EAF)=168°- -∠EAF .∠EAF=112° 综上所述：∠EAF=24°或∠EAF=112°. 26.(10分)在平面直角坐标系中，点1(a,0、B(0,6)是坐标轴上的点，且b-6与Vb-a-3互为相 反数. 29132 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A OL M (图1) (备用图) (1)求A、B的坐标： (2)如图1，第三象限内有一个点C,点C到y轴的距离是到x轴距离的2倍，且到两坐标轴的距离之和 过点c作CMx轴交y轴于点M,点P是直线CM上一点，当S 2SC时，求点P的坐标， (3)在(2)的条件下，线段BC上存在点B,满足∠AEB=∠ACB+∠BAE,线段BC延长线上存在一 ∠ABC-∠ACB ∠ABC+∠ACB 动点F,过点F作FH⊥AE于点H.下列结论：①2∠F 为定值；② 2∠F 为定值. 请选择你认为正确的结论，求出该定值。 【嘴1直4约标为很.太阴标为Q:直Pm生5为？空- ∠ABC-∠ACB (3)结论① 2∠F 为定值，定值为1 【解析】)解：：b-6与b-a-3互为相反数， :lb-6+Vb-a-3=0 .b-6=0,b-a-3=0, 解得b=6,a=3, 30132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A的坐标为 (3,0) 点B的坐标为 0,6) (2)解：第三象限内有一个点C,点C到y轴的距离是到￥轴距离的2倍， ·设点C的坐标为（2c,-c) ,点C到两坐标轴的距离之和为9， .2c+C=9,解得C=3, 点C的坐标为6，-3) 作AG⊥CM于点G, B队 A M G 4(3,0).B(0,6) 片c-Sam+Sm+iaw.6(6+9)r6x3+3x33x6+3-g。 1 :点P是直线CM上一点， ÷设点P的坐标为6，-3) 5.c =1 -25uc 1 1.63 -×t+6×3= 2 22, 9 33 t=- t=- 解得2或2， 31132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：：∠AEB=∠ACB+∠EAC,∠AEB=∠ACB+∠BAE, .∠EAC=∠BAE, ∴，AE是∠BAC的平分线， B M 设∠EAC=∠BAE=x, .∠AEB=180°-∠ABC-x,∠AEB=∠ACB+x, .∠ACB+x=180°-∠ABC-x :.2x=180°-∠ABC-∠ACB, FH⊥AE, :∠F=90°-∠HEF=90°-∠AEB=90°-（∠ACB+x) .2∠F=180°-2∠ACB-2x=180°-2∠ACB-180°+∠ABC+∠ACB=∠ABC-∠ACB, ∠ABC-∠ACB =1 .2∠F ∠ABC-∠ACB .结论① 2∠F 为定值，定值为1. 32132