精品解析：安徽省宿州市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

安徽省宿州市第二中学2026～2027学年高一上学期第一次月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 58 分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列 5 个关系：①，②，③，④，⑤.其中正确命题的个数是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 2. 若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 随 值变化而变化 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若 ，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. ①当 时，.②当 时， 的最大值为 .③ 的最小值为 .④若 ，，且 ，则 .以上说法正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 6. 定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知 ，{是自恋数}，则 的子集个数为（ ） A. 8 B. 15 C. 32 D. 63 7. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 集合 满足 ，则满足条件的集合 有 8 个 B. “”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若实数 ，，且满足 ，则 有最大值 第Ⅱ卷（非选择题 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 命题“，”的否定是______. 13. 若命题“对任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 14. 若 ，，且 恒成立，则满足条件的的值组成的集合是______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合 ，. （1）求 ； （2）求 . 16. 已知集合. （1）若，定义集合且，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 17. 已知. （1）若 的解集为或，求关于的不等式 的解集； （2）若，解关于的不等式 . 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 m，宽为 m. （1）若菜园面积 为 ，则 ， 为何值时，可使所用篱笆总长 最小？ （2）若使用的篱笆总长 为 16 m，求 的最小值. 19. 设非空数集，对于任意，如果满足：①属于；②属于；③属于；④（分母不为零）也属于.定义：满足条件①②③的数集为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. （1）判断整数集是不是数环；假如该集合是数环，那么它是不是数域； （2）若是一个数环，证明：；若是一个数域，证明：； （3）设，证明是数域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省宿州市第二中学2026～2027学年高一上学期第一次月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 58 分） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 给出下列 5 个关系：①，②，③，④，⑤.其中正确命题的个数是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】逐条判断元素与集合的关系：注意 不含 0， 为整数集， 为有理数集． 【详解】① 是实数，故 ，正确； ② 是无理数，，错误； ③ 不是正整数，，错误； ④，正确； ⑤是无理数，，错误． 所以正确的只有①④，共 2 个． 2. 若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 随 值变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】作差比较与的大小关系，即与的大小关系． 【详解】． 因为，所以，即， 故对任意实数都有． 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先把两个条件化成集合（区间），再判断包含关系． 【详解】由得或，即解集为． 由得，即，解得或，解集为． 因为是的真子集， 所以“”是“”成立的充分不必要条件． 4. 若 ，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把用与表示，再在各自范围内取值相加，不能把两个不等式同向相加后“取端点拼凑”． 【详解】设 ，，则，， 所以． 由 得，又 ，且 可独立取值， 所以 ，即 的取值范围是 ． 5. ①当 时，.②当 时， 的最大值为 .③ 的最小值为 .④若 ，，且 ，则 .以上说法正确的有（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】逐条用基本不等式或配凑法求最值，并检验等号成立的条件． 【详解】①当 时，，当且仅当 时取等号，正确； ②，当且仅当 ，即 时取等号，正确； ③设 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，最小值为 1，不是 2，错误； ④，当且仅当 ，即 ，也就是 ， 时取等号，正确． 所以正确的是①②④． 6. 定义：若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知 ，{是自恋数}，则 的子集个数为（ ） A. 8 B. 15 C. 32 D. 63 【答案】A 【解析】 【详解】 是 1 位数，，是自恋数； 是 2 位数，，不是自恋数； 是 2 位数，，不是自恋数； 是 3 位数，，是自恋数； 是 3 位数，，不是自恋数； 是 3 位数，，是自恋数． 所以 ，含有 3 个元素，其子集个数为 ． 7. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 由得，即且， 所以，得． 又中两个元素互异，故． 所以的取值范围是 ． 8. 关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】讨论、、求对应解集，根据解集中整数解个数确定a的范围即可. 【详解】由， 当时，，此时解集中恰有两个整数为，故； 当时，无解，不合题意； 当时，，此时解集中恰有两个整数为，故； 综上，或. 故选：C 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】A 错误：取，则 ，，但 ，结论不成立； B 正确：由 知 ，故 ，两边同除以 得 ； C 错误：取 ，，则 ，但 ； D 正确：， 因为 ，，所以 ，， 故，即 ． 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由解集端点得两根与的符号，用韦达定理把、用表示，再逐项判断． 【详解】选项A：由解集为知，且， 是方程的两根，A正确； 由韦达定理，，所以，，其中． 选项B：即，因为，所以 ，即 ，解集为 ，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：即，因为，两边同除以得，即 ，， 解得，D正确． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 集合 满足 ，则满足条件的集合 有 8 个 B. “”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若实数 ，，且满足 ，则 有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，根据已知的集合关系判断满足条件的集合个数；对于B选项，利用二次函数判别式及韦达定理来解决根的分布问题；对于C选项，根据交集、补集运算推断集合的包含关系，从而判断选项的正误；对于D选项，运用均值不等式求解最值即可. 【详解】对于A选项，中必含，其余元素可从中任意选取，共个；故A选项正确； 对于B选项，方程有一正一负根，等价于两根之积， 即（此时 自动成立），故“”是充要条件；故B选项正确； 对于C选项，等价于，而等价于，两者互不推出，所以是既不充分也不必要条件；故C错误； 对于D选项因为，，且， 所以， 当且仅当时取等号．故，故D选项正确. 第Ⅱ卷（非选择题 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 命题“，”的否定是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”． 13. 若命题“对任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原命题为假，则其否定为真，即“存在使”，按的符号分类讨论． 【详解】命题“对任意实数，”为假命题，等价于“存在实数，使”为真命题． 当时，有解，符合； 当时，抛物线开口向下，当充分大时，符合； 当时，抛物线开口向上，需，即，则； 综上可得，即实数的取值范围是 ． 14. 若 ，，且 恒成立，则满足条件的的值组成的集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，，求得的最小值，再把恒成立转化为关于 的不等式进行求解． 【详解】令，，则， 等价于， 即， 又 当且仅当（即 ）时取等号． 要使不等式对任意恒成立， 只需． 由，得， 即： 又，所以． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合 ，. （1）求 ； （2）求 . 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集运算求解即可； （2）根据补集、并集运算求解即可. 【小问1详解】 由得或， 所以. 【小问2详解】 因为，所以或． 所以或. 16. 已知集合. （1）若，定义集合且，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，又， . 【小问2详解】 若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 17. 已知. （1）若 的解集为或，求关于的不等式 的解集； （2）若，解关于的不等式 . 【答案】（1）或 （2）①当 时，解集为 ； ②当 时，解集为 ； ③当 时，解集为 ． 【解析】 【分析】（1）由解集端点用韦达定理求，再把分式不等式化为整式不等式； （2）因式分解后按两根与的大小分类即可解不等式. 【小问1详解】 因为 的解集为或， 所以，且，是方程的两根， 由 得，即． 此时，即， 等价于 且，解得 或 ， 所以解集为或． 【小问2详解】 ． 因为，方程的两根为与，且抛物线开口向下， 所以不等式的解集为两根之间（含端点），按两根大小分类： ①当，即 时，不等式的解为； ②当，即 时，不等式的解为； ③当，即 时，不等式的解为． 综上所述： ①当 时，解集为； ②当 时，解集为； ③当 时，解集为． 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 m，宽为 m. （1）若菜园面积 为 ，则 ， 为何值时，可使所用篱笆总长 最小？ （2）若使用的篱笆总长 为 16 m，求 的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用积定和最小的规律，直接对篱笆总长表达式使用基本不等式，再验证等号成立条件，求出对应的长与宽即可； （2）先根据篱笆总长的等式，对式子变形构造出与目标分式分母匹配的定值整体，将目标式乘这个整体构造的“1”并展开，得到可以用基本不等式的结构，最后验证等号能够取到，求出最小值即可. 【小问1详解】 由题意得 ，篱笆总长 ，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， ∴当时，篱笆总长最小，最小值为 12 m. 【小问2详解】 由 ，得 ， 则 ， 当且仅当 ，即，时取等号， ∴的最小值为． 19. 设非空数集，对于任意，如果满足：①属于；②属于；③属于；④（分母不为零）也属于.定义：满足条件①②③的数集为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. （1）判断整数集是不是数环；假如该集合是数环，那么它是不是数域； （2）若是一个数环，证明：；若是一个数域，证明：； （3）设，证明是数域. 【答案】（1）是数环，但不是数域 （2）因为是非空数集，取，由②得，所以． 因为是数域，取且，由④得，所以． （3）显然，故非空． 任取，，其中，则 ； ； ． 当时，：否则，若则，矛盾；若则，，矛盾． 于是． 所以满足①②③④，即是数域． 【解析】 【分析】（1）验证加、减、乘是否封闭，再举反例说明除法不封闭； （2）用②取，用④取； （3）按①②③④逐条验证，除法需有理化． 【小问1详解】 对任意，，，都是整数，所以是数环； 但取，，即对除法不封闭，所以不是数域． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $