精品解析：四川省成都华西中学2026-2027学年高二上学期10月定时训练数学试题

成都华西中学2026-2027学年上期高二10月定时训练 数学 一、单选题（40分） 1. 样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】样本容量为6，，所以下四分位数为第二个，即下四分位数为8. 2. 下面情况中，更适合用抽样调查的有（ ） ①某学校全体学生体质健康检测 ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查 ④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质 ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A. ②③④ B. ②③⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ③⑤⑥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查与全面调查（普查）的适用条件，判断各情况适合的调查方式即可. 【详解】①某学校全体学生体质健康检测学校学生人数有限，且体质健康检测需要准确结果，适合普查； ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查关系到住户生命财产安全，必须确保全覆盖，适合普查； ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查检测细菌数需要破坏牛奶样本（具有破坏性），无法对所有牛奶进行检测，适合抽样调查； ④调查一个县各村的粮食播种面积数据需要精确统计，且县内村庄数量有限，适合普查； ⑤调查一条河流的水质河流范围广，无法对全部水体进行检测，只需抽取不同点位的水样即可推断整体水质，适合抽样调查； ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 连锁酒店顾客数量庞大，全面调查成本高，只需抽取部分顾客即可反映整体满意度，适合抽样调查. 故选：D. 3. 设不共线，，若三点共线，则实数p的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】， ． 又∵三点共线，共线． 设，， 不共线， ． 4. 某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A. 众数<平均数<中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 中位数<平均数<众数 D. 众数=平均数=中位数 【答案】B 【解析】 【详解】由频率分布直方图可知，样本数据在左侧较集中，右侧尾部较长，分布呈右偏. 在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数是使左右两侧面积均为0.5的分界点，平均数受右侧较大数据的影响更明显. 因此平均数最大，中位数居中，众数最小，即众数<中位数<平均数. 5. 袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（ ） A. “摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B. “摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 【答案】A 【解析】 【详解】选项A，因为个球中有个红色球，个黄色球，个白色球， 从中不放回的依次随机摸出个球，它们不会颜色都相同，所以A正确； 选项B，摸出的个球颜色都不相同，则这三个球为红白黄，这个事件为随机事件， 可能发生，所以B错误； 选项C，摸出的个球颜色可以没有红色球，所以C错误； 选项D，摸出的个球颜色可以是个红色球和个黄色球和个白色球，此时两件事情同时发生，所以D错误. 6. 端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，由条件根据对立事件概率公式求，再利用独立事件概率乘法公式求，由此可得结论. 【详解】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，则， 所以，，. 由题知为相互独立事件，所以3人都不回老家过节的概率， 所以至少有1人回老家过节的概率. 7. 有一组样本数据，，，…，的平均数为，极差为，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中，则新样本数据的平均数和极差分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】由平均数和极差的定义判断． 【详解】由题意， 所以， ， 所以， 因为，（）所以，即新样本数据极差与原样本数据极差相等． 8. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中大于20的数有：26，35，53，62，71，80，故所求事件的概率为. 二、多选题（18分） 9. 下列说法错误的有（ ） A. 连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B. 已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D. 如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由必然事件，不可能事件，互斥事件，对立事件的定义即可求解. 【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0； 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足； 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足且（为样本空间）， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求； 对于B选项，已知产品的次品率为，则该批产品存在次品，任取99件时“99件全是次品”是概率很小但仍有可能发生的事件， 属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求； 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求； 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求. 10. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B. 9月体育测试中学生的不及格率为18% C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 【答案】BCD 【解析】 【详解】总人数人，四次测试总人数不变， 对于A：月优秀占比，优秀人数人人，故A错误； 对于B：月不及格人，不及格率，故B正确； 对于C：折线图中月到月优秀占比依次为，占比逐渐增长，故C正确； 对于D：月较月增长：人，月较月增长：人， ，月增长优秀人数比月多，正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得直线与所成的角为 B. 存在点，使得平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 存在点，使得直线平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断A；当点为中点时，证明面面平行，即可判断B；结合等体积转化，即可判断C；当点为中点时，证明线面垂直，即可判断D. 【详解】对于A：当点为线段上靠近的四等分点时， 如图，连接,过点作，交于， 则,又正方体中，，所以， 则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故A错误； 对于B，当点为中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C：三棱锥的体积，故C正确； 对于D：当点为中点时，有，又， 所以平面即平面， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确. 三、填空题（15分） 12. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】176 【解析】 【详解】第1行第7列的数字开始，依次抽取175，068，331，047，447，176， 故第6个被抽到的同学的编号为176 13. 某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解之即得解. 【详解】依题意可得，解得. 故答案为1320 【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14. 猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，三位同学独立竞猜，其中的20道灯谜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.以频率估计概率，任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为______；若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为______. 【答案】 ①. ②. 10 【解析】 【分析】由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求n. 【详解】设事件A为“任选一道灯谜甲猜对”，事件B为“任选一道灯谜乙猜对”， 事件C为“任选一道灯谜丙猜对”，则，，， ，，. “甲、乙两位同学恰有一个人猜对”即，且与互斥.每位同学独立竞猜， 故A，B相互独立，则A与，与B，与均相互独立， . 设事件D为“甲、乙、丙三人中至少有一个人猜对”，则， ， 解得. 四、解答题（77分） 15. 已知平面向量，满足，，. （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ,,, 可得：, , 则. 【小问2详解】 , , 则,, 故 16. 某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并基于频率分布直方图估计这名学生成绩的中位数． （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，再从这5人中随机选取人．写出该试验的样本空间，并用古典概型的概率计算公式求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 【答案】（1）（或），（分） （2）样本空间， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用频率分布直方图的性质，即可求出值，再由中位数的定义，即可求解； （2）根据条件，先求出两分数段内的人数，利用列举法列出样本空间，再由古典概率的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，，解得， 设名学生成绩中位数的估计结果为．记第组的频率为（按分数从低到高，）， 则由频率分布直方图可得：，，，， 因为，，所以． 由比例关系，，解得（分）. 【小问2详解】 由（1）得，．由分层抽样定义，在分数段内抽取人，在分数段内抽取人． 记中选取的四人为，，，，中选取的一人为， 则样本空间， 设事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”，则， 所以． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若是边上的中线，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理把条件中的展开，化简后求得角A； （2）借助中线向量公式可得，由基本不等式得，再根据三角形面积公式即可求出面积最大值 . 【小问1详解】 由余弦定理得，， 整理得，即. 由余弦定理得，， 又，故. 【小问2详解】 由为边上中线，则， 所以. 已知， 代入得，即. 由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号. 三角形面积，故， 即面积最大值为. 18. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，其中分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的平面角的大小； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】（1）因为分别为的中点，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）． （3）． 【解析】 【详解】（1）略 （2）连接，易知， 因为，所以，即． 因为为中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 所以二面角的平面角的大小为． （3）设点到平面的距离为， 因为是底面的垂线，，底面是等腰直角三角形， 所以， 由（2）知，又，所以为等边三角形， 所以， 因为，所以，即， 所以点到平面的距离为． 19. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于AI的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图．已知准确率在内的试卷份数为10． （1）求出试卷总份数，并估计出准确率的中位数； （2）“如何利用AI”是AI能否更好地造福人类的关键，基于此该小组进行了AI运用比赛，即用AI进行问题解答，并通过正确率来评定结果．甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立． （ⅰ）若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； （ⅱ）当时，求比赛不超过5局就结束的概率（用表示）． 【答案】（1）100套，中位数为． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先利用直方图总面积为求出参数，结合区间样本数量算出总试卷数，累加前两组频率确定中位数落在，再通过中位数左右面积均为列方程求解中位数； （2）（i） 先划分 4 局结束且甲赢的所有互斥对局序列，分别计算每种序列的独立事件概率再相加，合并同类项化简得到总概率；（ii）由只剩甲乙胜负两种结果，列出局、局结束的全部互斥对局情况，分别计算独立事件概率求和，整理为关于的多项式表达式. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得； 而准确率在内的试卷数占样本总数的， 准确率在内的试卷数为10，所以共有100套试卷； 准确率在90以下所占比例为， 因此中位数落在区间内，设中位数为， 由，得到， 所以准确率的中位数为． 【小问2详解】 （ⅰ）用事件，，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”， 则，，， 记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件， 则事件 ，，，，两两互斥，，，相互独立 所以 ． （ⅱ）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即， 记“比赛不超过5局就结束”为事件， 则事件， ，，，，，两两互斥，，相互独立 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都华西中学2026-2027学年上期高二10月定时训练 数学 一、单选题（40分） 1. 样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 下面情况中，更适合用抽样调查的有（ ） ①某学校全体学生体质健康检测 ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查 ④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质 ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A. ②③④ B. ②③⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ③⑤⑥ 3. 设不共线，，若三点共线，则实数p的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A. 众数<平均数<中位数 B. 众数<中位数<平均数 C. 中位数<平均数<众数 D. 众数=平均数=中位数 5. 袋中装有质地、大小和形状完全相同的个球，其中有个红色球，个黄色球，个白色球．从袋中不放回地依次随机摸出个球，则下列判断正确的是（ ） A. “摸出的个球颜色不都相同”是必然事件 B. “摸出的个球颜色都不相同”是不可能事件 C. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个红色球”是对立事件 D. “恰好摸出个红色球”与“恰好摸出个黄色球”是互斥事件 6. 端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 有一组样本数据，，，…，的平均数为，极差为，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中，则新样本数据的平均数和极差分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 下列说法错误的有（ ） A. 连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B. 已知一批产品的次品率为，从中任取99件，“99件全是次品”是不可能事件 C. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D. 如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 10. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B. 9月体育测试中学生的不及格率为18% C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得直线与所成的角为 B. 存在点，使得平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 存在点，使得直线平面 三、填空题（15分） 12. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 13. 某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_______． 14. 猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，三位同学独立竞猜，其中的20道灯谜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.以频率估计概率，任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为______；若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为______. 四、解答题（77分） 15. 已知平面向量，满足，，. （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 16. 某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并基于频率分布直方图估计这名学生成绩的中位数． （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取人，再从这5人中随机选取人．写出该试验的样本空间，并用古典概型的概率计算公式求这人中恰有人的成绩落在内的概率． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若是边上的中线，且，求面积的最大值． 18. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，其中分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的平面角的大小； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 19. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于AI的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图．已知准确率在内的试卷份数为10． （1）求出试卷总份数，并估计出准确率的中位数； （2）“如何利用AI”是AI能否更好地造福人类的关键，基于此该小组进行了AI运用比赛，即用AI进行问题解答，并通过正确率来评定结果．甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立． （ⅰ）若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； （ⅱ）当时，求比赛不超过5局就结束的概率（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $