四川南充市仪陇中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

仪陇中学2025-2026学年度上期第一次月考 高二数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.在空间直角坐标系Oxz中，点P2,3,4)关于平面Oxy对称的点P'的坐标是() A.P'(-2,3,4) B.P(2,-3,4) C.P'(2,34) D.P'(-2,-3,4) 2.样本数据6,8,4,5,12,10的中位数为（) A.5 B.6 C.7 D.9 3.某班级有50名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这50名学生中抽取8人进行家访，则同学被 抽到的可能性为() 4 1 A.25 B. C.25 2 D. 8 4.如图，在空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC中点，则 MN=() 2 A. C. a+5 2 3 5.已知向量ā=（-2,4,1)与b=(2,m,-1)的夹角为钝角，则m的值可以是() A.-4 B.-2 C.2 D.4 6.一组递增数据x,x2,x3,x4,x的平均数为3，方差为4，极差为6，若y,=2x,+1(i=1,2,3,4,5),则() A.,y2,3,y4,y的极差为10 B.,2,y3,y4,的方差为8 C.x,x2,x3,x4,x的第80百分位数为x4 D.,y2,3,y4,的平均数为7 7.从1,2,3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为X,剩余的数记为Y,则P(X>Y)=() A.1 B号 c.3 D.0 8.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=V5,AD=BC=VI0,AC=BD=VI3,则D到平面ABC的距离为() A.g 12 B.7 C.4 2 D.V14 3 试卷第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并 记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数 字之和为奇数”，则下列结论正确的是() AP叫)4 B.事件A与事件B互斥 C.事件A与事件B相互独立 D.P(4UB)=3 4 10.关于空间向量，以下说法正确的是() A.若两个不同平面a,B的法向量分别是i,i,且i=(1,2,-2),=(2,1,2)则a⊥B B.若直线1的方向向量为e=L0,3),平面a的法向量为n-（-2.0写引，则直线1/a C.若对空间中任意一点0，有OP=0A+0B+oC,则P,4,B,C四点共面 D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 1.已知正方体ABCD-4BCD外接球的体积为5π，点P满足BP=1BC+uBB,其中元e[0,1u0,], 2 则下列命题正确的是() A.若4P=V2，则点P轨迹的长度为 0 21 B.若点P在线段BC上（不包括端点），则，+。，的最小值为4 B 24 C.当μ=1时，三棱锥P-DBC的体积为定值 D D.当元-时，有且仅有一个点P,使得4PL平面BP 第I工卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知空间两点A(2,-1,4),B(-4,5,-2),且AP=2PB,则点P的坐标为 13.已知OA⊥AB,若OA=(1,1,0),则OAOB= 14.甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时 比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛已知每局比赛甲获胜的概率为？，乙获胜的概 率为了，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为」 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是4，b,c,且(a+c+b)(a+c-b)=3ac (1)求角B的大小： (2)若A=45°，b=V6,求aABC的面积 16.随着自动驾驶技术的发展，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近 一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为(60,70]， (70,80],(80,90],(90,100).已知样本中评分在(70,80内的快递车比评分在(60,70内的快递车多40辆. (1)求a,b的值： ◆频率/组距 (2)现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为0.040 A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线： (3)为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行 0.010 比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进 行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率. 060708090100评分1分 17.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，∠AAD=∠AAB=∠BAD=60°，AB=2,AD=AA=1,点P为 线段BC中点 D (1)求AB: (2)求AB·DP 试卷第3页（共4页） 18.为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球.先由其中一人投篮，若投篮 不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结 束，且此人获胜.经过抽签决定，甲先开始投篮，已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为3 且两人每次投篮的结果均互不干扰. (1)求甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 19.在三棱锥P-ABC中，等边三角形PAB的边长为2，BC=4,AB⊥AC,点E为BC的中点，设二面角 D-AB-C,P-BC-A的平面角分别为a,Ba0,》 (1)证明：AB⊥PE: (2)当a=无时，求直线CP与平面PAB夹角的正弦值： 3 A. 1+ 1 (3)求4ana+ang的最小值. E 试卷第4页（共4页）《仪陇中学2025-2026学年度上期第一次月考》参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 C A B D B B CD ACD 题号 11 答案 AC 1.C 【详解】点P(2,3,4)关于平面Oxy对称的点P的坐标是P'(2,3,4) 2.C 【详解】将数据6,84,512,10从小到大排列为：4,56810,12，故这组数据的中位数为6+8=7。 2 3.A 【详解】总体有50个个体，每个个体被抽到的概率相同，故同学口被抽到的可能性为05 84 4.B 【详解】MW=M++丽-oi+(o丽-0网列+oc-0丽=子a++ 2 c故选：B 5.C 【详解】由向量=（-2,4,1)与b=(2,m,-1)的夹角为钝角， 「-4-4m-1<0 则ab<0,且a与b不反向， 即 m≠4 4且m≠4， ，解得m> 所以结合各选项，m的值可以是2. 6.D 【详解】对于A,已知原数据的极差R=x,一x=6, 新数据的最大值yax=2x+1,最小值ymm=2x+1, 则新数据的极差R,=ymx-ymm=(2x,+)-(2x+1)=2(x-x)=2R=12,故A错误， 对于B,新数据的方差s=2×S=4×4=16,故B错误， 对于C,5×80%=4,故x,6,西，x,x的第80百分位数为+3，故C错误， 2 对于D,新数据的平均数=2x+1=2×3+1=7,故D正确. 7.B 【详解】从1,2,3中随机抽取2个不同的数，共有3种等可能的情况： ①抽取1,2，则X=1+2=3,剩余数为3，此时X=Y: ②抽取1,3，则X=1+3=4,剩余数为2，此时X>Y: 答案第1页（共7页） ③抽取2,3，则X=2+3=5,剩余数为1，此时X>Y; 在总共3种等可能的情况中，满足X>Y的情况有2种，因此PX>)=召 8.B a2+b2=13a=3 D 【详解】令长方体长、宽、高分别为a,b,c由图的{2+c2=5,b=2 a2+c2=10c=1 由图可得：A(0,0,0),B(2,0,1),C(2,3,0),D(0,3,1), AB=(2,0,1),AC=(2,3,0),AD=(0,3,1) AB=02x+z=0 令平面ABC法向量i=（x,y,z),所以： n.AC=02x+3y=01 所以万=(3，-2,6) 点D到平面ABC的距离即AD在i=(3,-2,6)投影向量的模长， AD.n h= -6-6=12 2 7 所以点D到平面ABC的距离为 9.CD 【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1,2,3,4四个基本事件， 则P利=子分A不正： 事件B含有的基本事件有8个：(1,2)，（1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(（3,4)，(4,1)，（4,3) 其中事件(2，)，(2,3)，（3,2)，(3,4)发生时，事件A也发生，即事件A,B可以同时发生，B不正确： 跳宽西面体木头阿次的有类本什有16个，P(国=高-方，P(倒-名-P(利P(),即半作A 与事件B相互独立，C正确； P4U=P小+P-P子DE险放选：m 10.ACD 【详解】对于A,V=2+2+(-2)×2=0,所以iL立，A正确： 对于B,e.n=-2+0+2=0,所以e⊥n,则直线l11a或者lca,,B错误； 对打c,对空同任意点0.有0吓=0i+丽+0C,满起好行1，别，4B,c月点共面， 4 2 可知C正确： 对于D,两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确 故选：ACD. 答案第2页（共7页） 11.AC 【详解】由正方体ABCD-4BCD外接球的体积为V 3 设正方体外接球的半径为R,则R=5,解得R=5 D E B 设正方体的棱长为a,则√5a=2R=V5,解得a=1, 对于A,因为点P满足BP=BC+uBB,可得点P在平面BCCB上， E 在直角△ABP中，由AP=V2,可得BP=√AP2-AB2=1, B 所以点P的轨迹为以B为圆心，1为半径的4圆弧， 故点P的轨迹的长度为×2×1=子所以A正确， 对于B,若点P在线段BC上（不包括端点），则2+4=1，其中九>O,4>0, 动受+品+ 当且仅当货20即A-子4 2= 3“=3时等号成立，所以 元十2的最小值为？，所以B错误： 21 对于C,当4=1时，点P在棱BC上运动， 此时%c=A度8度×0G-k1x1-名为定值，所以c正确： 32 6 对于D,当1=2时，如图，E,E分别是BC,BG的中点，点P在线段E码上运动， 建立如图所示的空间直角坐标系，则4LQ,)A(,).P2 可得4F=（LA-小P-（20- 因为4p-aP-(x(+u-=4+u-0, 所以AP与BP不垂直，所以不存在点P,使得AP⊥平面ABP,所以D错误， 12.（-2,3,0) 【详解】设点P的坐标为(x,y,z),AP=2PB,则(x-2,y+1,z-4)=2(-4-x,5-y,-2-z), [x-2=-8-2x [x=-2 y+1=10-2y,解得y=3 z-4=-4-2z z=0 13.2 【详解】因为0A1AB,所以0A.AB=0,由题意0A:0B=0A-(OA+AB)=(OA+0A.AB=1+1+0+0=2. 答案第3页（共7页） 故答案为：2 14.81 40 )3 【详解】①当甲3：0获胜时，获胜的概率为 8 279 ②当甲4：1获胜时，则乙只能在前三局获胜一局，有三种可能，则甲获胜的概率为3× 2 .116 3 ×381 综上所述：比赛结束时甲获胜的概率为27+818 8,1640 15.0)B=60.(2)3+3 2 【详解】(1)由已知(a+c+b)(a+c-b)=3ac,整理得a2+c2-b2=ac, 由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB→a2+c2-b2=2 accosB, 所以2aB=e,因为ac>0,所以eosB7又Be0,小.所以B=-60心 (2)因为A=45°，b=V6,由(1)知B=60°，则C=180°-A-B=75°， imng得a=s46s咖45v6. 由正弦定理a=b sin B sin60°=- 2=2, 2 sin75=sin(45+30)=sin45 cos30+cos45'sin30 4 房以8mbnc-x2x6xn75-345 2 16.(1)a=0.015,b=0.035.(285分.3) 3 【详解】(1)由直方图的数据得10(a+b+0.04+0.01)=1→a+b=0.05①， 由评分在(70,80的快递车比(60,70内的多40辆，得200×10×b-200×10×a=40,解得b-a=0.02②， 联立①②，解得a=0.015,b=0.035 (2)达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数.从低分段累计频率： 0.50<0.70,0.50+0.40=0.90>0.70,第70百分位数落在(80,90区间， 设分数线为，则0,50+-80x0.40=0.70,解得x=85,估计1等车的分数线为85分. 10 (3)分层抽样：评分超过80分的车辆=(80,90]组80辆，+(90,100]组20辆=100辆. 按比销5制：s09则组：0×5=4销，(o010o0组：0x5=1销 编号：将(80,90]组4辆车记为A,A2,4,A4:(90,100组1辆车记为B 答案第4页（共7页） 列举所有等可能基本事件(5选2，无序)： 用列表法穷举： A A B A A A 共10种等可能基本事件， 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自(80,90]组，不含B): (A42),（A4),（A4),（A2,4),（424),（A4)共6种， 两车评分均不超过90分的概率：P=6=3, 105 1.a7:e} 【详解】(1)设4B=a,AD=方，A4=c,这三个向量不共面，{a,,C构成空间的一个基底， 则日-2，月-日-l,(a,）=(a,c)=6,c=60°，因为aB=B+a4=a+c, 所以a-a+d=后+c2+2ae=4+12x2x1x)-万 (2)由(1)可知A8=a+c,同理可得，Dp=D4+4A+B+B驴=6+(-c)+a+)6=a-)五-c 2 2 所以4瓜-nr(a+da-6-e=a-a6-ac+ac-bc-d=d-a-6-b.c-d 4111三<· 24 1 49 18.(1四12(2162 【详解】(1)若甲、乙投篮总次数为2次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为3次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 两以=-》对区 若甲、乙投篮总次数为4次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 答案第5页（共7页） 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件A,则PA=R+B8+362一 所以甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率为 2 (2)若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中2次，则概率B=)×,) 224: 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲拉中第次，第=次甲未权中，乙投中多3、4次，则B-》写6 _1xIx1-1 ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则---- ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则-》a 益上可得比滨结夜味甲鸭可数了2次的版本P-+公+月+只-站+高品 19. 【详解】(1)证明：(1)设AB的中点为O,连接OP、OE,则OE11AC, 因为三角形PAB为等边三角形，所以AB⊥OP, 又因为AB LAC,所以AB⊥OE, 又因为OP∩OE=O,OP、OEc平面OPE, 所以AB⊥平面OPE,又因为PEC平面OPE,所以AB⊥PE; (2)过点P作OE的垂线，设垂足为M, 由(1)得，AB⊥平面OPE,由PMc平面OPE,所以AB⊥PM, B 又因为PM⊥OE,AB∩OE=O,AB、OEc平面ABC, 所以PM⊥平面ABC,则∠POM=a= 3 以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 设平面PAB法向量n=(x,y,2）, 答案第6页（共7页） [2x=0 i·AB=0 则 即 AP=0 +2y+32=01 3 2 取y=,可得x=0,z=-1,即得i=(0,5,-, n.CP310 设直线CP与平面PAB夹角为0，则sinO= CP 10: (3)过点M作BC的垂线，设垂足为F,连接PF, 由PM⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以PM⊥BC, 又因为MF⊥BC,PM∩MF=M,PM、MFc平面PMF, 所以BC⊥平面PMF,又PFc平面PMF,所以PF⊥BC,故∠PFM=B, 则PM=√3sinu,OM=√3cosa,ME=OE-OM=V3-√3cosa, MF=ME=5-5 cos,n B=PM=2sina 2 2 MF 1-cosa 1+1cosa1-cosa_2-cosa tanatan B4sina 2sina 4sina 因为N5sna+oas&=2na+君}2，所以2-osa≥5sna. 又因为a0}sma>02o2之v5, sina 所以、1 2-cosa≥3 4 tang tan。4sng4当且仅当cx=3时等号成立 即4na十anp的微小值为5 1+1 答案第7页（共7页）