安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

高一数学 (120分钟 150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|x≥2},则CU(A∪B)= A.{x|-1<x≤2} B.{x|-1≤x<2} C.{x|x<-1或x≥2} D.{x|x≤-1或x>2} 2.已知x≥0,则“x3=8”是“=”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数y=2-x的值域是 A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(0,1] D.[0,1) 4.某单位为了鼓励职工节约用水,对职工宿舍的水费(单位:元)收取作出了如下规定:当一个宿舍每个月的用水量(单位:吨)不超过10吨时,该宿舍的水费按每吨2.96元收取,同时单位每吨补贴1元;若一个宿舍每个月的用水量超过10吨,则超出的部分按每吨5.28元收费,且超出的部分没有补贴.职工小王所在的宿舍5月份应交水费46元,则该宿舍5月份的用水量为 A.25吨 B.20吨 C.18吨 D.15吨 5.已知正数a,b满足8b-a=15,则++b3的最小值为 A.6 B.12 C.15 D.17 6.已知f(x)是定义在R上的函数,且f(6)=4,若g(x)=f(3x)-x+1为奇函数,则f(-6)-3f(0)= A.-3 B.-1 C.0 D.3 7.若方程g(x)=x+a有n个实根,则称函数g(x)为n级a维函数.若函数h(x)=为1级a维函数,则实数a的取值范围是 A.(-∞,1) B.[0,2) C.(-∞,1)∪[2,5) D.(-∞,1)∪[2,+∞) 8.函数f(x)=x3-(a-2)x2+3x+b的图象关于点(1,2)对称,则 A.a=2,b=1 B.a=5,b=1 C.a=2,b=2 D.a=5,b=4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,则下列结论正确的有 A.f(-x)=f(x) B.若f(x)在[1,+∞)上有最小值2,则f(x)在(-∞,-1]上有最大值-2 C.若f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0]上单调递减 D.F(x)=f(-x)|f(x)|是偶函数 10.已知a>0,b>0,关于x的不等式(a+c)x2+(c-2b)x-12>0的解集为{x|x<-2或x>3},则下列结论正确的是 A.a+2b=4 B.a2+4b2≥8 C.+≥2 D.-2≤a2-2ab<16 11.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,f(x-3)的图象关于直线x=3对称,且函数y=的图象的对称中心也是f(x)图象的一个对称中心,则 A.点(1,0)是f(x)的图象的一个对称中心 B.f(2-x)为奇函数 C.f(x)为周期函数,且8是f(x)的一个周期 D.f(2026)+f(2028)=2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若函数f(x)=(m-1)xm+1是幂函数,则f(-3)= . 13.定义集合运算A B={z|z=(x-y)2+(x+y)2,x∈A,y∈B},若集合A={-2,2},B={1,3},则集合A B的所有元素之和为 . 14.记M为|a+b|,|a-b|,|a-2c|,|b-2d|中最大的数,若c+d≥3,则M的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|2a-3<x<a+2},B={x|4-x>2}. (1)当a=2时,求A∪B; (2)若A∩B≠∅ ,求实数a的取值范围. 16.(15分)已知a>0,b>0,且3a+2b-12ab=0. (1)证明:ab≥. (2)求2a+3b的最小值. 17.(15分)某科技公司为了提高产值,引进一条新的生产线,生产一种新型手机,预计这条生产线的固定成本为1 000万元,每生产x万台手机,需再投入成本R(x)万元,其中R(x)=2 000x-+1 000.预测当年最少生产1万台手机,最多生产5万台手机.预计每台手机的售价为4 000元,且假设当年生产的手机当年能全部销售完. (1)根据题设预估条件,求当年的利润y(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数解析式; (2)预估当年的利润y的取值范围. 18.(17分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-ax(a∈R),且f(-1)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)求方程f(x)=1的解; (3)求不等式(x-1)f(x)≤0的解集. 19.(17分)黎曼函数是德国著名数学家波恩哈德 黎曼发现并提出的,其在数学中有广泛的应用.黎曼函数可用R(x)表示,是定义在区间[0,1]上的一种函数,其定义为R(x)= (1)请写出方程R(x)=的解集;(直接写出答案即可) (2)解不等式R(x)>x+; (3)证明:函数y=Rx+是偶函数. 参考答案 1.B解析:因为集合A={x|x<-1},B={x|x≥2},所以A∪B={x|x<-1或x≥2}, 又全集U=R,则∁U(A∪B)={x|-1≤x<2}. 2.C 解析:由x3=8,可得x=2,所以=,充分性成立; 由=,可得x=2,所以x3=8,必要性成立. 所以“x3=8”是“=”的充要条件. 3.A 解析:函数y=2-x的定义域为{x|x≥0}, 令t=≥0,则y=2-x=2t-t2=1-(t-1)2≤1,当且仅当t=1时取等号. 由二次函数的性质可知,函数y=2t-t2(t≥0)的值域为(-∞,1], 所以函数y=2-x的值域是(-∞,1]. 4.D 解析:根据题意,一个宿舍的月应交水费y(单位:元)与月用水量x(单位:吨)之间的关系为y= 显然该宿舍5月份的用水量超过10吨,所以46=19.6+5.28(x-10), 解得x=15,即该宿舍5月份的用水量为15吨. 5.D解析:因为8b-a=15,所以8b=a+15, 所以++b3≥+2=+8b=+a+15≥2+15=17, 当且仅当=b3,=a,8b-a=15,即b=2,a=1时,等号成立, 所以++b3的最小值为17. 6.A解析:因为g(x)=f(3x)-x+1为奇函数,所以g(0)=0,g(-2)=-g(2), 所以f(0)-0+1=0,f(-6)+2+1=-[f(6)-2+1],又f(6)=4, 所以f(0)=-1,f(-6)=-6,所以f(-6)-3f(0)=-3. 7.C解析:因为h(x)=为1级a维函数,所以方程h(x)=x+a有1个实根. 设f(x)=h(x)-x=则方程f(x)=a有1个实根. 画出函数f(x)的图象,如图所示, 由图可知,当且仅当a<1或2≤a<5时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有1个交点, 所以实数a的取值范围是(-∞,1)∪[2,5). 8.B 解析:函数f(x)=x3-(a-2)x2+3x+b的图象关于点(1,2)对称, 则f(1+x)+f(1-x)=4对于任意的实数x恒成立, 即(1+x)3-(a-2)(1+x)2+3(1+x)+b+(1-x)3-(a-2)(1-x)2+3(1-x)+b=4, 整理得(10-2a)x2+2b-2a+8=0.对于任意的实数x,该等式恒成立, 所以解得 9.ACD解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(-x)=f(x),故A项正确; 根据偶函数的图象关于y轴对称可得, 若f(x)在[1,+∞)上有最小值2,则f(x)在(-∞,-1]上也有最小值2, 若f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0]上单调递减, 故B项错误,C项正确; 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x), 所以F(-x)=f(x)|f(-x)|=f(-x)|f(x)|=F(x), 即F(x)=f(-x)|f(x)|是偶函数,故D项正确. 10.ABD 解析:因为a>0,b>0,关于x的不等式(a+c)x2+(c-2b)x-12>0的解集为{x|x<-2或x>3}, 所以,解得a+c=2,c-2b=-2,两式作差可得a+2b=4,A项正确; a2+4b2≥2 2=8,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,B项正确; +=+(a+2b)=4++≥4+2=2, 当且仅当=,即a=2,b=1时取等号,C项错误; 因为a=4-2b>0,所以0<b<2, 则a2-2ab=a(a-2b)=(4-2b)(4-4b)=8b2-24b+16=8b-2-2, 根据二次函数的性质可得a2-2ab=8b-2-2∈[-2,16),D项正确. 11.AC解析:因为函数f(x-3)的图象关于直线x=3对称, 所以f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数. 因为函数y=的图象的对称中心为原点,且函数y=的图象是由y=的图象向左平移1个单位长度得到的,所以y=的图象的对称中心为点(-1,0), 由题意知点(-1,0)也是f(x)的图象的一个对称中心,则f(-1+x)+f(-1-x)=0. 对于A,由f(x)为偶函数,得f(1-x)+f(1+x)=f(-1+x)+f(-1-x)=0, 所以点(1,0)是f(x)图象的一个对称中心,A项正确; 对于B,由A知,f(1-x)+f(1+x)=0,则f(2-x)+f(x)=0,即f(2-x)=-f(x), 因为f(x)为偶函数,所以f(2-x)为偶函数,B项错误; 对于C,由B知,f(2-x)=-f(x),则f(2+x)=-f(-x),所以f(2+x)+f(-x)=f(2+x)+f(x)=0,则f(x)=-f(x+2)=f(x+4), 所以f(x)为周期函数,且4是该函数的一个周期,所以8也是该函数的一个周期,C项正确; 对于D,由A知,f(1-x)+f(1+x)=0,则f(0)+f(2)=0,又4是该函数的一个周期, 所以f(2026)+f(2028)=f(506 4+2)+f(507 4+0)=f(2)+f(0)=0,D项错误. 12.-27 解析:因为f(x)=(m-1)xm+1是幂函数,所以m-1=1,解得m=2, 所以f(x)=x3,则f(-3)=-27. 13.36 解析:已知A B={z|z=(x-y)2+(x+y)2,x∈A,y∈B},集合A={-2,2}, B={1,3}. 若x=-2,y=1,则z=(-2-1)2+(-2+1)2=10;若x=-2,y=3,则z=(-2-3)2+(-2+3)2=26; 若x=2,y=1,则z=(2-1)2+(2+1)2=10; 若x=2,y=3,则z=(2-3)2+(2+3)2=26. 所以集合A B={10,26},则集合A B的所有元素之和为10+26=36. 14.2 解析:若ab≥0,则|a-b|≤|a|+|b|=|a+b|, 故M=max{|a+b|,|a-b|,|a-2c|,|b-2d|}=max{|a+b|,|a-2c|,|b-2d|}≥(|a+b|+|a-2c|+|b-2d|)=(|a+b|+|2c-a|+|2d-b|)≥|(a+b)+(2c-a)+(2d-b)|=|2c+2d|≥2. 不妨取a=b=1,c=d=,此时M=2. 若ab<0,不妨设a<0,b>0. ①当c<1时,因为c+d≥3,则d>2,若b-a>2,此时M≥|a-b|>2, 若b-a≤2,则|a-b|=b-a≤2,此时0<b≤2+a<2,故|b-2d|=2d-b>2,此时M≥|b-2d|>2. ②当c≥1时,由a<0,可得|a-2c|=2c-a>2,此时M≥|a-2c|>2. 所以,当ab<0时,M>2. 综上所述,M的最小值为2. 15.解析:(1)B={x|4-x>2}={x|x<2},当a=2时,集合A={x|1<x<4},所以A∪B={x|x<4}. (2)集合B={x|4-x>2}={x|x<2},A={x|2a-3<x<a+2}, A∩B≠∅ ,需满足解得a<,所以实数a的取值范围是-∞,. 16.解析:(1)证明:因为a>0,b>0,且3a+2b-12ab=0, 所以12ab=3a+2b≥2,所以6ab≥, 解得ab≥,当且仅当3a=2b,即a=,b=时,等号成立. (2)因为a>0,b>0,且3a+2b-12ab=0,所以+=1, 所以2a+3b=(2a+3b)+=+++≥+2=, 当且仅当=,即a=b=时,等号成立. 故2a+3b的最小值为. 17.解析:(1)根据题设预估条件知, y=4 000x-1 000-2 000x-+1 000=2 000x+-2 000,x∈[1,5], 所以当年的利润y(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数解析式为y=2 000x+-2 000,x∈[1,5]. (2)因为y=2 000x+-2 000=2 000x+-2 000,x∈[1,5], 设t(x)=x+,x∈[1,5],令1≤x1<x2≤5, 所以t(x1)-t(x2)=x1+-x2+=(x1-x2)1-.因为1≤x1<x2≤5, 所以x1-x2<0,x1x2>1,则t(x1)-t(x2)=(x1-x2)1-<0, 所以函数t(x)=x+在[1,5]上单调递增,所以2=t(1)≤t(x)≤t(5)=5.2, 所以2 000≤y=2 000x+-2 000≤8 400, 即当年的利润y(单位:万元)的取值范围是[2000,8400]. 18.解析:(1)因为函数f(x)为R上的奇函数,且f(-1)=1,所以f(1)=-f(-1)=-1. 又当x>0时,f(x)=x2-ax(a∈R),所以f(1)=1-a=-1,解得a=2, 即当x>0时,f(x)=x2-2x.因为f(x)是定义在R上的奇函数, 当x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. 又因为f(0)=0满足f(x)=x2-2x,故f(x)= (2)当x≥0时,令x2-2x=1,解得x=1+(舍去负值), 当x<0时,令-x2-2x=1,解得x=-1,所以方程f(x)=1的解为x=-1或x=1+. (3)当0≤x<1时,(x-1)f(x)=(x-1)(x2-2x)≤0,可得x2-2x≥0,解得x=0; 当x≥1时,(x-1)f(x)=(x-1)(x2-2x)≤0,可得x=1或x2-2x≤0,解得1≤x≤2; 当x<0时,(x-1)f(x)=(x-1)(-x2-2x)=(1-x)(x2+2x)≤0,可得x2+2x≤0,解得-2≤x<0. 综上所述,不等式(x-1)f(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤0或1≤x≤2}. 19.解析:(1)依题意,当x=0或x=1或x为(0,1)内的无理数时,R(x)=0,不合题意; 当x=(p,q∈N+,为既约真分数)时,R(x)=,q为大于1的正整数, 则由方程R(x)=,解得x=或x=. 综上,方程R(x)=的解集为. (2)若x=0或x=1或x为(0,1)内无理数,则R(x)=0, 而x+>0,此时R(x)<x+,不合题意. 若x=(p,q∈N+,为既约真分数),则R(x)=,q为大于1的正整数, 由R(x)>x+,得> +,则p+q<6, 又因为x=(p,q∈N+,为既约真分数),所以x=,,,. 综上,不等式R(x)>x+的解集为. (3)证明:要证函数y=Rx+是偶函数,只需证明Rx+=R-x, 即证明函数R(x)的图象关于直线x=对称. 当x=0或x=1时,有R(0)=R(1)=0成立,满足R(x)=R(1-x); 当x为(0,1)内的无理数时,1-x也为(0,1)内的无理数,所以R(x)=R(1-x)=0, 满足R(x)=R(1-x); 当x=(p,q∈N+,为既约真分数)时,1-x=1-=为既约真分数, 所以R(x)=R(1-x)=,满足R(x)=R(1-x). 综上,对任意x∈[0,1],都有R(x)=R(1-x), 所以函数R(x)的图象关于直线x=对称,即Rx+=R-x, 故函数y=Rx+是偶函数. ( 第 6 页 共 10 页 ) 学科网(北京)股份有限公司 $