精品解析：天津市武清区杨村第四中学2026-2027学年高一年级第一学期第一次学情调查数学试卷

杨村四中高一年级第一学期数学第一次学情调查 一、选择题（共 36 分，每小题 4 分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法表示全集，再利用补集的定义进行求解即可 【详解】，所以 2. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的基本运算即可解决. 【详解】由，可知 . 3. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】全称命题的否定是特称命题，变量的取值范围不变，并否定原结论，因此原命题的否定为“，”． 4. 若 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，所以 恒成立． 5. 若，则的最小值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】分析：令，则，利用基本不等式可得结果. 详解：令，则 ， 当且仅当，即时， 函数的最小值为，故选C. 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 6. 下列选项中，是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【详解】两个函数相同需定义域与对应法则都相同，逐项检验． 对于A，的对应法则是直接输出自变量本身，值域为全体实数，而，对应法则是输出自变量的绝对值，值域为非负实数，对应法则不同，故A错误； 对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，与相同，故C正确； 对于D， 的定义域为 ，与 的定义域不同，故D错误． 7. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 8. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 9. 已知，为正实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 二、填空题（共 24 分，每小题 4 分） 10. ，求 ______． 【答案】## 【解析】 【详解】. 11. 下列不等式中成立的是________． ①若，则；②若，则；③若，则． 【答案】② 【解析】 【详解】①当时，①不成立； ②因为，所以，②成立； ③取，，则，③不成立． 12. 设，，若，则实数组成的集合_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出A的元素，再由B⊆A，分和B≠φ求出a值即可. 【详解】∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}， ∴A＝{3，5} 又∵B＝{x|ax﹣1＝0}， ∴①时，a＝0，显然B⊆A ②时，B＝{}，由于B⊆A ∴ ∴ 故答案为{} 【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题． 13. 函数 的定义域为 ________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得 ，解得或； 函数的定义域为 . 14. 已知 ，，，则 的最小值为 ________． 【答案】 【解析】 【详解】， 因为 ，所以 ， 故最小值为 ，当且仅当 时取到． 15. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 三、解答题（共 60 分） 16. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【小问1详解】 易知，又， 所以，. 【小问2详解】 已知全集，易知或，， 因此或. 17. （1）求函数的定义域． （2）已知函数，求、、的值． 【答案】（1）；（2），， 【解析】 【分析】（1）两个根式同时有意义； （2）分别把、、代入解析式． 【详解】（1）要使函数有意义，需同时满足 且 ， 即且，所以该函数的定义域为； （2）； ； ． 18. （1）已知，，且，求的最大值，并求对应的，的值． （2）已知，，，求的最小值，并求对应的，的值． 【答案】（1）最大值为，此时，；（2）最小值为，此时． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，直接利用基本不等式，即可求得结果； （2）根据已知条件，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求得结果. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为，此时，． （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，此时． 19. 已知集合，集合，．若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】由必要条件定义可得；分别讨论和的情况，解不等式组即可求解. 【详解】“”是“”的必要条件，； 当时，满足，此时，解得； 当时，若，则，不等式组解集为； 综上所述：实数的取值范围为. 20. 已知函数 ． （1）若且，求不等式的解集； （2）若且，求的最小值． 【答案】（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）将代入不等式，得到关于的含参数的一元二次(或一元一次)不等式；由的条件，对的取值进行分类讨论，求解不等式； （2）利用完全平方公式将待求式进行变形，再利用基本不等式求解最小值. 【小问1详解】 ，. 当时，不等式为，解得； 当且时，，则一元二次方程的两根为，. 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为，解得； 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 ，，. ，当且仅当，即，解得或时等号成立. 的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村四中高一年级第一学期数学第一次学情调查 一、选择题（共 36 分，每小题 4 分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若 ，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 下列选项中，是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，为正实数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共 24 分，每小题 4 分） 10. ，求 ______． 11. 下列不等式中成立的是________． ①若，则；②若，则；③若，则． 12. 设，，若，则实数组成的集合_____． 13. 函数 的定义域为 ________． 14. 已知 ，，，则 的最小值为 ________． 15. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 三、解答题（共 60 分） 16. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 17. （1）求函数的定义域． （2）已知函数，求、、的值． 18. （1）已知，，且，求的最大值，并求对应的，的值． （2）已知，，，求的最小值，并求对应的，的值． 19. 已知集合，集合，．若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 20. 已知函数 ． （1）若且，求不等式的解集； （2）若且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $