第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元自测·提升卷）数学北师大版高一必修第一册

第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【详解】由，得 因为，所以 所以 所以 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 又，所以，所以，即. 所以. 3．人耳的声音强度级（单位：）与声音强度（单位：）满足，其中是人耳能听到的最低声强． 已知某工厂机器运转时约为，则该机器对应的声音强度所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，， 所以， 所以声音强度所在范围为 4．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简对数式得到自变量，再结合奇函数与轴对称性推出函数周期，将大自变量转化到的已知区间内，代入解析式计算结果. 【详解】， 由，可知. 由是奇函数，得， 由是偶函数，得，即函数关于直线对称， 所以， 因此，即函数周期. ， 因为，所以， 因此 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，则， 故. 6．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由这一段的二次式恒非负得到，再验证当时这一段也满足，故范围为. 【详解】由题意，对一切都有，分两段讨论. 当时，需恒成立. 记，其图象开口向上、对称轴为. 若，则在上单调递减，最小值为， 由得，即； 若，则最小值为，由得， 即，结合得. 所以由这一段得. 当且时，因为，所以； 又，故也成立. 综上，实数的取值范围为. 7．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用对数运算性质对进行化简为，再通过换元可知,最后利用均值不等式求得的最大值，再求解的最大值. 【详解】由，可得 ， ， ， 令，则 由(当且仅当，即时取等号)， 可得 ，解得， 所以， 故. 8．已知函数,则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【详解】由函数知：，解得：或， 所以函数的定义域为：， 因为 ， 所以函数是偶函数， 当时， ， 令，则在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为2 【答案】BC 【分析】先把化简为，由判断奇偶性，再用基本不等式求出的范围，从而判断的符号与最小值. 【详解】. 对于A、B，因为， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，A错误、B正确. 对于C，当时，由基本不等式得（等号只在时成立）， 所以，C正确. 对于D，因为（当且仅当时取等号）， 所以，即的最小值为，而不是，D错误. 10．已知函数，则下列结论正确的有（     ）． A．的定义域为 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据对数函数的定义域，即可判断A选项；利用偶函数的定义，即可判断B选项；根据复合函数“同增异减”的原则，即可判断C选项；利用对数与分式不等式运算，即可判断D选项； 【详解】根据对数函数的定义域可得：，，，A选项正确； ，，为奇函数，B选项错误； 设，在定义域上单调增，根据复合函数的“同增异减”原则，在定义域上单调递增，C选项正确； ，，，，，，D选项正确； 11．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（） A．当时，有个零点 B．当时，有个零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 【答案】BD 【分析】通过换元法令，将问题转化为求解复合方程的根，根据分段函数的定义，分两种情况解出即可. 【详解】令，则原方程等价于， 当时，方程，即，此时需根据的正负讨论： 若，解得（满足）， 此时有两个可能的值：和由情形得出的， 对于，代入： 当时，（解）； 当时，（解），共解， 对于， 当时，（解）； 当时，（解），共解， 因此总共有个零点，选项B正确； 若，解得，与前提矛盾，故舍去， 当时，方程，解得唯一确定的，结合的讨论： 若，此时仅有，代入： 当时，，与矛盾舍去； 当时，（解），因此总共有个零点，选项D正确， 综上所述，当时有个零点，当时有个零点，正确选项为B和D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【详解】 13．，用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 【答案】1 【详解】画出的函数图象，如图， 当时两个函数值相等， 当或时；当时， 故的最小值为. 14．函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的定义和对数的运算性质，结合恒成立思想，可得的值，由不等式有解，结合函数的奇偶性和单调性和双钩函数的性质得值域，求出的范围. 【详解】若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即， 即， 由，可得； 所以， 任取，设则 ， ， ， 则 所以则函数为上的增函数， 又因为函数为上的奇函数，所以函数为上的增函数， 所以不等式有解， 转化为， 即有解， 所以有解，即， 令，因，则，即， 则 ，当且仅当时取等号， 由双钩函数的单调性知：，函数单调递减， ，函数单调递增， 当时，，当时， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）计算： (1) (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 . （2）因为，，即，即， 所以. 16．（15分）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得到不等式，令，求得，进而得到的定义域； （2）由，得到，令，转化为在上有解，结合基本不等式，求得恒成立，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得， 所以，解得，即函数的定义域为. （2）解：由，可得， 即，所以， 令，则， 方程即为，整理得，其中， 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为. 17．（15分）已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. (2) 【分析】(1)先求函数定义域，通过计算为定值，证明函数图像关于点中心对称； (2)利用复合函数“同增异减”法则与一次函数单调性，判断时在定义域内单调递减，再结合定义域约束与单调性解不等式. 【详解】（1）略 （2），， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减， 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以， 故若，关于的不等式的解集是 18．（17分）已知函数，且函数的定义域为． (1)求的值． (2)若函数在上单调，求的取值范围． (3)试问是否存在，使得在上的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为 【分析】（1）根据抽象函数定义域解不等式即可求得； （2）由复合函数单调性并根据对数式有意义分类讨论单调性，解不等式即可求得的取值范围． （3）根据函数单调性以及值域表达式可得，再由可求得结果. 【详解】（1）因为的定义域为，所以的定义域为， 令，解得， 所以． （2）由（1）得， 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减， 若在上单调递增，则无解； 若在上单调递减，则或或 解得或或，即， 故的取值范围为 （3）假设存在，使得在上的值域为， 因为，，所以， 在上单调递减，所以 即则两式相除，得， 即，化简得， 所以， 所以， 所以存在符合题意的，且的值为． 19．（17分）我们说函数 在其定义域 上具有 “不减性质”，是指 ，若 ，则有 . 代表不超过 的最大整数，如[4.8] = 4，[-0.3] = -1 . 已知 ，其中 . (1)求出 的定义域 ； (2)若 恒成立，求实数 的取值范围； (3)若 在其定义域 上具有不减性质，求实数 的取值范围. 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）由对数的真数必须为正，结合 为整数确定定义域；（2）先取定义域左端点 得到必要条件，再证明该条件下不等式恒成立；（3）令 ，研究 与 的单调变化，并对 构造使函数值下降的两个自变量，从而得到 的范围． 【详解】（1）因为 有意义，所以 ． 又因为 为整数，所以 ，即 ． 因为 ，所以 ． 故 的定义域为 （2）必要性：由（1）知 ． 此时所以 若 恒成立，则从而 解得 结合 ，得 充分性：当 时，对任意 ，有 令 则 因为 ，所以 ； 又 ，故 ． 所以 在 上单调递增，从而 于是 又因为 ，所以 ，从而 ． 因此 故 的取值范围为. （3）令 在定义域 上， 随 的增大而不减，因此 也随 的增大而不减． 下面研究 ． 先证明当 时， 在 上具有不减性质． 因为且 随 的增大而增大，所以 随 的增大而增大． 若则对任意 ，均有 ，所以 在 上单调递增，从而 在 上具有不减性质． 若则 ． 此时必有 ． 事实上，若 ，则 ； 又 ，所以 ，从而 ，矛盾． 因此 又由 可得 故 在 上单调递减，在 上单调递增． 因为 ，所以 于是当 时，从而 当 时， 单调递增，所以 也具有不减性质． 因此 在整个定义域 上具有不减性质． 由此，当 时， 与 都具有不减性质，所以 在 上具有不减性质． 下面证明 时不满足题意． 当 时，对 ，有所以 在该区间上单调递减． 又而 因此存在 ，使得 取 且充分接近 ，使得并且 于是而 这与 且 在 上具有不减性质矛盾． 所以 不合题意． 综上， 的取值范围为. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．人耳的声音强度级（单位：）与声音强度（单位：）满足，其中是人耳能听到的最低声强． 已知某工厂机器运转时约为，则该机器对应的声音强度所在的范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数,则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为2 10．已知函数，则下列结论正确的有（     ）． A．的定义域为 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．不等式的解集为 11．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（） A．当时，有个零点 B．当时，有个零点 C．当时，有个零点 D．当时，有个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 13．，用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 14．函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）计算： (1) (2)已知，，求 16．（15分）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 17．（15分）已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 18．（17分）已知函数，且函数的定义域为． (1)求的值． (2)若函数在上单调，求的取值范围． (3)试问是否存在，使得在上的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．（17分）我们说函数 在其定义域 上具有 “不减性质”，是指 ，若 ，则有 . 代表不超过 的最大整数，如[4.8] = 4，[-0.3] = -1 . 已知 ，其中 . (1)求出 的定义域 ； (2)若 恒成立，求实数 的取值范围； (3)若 在其定义域 上具有不减性质，求实数 的取值范围. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 对数运算与对数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C C D C A C 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 BC ACD BD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12． 13．1 14． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） (1) (2) 【详解】（1）原式 . （2）因为，，即，即， 所以. 16．（15分） (1) (2) 【分析】（1）当时，得到不等式，令，求得，进而得到的定义域； （2）由，得到，令，转化为在上有解，结合基本不等式，求得恒成立，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得， 所以，解得，即函数的定义域为. （2）解：由，可得， 即，所以， 令，则， 方程即为，整理得，其中， 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为. 17．（15分） (1)已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. (2) 【分析】(1)先求函数定义域，通过计算为定值，证明函数图像关于点中心对称； (2)利用复合函数“同增异减”法则与一次函数单调性，判断时在定义域内单调递减，再结合定义域约束与单调性解不等式. 【详解】（1）略 （2），， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减， 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以， 故若，关于的不等式的解集是 18．（17分） (1) (2) (3)存在，的值为 【分析】（1）根据抽象函数定义域解不等式即可求得； （2）由复合函数单调性并根据对数式有意义分类讨论单调性，解不等式即可求得的取值范围． （3）根据函数单调性以及值域表达式可得，再由可求得结果. 【详解】（1）因为的定义域为，所以的定义域为， 令，解得， 所以． （2）由（1）得， 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减， 若在上单调递增，则无解； 若在上单调递减，则或或 解得或或，即， 故的取值范围为 （3）假设存在，使得在上的值域为， 因为，，所以， 在上单调递减，所以 即则两式相除，得， 即，化简得， 所以， 所以， 所以存在符合题意的，且的值为． 19．（17分） (1)． (2)． (3)． 【分析】（1）由对数的真数必须为正，结合 为整数确定定义域；（2）先取定义域左端点 得到必要条件，再证明该条件下不等式恒成立；（3）令 ，研究 与 的单调变化，并对 构造使函数值下降的两个自变量，从而得到 的范围． 【详解】（1）因为 有意义，所以 ． 又因为 为整数，所以 ，即 ． 因为 ，所以 ． 故 的定义域为 （2）必要性：由（1）知 ． 此时所以 若 恒成立，则从而 解得 结合 ，得 充分性：当 时，对任意 ，有 令 则 因为 ，所以 ； 又 ，故 ． 所以 在 上单调递增，从而 于是 又因为 ，所以 ，从而 ． 因此 故 的取值范围为. （3）令 在定义域 上， 随 的增大而不减，因此 也随 的增大而不减． 下面研究 ． 先证明当 时， 在 上具有不减性质． 因为且 随 的增大而增大，所以 随 的增大而增大． 若则对任意 ，均有 ，所以 在 上单调递增，从而 在 上具有不减性质． 若则 ． 此时必有 ． 事实上，若 ，则 ； 又 ，所以 ，从而 ，矛盾． 因此 又由 可得 故 在 上单调递减，在 上单调递增． 因为 ，所以 于是当 时，从而 当 时， 单调递增，所以 也具有不减性质． 因此 在整个定义域 上具有不减性质． 由此，当 时， 与 都具有不减性质，所以 在 上具有不减性质． 下面证明 时不满足题意． 当 时，对 ，有所以 在该区间上单调递减． 又而 因此存在 ，使得 取 且充分接近 ，使得并且 于是而 这与 且 在 上具有不减性质矛盾． 所以 不合题意． 综上， 的取值范围为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $