第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元自测·强化卷）数学北师大版高一必修第一册

第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，，则 2．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以. 3．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 所以， 即最接近. 4．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（     ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】由的图象关于点对称，可得为奇函数;结合可得，从而的周期为,再将化到上求值. 【详解】设，则的图象关于点对称， 故，即，所以. 由，将换成，得， 所以，即是周期为的函数. ，且， 所以. 5．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由时推出时函数周期为，结合偶函数性质将负自变量转化为正自变量，再将大自变量通过周期转化到区间，代入表达式计算即可. 【详解】当时，由，可得， 所以当时，的周期为. 因为函数是上的偶函数，所以. 又， ， 所以. 6．已知函数，，若存在实数，使得，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】指对互化可得，，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，即， 可得，， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 8．已知定义在上的奇函数满足，且当时，．则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据是奇函数及求出对称轴及周期，作出和的图象，根据对称性可以得出的零点之和. 【详解】在中用替换得， 则关于直线对称， 又由是奇函数得， 所以， 所以是周期为4的周期函数． 由，， 得，所以曲线和都关于直线对称． 当时，，且，， 所以时，，于是．又，且， 如图可知的图象与轴有4个公共点，且其中2个公共点与另外2个公共点均关于直线对称，所以的所有零点之和为． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．函数（且）的图象恒过定点 C．若函数在上单调递增，则 D．幂函数是奇函数 【答案】BC 【详解】对于A，令，由，可得，则． 函数可转变为，． 由基本不等式，可得，当且仅当，即时等号成立， 这与矛盾，故等号无法取得． 又有函数在时单调递增，故最小值为，A错误； 对于B，对数函数（且）恒过定点， 令，解得，再将其代入中，可得， 故函数（且）的图象恒过定点，B正确； 对于C，对于函数， 当时，为一次函数，，在定义域内单调递增； 当时，为开口向下， 对称轴为的二次函数， 若其在上单调递增，则需满足对称轴过区间右端点或在区间右侧， 即，解得． 分段点处，还需满足，解得． 综上，可得，C正确； 对于D，函数是幂函数，则系数，解得． 代入，可得，定义域为， 且满足，则其为偶函数，D错误． 10．下列正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，且，则 【答案】CD 【详解】选项A：，A错误； 选项B：由，两边平方得，故； 又，因此原式，错误； 选项C：由换底公式得，，，相乘得，C正确； 选项D：由，得，，故，， 则，解得，D正确 . 11．已知正数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先由条件确定 的大小关系，再借助相应函数的单调性或作差法逐项判断. 【详解】因为 ，， ，得 ，所以 . 对于 A，因为 在 上单调递增，则，故A 正确； 对于 B，， 其中 ， 不能确定正负. 例如取 ，，则 ，故B 错误； 对于 C，，故C 正确； 对于 D，因 是减函数，则得 ，故D 正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域限制与单调递增性质，将原不等式转化为一元一次不等式组，求解后取交集即可求解. 【详解】根据对数函数的性质，原不等式等价于不等式组， 解得， 因此，不等式的解集为. 13．若偶函数满足，当时，，则__________． 【答案】 3 【分析】先由递推关系推导函数周期，结合偶函数性质将所求自变量转换到已知解析式的区间内，代入计算即可. 【详解】 已知，即，所以 ，因此是周期为的周期函数， ，又为偶函数，故， 因为，即，所以 ， 因此. 14．已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________. 【答案】/ 【分析】构造函数，将条件不等式化成，由题意推得，借助于得到，由求出即可求得答案. 【详解】设，因在上连续，则在上连续， 且，即函数为上的偶函数. 由可得， 若，则可取遍一切实数，即对于，即为常函数. 因，则①， 又因②， 将代入①，得， 将②代入上式，可得， 故. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 16．（15分）已知函数，. (1)若函数的图像经过点，求实数的值； (2)当时，求函数在的最小值； (3)若对任意恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为 (3) 【分析】（1）由函数图象过，将点坐标代入函数表达式，即可求得； （2）令，先求出函数在上的单调性，再求得函数在上的单调性，根据函数的单调性即可求出的最小值； （3）由等价于，整理得对任意恒成立，求出函数在上的最大值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的图像经过点，，解得. 实数的值为. （2）设，，； ，则函数在上单调递增，得函数在上单调递增. 当时，取得最小值，即. 函数在的最小值为. （3），，，即； ，对任意恒成立. 令，则为开口向下的二次函数，对称轴为； 二次函数在上单调递减，即时，取得最大值，得； 要使对任意恒成立，则. 即实数的取值范围为. 17．（15分）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由定义域为，得出，列出不等式求解即可； （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值，进而得出，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由的定义域为，知的解集为， 则，解得：， 所以a的取值范围为． （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值， 所以只要即可，其中， 所以，解得：或， 所以实数a的取值范围是． 18．（17分）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数单调性：同增异减求参数取值范围； （2）将条件转化为对恒成立，再参变分离，转化为最值处理. 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得，故的取值范围为. （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4. “对，都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立. 易得在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以，即的取值范围为. 19．（17分）已知函数． (1)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (2)当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对分类讨论，分离参数，借助函数单调性求出的上界，即可得到参数的取值范围； （2）先判断单调递增，由区间与值域对应关系，转化为一元二次方程有两个不相等的正实根，根据根的分布即可求解. 【详解】（1）因为不等式在上恒成立， 即，也就是， 当时，；   当时，因为，则恒成立，    又在上递减，所以在上的值域为，因此；     所以实数的取值范围为． （2）当时，在上单调递增，    又当时，值域为， 因此即     则，是关于的方程，即的两个不相等的正根， 则，解得，     所以正数的取值范围为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 4．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（     ） A．2 B．0 C．1 D．3 5．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，，若存在实数，使得，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．1 7．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的奇函数满足，且当时，．则函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．4 C．8 D．16 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．函数（且）的图象恒过定点 C．若函数在上单调递增，则 D．幂函数是奇函数 10．下列正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，且，则 11．已知正数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．不等式的解集为______． 13．若偶函数满足，当时，，则__________． 14．已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）计算： (1) (2)． (3) 16．（15分）已知函数，. (1)若函数的图像经过点，求实数的值； (2)当时，求函数在的最小值； (3)若对任意恒有，求实数的取值范围. 17．（15分）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围． 18．（17分）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知函数． (1)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (2)当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A D C B C 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 BC CD ACD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12． 13．3 14． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 16．（15分） (1) (2)最小值为 (3) 【分析】（1）由函数图象过，将点坐标代入函数表达式，即可求得； （2）令，先求出函数在上的单调性，再求得函数在上的单调性，根据函数的单调性即可求出的最小值； （3）由等价于，整理得对任意恒成立，求出函数在上的最大值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的图像经过点，，解得. 实数的值为. （2）设，，； ，则函数在上单调递增，得函数在上单调递增. 当时，取得最小值，即. 函数在的最小值为. （3），，，即； ，对任意恒成立. 令，则为开口向下的二次函数，对称轴为； 二次函数在上单调递减，即时，取得最大值，得； 要使对任意恒成立，则. 即实数的取值范围为. 17．（15分） (1) (2) 【分析】（1）由定义域为，得出，列出不等式求解即可； （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值，进而得出，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由的定义域为，知的解集为， 则，解得：， 所以a的取值范围为． （2）函数的值域为等价于能取到上的一切值， 所以只要即可，其中， 所以，解得：或， 所以实数a的取值范围是． 18．（17分） (1) (2) 【分析】（1）利用复合函数单调性：同增异减求参数取值范围； （2）将条件转化为对恒成立，再参变分离，转化为最值处理. 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得，故的取值范围为. （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4. “对，都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立. 易得在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以，即的取值范围为. 19．（17分） (1) (2) 【分析】（1）先对分类讨论，分离参数，借助函数单调性求出的上界，即可得到参数的取值范围； （2）先判断单调递增，由区间与值域对应关系，转化为一元二次方程有两个不相等的正实根，根据根的分布即可求解. 【详解】（1）因为不等式在上恒成立， 即，也就是， 当时，；   当时，因为，则恒成立，    又在上递减，所以在上的值域为，因此；     所以实数的取值范围为． （2）当时，在上单调递增，    又当时，值域为， 因此即     则，是关于的方程，即的两个不相等的正根， 则，解得，     所以正数的取值范围为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $