专题1.1.4 集合的运算（高效培优讲义，4知识9重难题型+分层强化）高一数学沪教版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的运算核心知识点，系统梳理交集、并集、全集与补集的定义、符号语言及性质，构建从基础运算到离散型、连续型数集运算，再到含参问题求解的学习支架。 资料通过分层题型设计（基础必考题到培优题），结合Venn图与数轴直观教学，强化德摩根公式等拓展应用，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理与分类讨论），课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固提升。

专题1.1.4 集合的运算 教学目标 1.理解集合交集、并集、全集、补集的核心定义 2.熟记集合运算的符号语言与图形含义 3.熟练掌握集合交、并、补的基本性质、运算规律及德摩根公式、分配律等拓展结论；4.能够精准求解离散型、连续型数集的集合运算问题，掌握含参集合问题的解题思路，规避常见易错点。 教学重难点 教学重点 1. 交集、并集、补集的定义、符号语言及核心运算性质； 2. 集合交、并、补的基础运算，数轴与Venn图在集合运算中的应用； 3. 子集关系与集合运算的等价转化关系（、）。 教学难点 1. 区分“且”与“或”的逻辑含义，准确辨析交集与并集的运算差异； 2. 德摩根公式的理解与灵活运用，集合分配律的拓展应用； 3. 含参数集合问题的求解，尤其容易遗漏空集的分类讨论，以及连续数集区间端点的取舍判断。 知识点01 交集 1. 定义：由既属于集合 A 又属于集合 B 的___________组成的集合，叫作 A 与 B 的交集，记作________。 2. 符号语言：________________________ 3. 性质填空： ；；（交换律）；。 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，则______. 知识点02 并集 1. 定义：由所有属于集合 A _______属于集合 B 的全部元素组成集合，叫作 A 与 B 的并集，记作________。 2. 符号语言：________________________ 3. 性质填空： ；；（交换律）；。 4. 概念辨析：逻辑关键词“且”对应_______运算；“或”对应_______运算。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______. 知识点03 全集与补集 1. 全集：包含研究问题中___________的集合，记作 ，全集是相对概念。 2. 补集符号语言： 3. 补集基础性质： ，； A∩，A∪， 4. 德摩根公式： ________________________ ________________________ 5. 口诀：交的补＝补的_______；并的补＝补的_______。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知全集，集合，则 __________. 知识点04 集合运算拓展公式 集合分配律公式： ________________________ ________________________ 题型01 列举法集合基础交并运算（基础必考题） 【典例1】（25-26高一上·上海闵行·期中）已知集合，则______. 【变式1-1】（25-26高一上·上海宝山·期末）设集合，，则______. 【变式1-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合 ，则 ________. 【变式1-3】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知集合，则___________． 题型02 区间型集合交并运算（数轴法） 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期末）若集合，集合，则________． 【典例2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则_____. 【典例2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知，则___________． 【变式2-1】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知集合，，则_____． 【变式2-2】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，则_____. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则__________． 题型03 不等式集合交并运算（月考高频） 【典例3-1】（25-26高一上·上海闵行·期末）已知集合，则___________． 【典例3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若，，则___________. 【典例3-3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）设集合 ，，则 __________. 【变式3-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则__________ 【变式3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则___________． 【变式3-3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，则_____. 题型04 描述型交并运算 【典例4】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______． 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则______． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______． 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，则___________． 题型05 补集运算（易错点：看清全集） 【典例5】（2025·上海闵行·一模）已知全集，集合，则________ 【变式5-1】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知全集，设集合，则________． 【变式5-2】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知全集，集合，则___________． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知全集，集合，则______. 题型06 Venn图识图问题（合格考选择题常考） 【典例6】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是__________．    【变式6-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（    ）.（全集U） A． B． C． D． 题型07 交并补混合运算，验证德摩根公式（培优题） 【典例7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集为，集合A、B满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【典例7-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）全集为，，，则________． 【典例7-3】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合______. 【变式7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合是子集，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·上海·期中）已知全集，，，，则_____. 【变式7-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设集合，，且，，则________________． 题型08 根据运算结果求集合元素个数 【典例8-1】已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 【典例8-2】设为常数，集合，集合，则的元素个数为__________． 【变式8-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有______个 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期中）某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________. 【变式8-3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 题型09 由运算结果求参数（压轴高频） 【典例9-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则______． 【典例9-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，集合． (1)若，求k的值； (2)若，求k的取值范围． 【典例9-3】（25-26高一上·上海浦东新·期末）设全集，集合. (1)求； (2)若集合，且，求的取值范围. 【变式9-1】（25-26高一上·上海·期中）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式9-2】（25-26高一上·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【变式9-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 1．（2025·上海徐汇·一模）设集合，则__________． 2．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若，则______． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则__________. 4．（25-26高一上·上海松江·期中）设全集，集合 ，则___________． 5．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为_____. 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合，，则________ 7．（25-26高一上·上海·期末）设全集，集合，集合，则______. 8．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 9．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，．若，则______． 10．（25-26高一上·上海·开学考试）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合满足，，，则下列结论正确的是（   ）． A．且 B．且 C．且 D．且 12.（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）设全集，求 (1)； (2)； (3)． 13．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，，，或，且，求实数的取值范围． 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一上·上海·开学考试）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①②都错误 D．①错误，②正确 3．（25-26高一上·上海·期末）对于一个数集，定义函数．假设数集是全集，是的子集，对任意，有以下命题：①如果，那么；   ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么；其中命题正确的是______． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪，直至 1872 年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续 200 多年的数:史上的第一次大危机. 戴德金分割，是指将有理数集 划分成两个非空的子集 与 ，且满足 ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则称为戴德金分割. 试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中可能成立的是_____. ① 没有最大元素， 有一个最小元素; ② 没有最大元素， 也没有最小元素； ③ 有一个最大元素， 有一个最小元素; ④ 有一个最大元素， 没有最小元素. 5．（25-26高一上·上海·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 6．（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 7．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于集合，定义集合且． (1)若，求集合和； (2)给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； (3)用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.4 集合的运算 教学目标 1.理解集合交集、并集、全集、补集的核心定义 2.熟记集合运算的符号语言与图形含义 3.熟练掌握集合交、并、补的基本性质、运算规律及德摩根公式、分配律等拓展结论；4.能够精准求解离散型、连续型数集的集合运算问题，掌握含参集合问题的解题思路，规避常见易错点。 教学重难点 教学重点 1. 交集、并集、补集的定义、符号语言及核心运算性质； 2. 集合交、并、补的基础运算，数轴与Venn图在集合运算中的应用； 3. 子集关系与集合运算的等价转化关系（、）。 教学难点 1. 区分“且”与“或”的逻辑含义，准确辨析交集与并集的运算差异； 2. 德摩根公式的理解与灵活运用，集合分配律的拓展应用； 3. 含参数集合问题的求解，尤其容易遗漏空集的分类讨论，以及连续数集区间端点的取舍判断。 知识点01 交集 1. 定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集。 2. 符号表示：记作 ，读作“A交B”。 3. 符号语言： 4. Venn图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （1） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （2）表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （3） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝． 5. 核心性质 幂等性： 空集性质： 交换律： 子集等价关系： 【即学即练】 1．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，则______. 【答案】 【详解】，， . 故答案为： 知识点02 并集 1. 定义：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集。 2. 符号表示：记作 ，读作“A并B”。 3. 符号语言： 4. Venn图直观地反映 A∪B的几种不同情况 （1） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （2） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （3） 表示集合A与B没有公共元素的情况 5. 核心性质 幂等性： 空集性质： 交换律： 子集等价关系： 概念辨析：逻辑关键词“且”对应交集运算，逻辑关键词“或”对应并集运算，是集合运算核心区分点。 【即学即练】 2．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______. 【答案】 【详解】集合，，则. 故答案为： 知识点03 全集与补集 1. 全集：如果一个集合包含我们所要研究问题中涉及的全部元素，则称该集合为全集，通常记作 。全集为相对概念，随研究范围变化而改变，无固定统一全集。 2. 补集定义：对于给定全集，由全集 中所有不属于集合 的元素组成的集合，称为集合 相对于全集 的补集。 3. 符号表示：记作 4. 符号语言： 5. 核心性质 同一性：A∩U=A，A∪U=U 互补性：A∩=，A∪=U，； 德摩根律（难点必考）：=，= 速记口诀：交的补等于补的并，并的补等于补的交。 【即学即练】 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知全集，集合，则 __________. 【答案】 【详解】根据补集的定义，. 故答案为：. 知识点04 集合运算拓展公式 设集合 ，满足以下通用运算规律： 包含关系： 分配律（核心拓展公式）：， 题型01 列举法集合基础交并运算（基础必考题） 【典例1】（25-26高一上·上海闵行·期中）已知集合，则______. 【答案】 【详解】由题意可得:； 故答案为： 【变式1-1】（25-26高一上·上海宝山·期末）设集合，，则______. 【答案】 【详解】因为集合，，则. 故答案为：. 【变式1-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合 ，则 ________. 【答案】 【详解】因为集合 ， 所以， 故答案为： 【变式1-3】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知集合，则___________． 【答案】 【详解】因为集合，集合为整数集，所以. 故答案为： 题型02 区间型集合交并运算（数轴法） 【典例2-1】（25-26高一上·上海·期末）若集合，集合，则________． 【答案】 【详解】因为集合，集合，所以. 故答案为：. 【典例2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则_____. 【答案】 【详解】因为集合，，所以. 故答案为：. 【典例2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知，则___________． 【答案】. 【详解】因为，则. 故答案为：. 【变式2-1】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知集合，，则_____． 【答案】 【详解】集合，，则. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，则_____. 【答案】 【详解】由集合，，根据集合并集的概念与运算，可得. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】， ． 故答案为：． 题型03 不等式集合交并运算（月考高频） 【典例3-1】（25-26高一上·上海闵行·期末）已知集合，则___________． 【答案】 【详解】因为，，所以. 故答案为： 【典例3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若，，则___________. 【答案】 【分析】根据题意结合集合的并集运算求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为：. 【典例3-3】（25-26高一上·上海杨浦·期末）设集合 ，，则 __________. 【答案】 【详解】代表整数集，所以， 故答案为： 【变式3-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则__________ 【答案】 【详解】因为集合，，故. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则___________． 【答案】 【详解】因，则. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，则_____. 【答案】 【详解】由集合，， 根据集合交集的运算，可得. 故答案为： 题型04 描述型交并运算 【典例4】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______． 【答案】 【详解】当时，，则. 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，则______． 【答案】 【详解】由题意，所以. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，则______． 【答案】; 【详解】联立，解得， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合，则___________． 【答案】 【详解】由，得， 则． 故答案为： 题型05 补集运算（易错点：看清全集） 【典例5】（2025·上海闵行·一模）已知全集，集合，则________ 【详解】因为全集，集合，则. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知全集，设集合，则________． 【答案】 【详解】全集，则集合， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高一上·上海普陀·期末）已知全集，集合，则___________． 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期中）已知全集，集合，则______. 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 题型06 Venn图识图问题（合格考选择题常考） 【典例6】（25-26高一上·上海松江·期中）设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由集合，或，得或， 由韦恩图得图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B 【变式6-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是__________．    【答案】 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合是， 故答案为： 【变式6-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（    ）.（全集U） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据图形，阴影部分属于集合，不属于集合，则阴影部分所表示的集合为. 故选：A. 题型07 交并补混合运算，验证德摩根公式（培优题） 【典例7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）设全集为，集合A、B满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，故C正确. 故选：C 【典例7-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）全集为，，，则________． 【答案】 【详解】， ， 而， 则或， 故答案为： 【典例7-3】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合______. 【答案】 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 【变式7-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合是子集，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知全集，且，所以. 因为，且，所以集合必须包含元素（否则不能包含）， 同时中的元素只能来自（因为）， ， 由于的元素只能是中的元素，所以. 故选：A 【变式7-2】（25-26高一上·上海·期中）已知全集，，，，则_____. 【答案】 【详解】由题意得， 可得集合中含有元素3， 可得中含有元素4，6，8，集合中不含元素4，6，8， ，集合含有元素1，5，集合中含元素1，5， 对于元素0，假设集合中含有元素0，则由可知不含元素0， 则必含元素0，与矛盾，同理可得集合中不含元素2，7，9， 综上所述：，故. 故答案为： 【变式7-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）设集合，，且，，则________________． 【答案】0 【详解】因为，， 所以方程和都有两个不相等的实数根， 且是两个方程的实数根， 不妨记的两根为，方程的两根为， 由韦达定理可得，， 由②④可得，则或. 当时，0是方程和的根，则， 则， 则，此时， 所以； 当时，由①③可得，则， 所以. 综上，. 故答案为：0. 题型08 根据运算结果求集合元素个数 【典例8-1】已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 【答案】16 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 故答案为：16 【典例8-2】设为常数，集合，集合，则的元素个数为__________． 【答案】 【详解】，的元素个数为. 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有______个 【答案】32 【详解】因为，，集合M满足 所以，则这样的集合M共有个. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期中）某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________. 【答案】41 【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 【变式8-3】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【详解】若有2个元素，设，则， 因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素， 不妨设，，则， 若，则且， 所以，与假设矛盾，所以， 所以或， 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 所以此时，； 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 此时，； 由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素， 故A错误，B错误，C正确； 不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数， 由③可知：， 又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数， 由②可知：都是集合的元素， 因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以， 又因为为互不相等的正数，所以， 考虑到和，若，则为互不相等的正数， 又因为，所以，所以是与不相等正数， 因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾， 因此考虑的情况，所以，同理可得，所以， 所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误； 故选：C. 题型09 由运算结果求参数（压轴高频） 【典例9-1】（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，若，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，此时，即； 当时，，此时，所以成立； 当时，，此时，即. 【典例9-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，集合． (1)若，求k的值； (2)若，求k的取值范围． 【详解】（1）集合，，则，解得， 所以k的值为4. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以k的取值范围是. 【典例9-3】（25-26高一上·上海浦东新·期末）设全集，集合. (1)求； (2)若集合，且，求的取值范围. 【详解】（1）因为集合， 且集合，所以； 又因为全集，则或， 所以. （2）因为，则， 又因为集合，集合， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式9-1】（25-26高一上·上海·期中）设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由条件可知，， 当时，，得， 当时，，得， 综上可知，或； （2）当时，，得， 当时，或， 得或， 综上可知，或. 【变式9-2】（25-26高一上·上海·期中）设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）根据题意可得：，则 （2） 若，有，解得； 若，，解得 综上所述：的取值范围为 【变式9-3】（25-26高一上·上海·期中）已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 1．（2025·上海徐汇·一模）设集合，则__________． 【答案】 【详解】由于集合，则; 故答案为： 2．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若，则______． 【答案】 【详解】根据补集的定义知. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，则__________. 【答案】 【详解】因为，， 所以 故答案为： 4．（25-26高一上·上海松江·期中）设全集，集合 ，则___________． 【答案】 【详解】由可得， 所以， 则. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为_____. 【答案】 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示， 又,，则， 所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合，，则________ 【答案】 【分析】根据补集和并集的概念得到集合. 【详解】或， 或. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·期末）设全集，集合，集合，则______. 【答案】 【详解】由集合，集合可得， 又全集，因此. 故答案为： 8．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 【答案】 【详解】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 9．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，．若，则______． 【答案】 【详解】因为集合，，且， 所以，所以. 10．（25-26高一上·上海·开学考试）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由韦恩图可得：图中的阴影部分表示的集合是集合的子集，同时也集合的子集， 即图中的阴影部分表示的集合是集合与集合的公共部分组成的集合， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：A. 11．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知全集，集合满足，，，则下列结论正确的是（   ）． A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】因，由可得； 由可得 又由可得， 故，如图所示. 故A错误；B错误；C正确；D错误.    故选：C. 12.（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）设全集，求 (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）由于， 故； （2）由题意知，故； （3）由题意得，故. 13．（25-26高一上·上海·期中）已知全集，，，或，且，求实数的取值范围． 【详解】由全集，，， 当，即时，，， 又因为 或，且，成立； 所以； 当，即时，或， 则， 又因为 或，且， 所以或，解得或， 此时或， 综上：实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）设集合，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由，得到或，所以    ， 故集合的所有子集为. （2）因为，则，又， 方程，， 若，即，方程无解，此时，满足题意； 若，即，由，即，解得， 此时，满足题意； 若，即，要使，则方程的解集为或， 则，解得， 综上所述，或. 1．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 2．（25-26高一上·上海·开学考试）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和、、，①可以表示；②可以表示.则下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【详解】或，或， 或， 或，①正确； 或且，②正确. 故选：B 3．（25-26高一上·上海·期末）对于一个数集，定义函数．假设数集是全集，是的子集，对任意，有以下命题：①如果，那么；   ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么；其中命题正确的是______． 【答案】①②④ 【详解】对于①，由，对任意，至多属于中的一个集合， 若属于集合中的一个，则， 若都不属于集合，则， 所以，故①正确； 对于②，由，得， 若，则，得， 若，此时， 由，当，得，则， 当时，，则， 故当时，， 综上所述，故②正确； 对于③，当时，， 此时，故③错误； 对于④，由， 若，则且， 此时， 若，则或， 则，或， 则，故④正确， 故答案为：①②④． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪，直至 1872 年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续 200 多年的数:史上的第一次大危机. 戴德金分割，是指将有理数集 划分成两个非空的子集 与 ，且满足 ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则称为戴德金分割. 试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中可能成立的是_____. ① 没有最大元素， 有一个最小元素; ② 没有最大元素， 也没有最小元素； ③ 有一个最大元素， 有一个最小元素; ④ 有一个最大元素， 没有最小元素. 【答案】①②④. 【详解】①若，，则集合没有最大值，中有最小元素0，故①正确； ②若，，则中没有最大元素，也没有最小元素，故②正确； ③假设③正确，则中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故③不正确； ④若，，集合有最大值，没有最小值，故④正确； 故答案为：①②④. 5．（25-26高一上·上海·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 【答案】3 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”，则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故答案为：3 6．（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是“好集”，理由如下： 由，得. 因为， 所以是“好集”． (2)，，，， （2）由于 所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 7．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合. （2）结论：不一定. 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合. （3）不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）对于集合，定义集合且． (1)若，求集合和； (2)给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； (3)用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【详解】（1）由，则，； （2）由，则或， 再结合，则， 所以 （3）表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $