专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题09数列求和（通项含绝对值数列求和） (典型题型归类训练) 目录 一、典型题型..… 题型一：通项含绝对值.. 题型二：通项含取整函数...。 ·…..5 题型三：通项含自定义符号..9 二、数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练.·.13 一、典型题型 题型一：通项含绝对值 如：求a.2n-11的前n项和T。 【典例1】(26-27高二上江苏连云港阶段检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn, S4=a6+5,a2n=2an+1 (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列la。-8前n项和n 【典例2】(2026吉林长春模拟预测已知数列1a}的前n项和为3，及a3a+5)。 nEN'. (1)求数列{a}的通项公式： (2)若数列b,}满足b,=a。-12，求数列{bn}的前20项和T0的值. 【变式1】(25-26高二上福建莆田·阶段检测)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知 a+a3=2,S3=-5 (1)求{a,}的通项公式： (2)求数列1a}的前10项和。 【变式2】(25-26高二下山东潍坊阶段检测)已知数列{a,}的前n项和为Sn,若 S1-(n+1)S,=2(n+n）,且a=2. (1)证明： 为等差数列，并求Sn及a (2)若b.=an+2n+5,求数列b.-20刚的前20项和T0. 【变式3】(25-26高二上·天津武清阶段检测)已知等差数列a}的前n项和为Sm, a+4,=-2,S3=57 (1)求数列{a}的通项公式a: 2)求数列a.}的前10项和. (3)求数列la.}的前n项和Tn 题型二：通项含取整函数 如：求a=的前m项和工 【奥例1】(25：26高二下河南安阳期中)在数列a}中，a+号+号+…+2-？ 35 2n-13 (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=[a],求数列{b}的前12项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0， [2.6]=2 【典例2】(2026河南安阳·一模)已知数列a}的各项都为正数，4=2，且 d=2dz+ an an+ (I)求数列a}的通项公式： (Ⅱ)设b,=[g(log2a],其中[x表示不超过x的最大整数，如[0.9=0，g99]=1,求 数列也，}的前2020项和. 【变式1】(2026河北衡水·一模)己知等差数列{a,}的前n项的和为Sn,S,=117,a,=19 (1)求数列{an}的通项公式： 2)设6，=1 a,a1，求Tn=+b,+…+b, 3)设c.=[ga],[表示不超过x的最大整数，求{c}的前1000项的和 【变式2】等差数列{an}中，4+a4=4,a+a,=6. (1)求数列a,}的通项公式： (2)设b.=[a】,求数列亿，}的前9项和，其中[x表示不超过x的最大整数. 题型三：通项含自定义符号 如：记(0表示x的个位数字，如(202)=2，(2023》=3 1 求a,=<2m-1><2n+1>的前n项和7 【奥例1】设，为数列a}的前n项和，又=心数列亿}前n项和为7且，-至数列 {cn}满足c,=log2b. (1)求数列{a}和{c}的通项公式： 1 (2)记()表示n的个位数字，如(2018)=8，求数列1a)C的前30项的和， 【典例2】已知数列{a}是以2为公差的等差数列，4，，s成等比数列，数列b}前n项 和为S,且S=n2+2n (1)求数列{a}和{b的通项公式； 1 2)记（似表示x的个位数字，如2022=2,2023》=3”求数列1a,)-6,)的前20项的和 T20 【变式1】已知数列{an}的前项和为Sn,且Sn+an=1. (1)求数列a}的通项公式： (2)记数列{(2n-l)a}的前n项和为Tn. (i)求Tn: (i)若m)表示不大于m的正整数的个数，求T)+(T,)++(T,） 【变式2】设Sn为数列{a}的前n项和，Sn=n2,数列{.}满足b,=4,b=b,+2. (1)求an及bn: 了1 2)记（表示n的个位数字，如(6174）=4求数列a,)-,的前20项和. 二、数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 1.a,=2n-l(neN),bn=2n+1,n∈N,记(x)表示x的个位数字，如 了1 (2022=2,2023》=3”求数列a,)6,)的前20项的和0 2.已知数列a}的前n项和为8，且清足4=S=1-24neN (1)求数列{a}的通项公式： 2)记数列{(2n-)a}的前n项和为Tn.若(m）表示不大于m的正整数的个数， 求(T)+(T)+…+(To〉. 3.已知函数y=[d是高斯函数，其中[y表示不超过x的最大整数，如[0.8]=0,15]=1 若数列{a}满足a=2,且an+aH=2n+3,记bn=[lga,]. (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列{b.}的前2024项和. 4.在①S,=9,S,=20,②公差为2，且S,S2,S4成等比数列；③Sn=3n2+8n;三个条件 中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答问题：己知数列{，}是公差不为零的等差数 列，其前项和为S,一一一 (1)求数列{a}的通项公式： 2)令c=[log2a],其中[x)表示不超过x的最大整数，求G+C2++c0的值. 5.在①S,=6,S=15;②公差为1，且4，a4,a成等比数列；③4=1， 4+4+a+a。=16,三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知等差数列{a}的前n项和为Sa,且满足一 (1)求数列{a}的通项公式： (2)令c.=[ga],其中[x)表示不超过x的最大整数，求9+c2++c. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分， 6.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S,=90,a4是a2和a的等比中项 (1)求数列{a}的通项公式： (2)若{也.}=[g4](其中[网表示不超过x的最大整数)，求数列{b.}的前100项和I. 7.己知数列{a}的前n项和S.=n+n(2∈R),且a,=6,正项等比数列{b.}满足： b=a,b2+b3=a2+a4 (1)求数列{a.}和{b,}的通项公式： (2)若c.=b,-2021,求数列{c}的前n项和T. 8.已知各项均为正数的数列{a,}的前n项和为S,a=1,a,=VS,+√S,(n≥2，n∈N) (1)求证：数列{VS,}是等差数列，并求出{a}的通项公式 者表示不超过x的最大整数，如3=4B=3”求召+ [xl 的值。 9.已知{an}为等比数列，4a,42,a分别是下表第一、二、三行中的数，且4，a2,a中的任何两 个数都不在下表的同一列，{b.}为等差数列，其前n项和为Sn,且a=b,-2h,S,=7a. 第 列 第二列 第三列 第一行 5 第二行 10 第三行 9 8 20 (1)求数列{a},b.}的通项公式： (2)若c,=[gb],其中[]表示不超过x的最大整数，如[lg2]=0,[lg98]=1,求数列{c}的 前80项的和T0. 10.已知{a}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn,{亿}是等比数列，且a=-l, S3=3,a3-1=b,a4-1=b4. (1)求数列{a},{b.}的通项公式 (2)记cn=anbn,求数列cn}的前n项和Tn: [4b. [冈表示不超过x的最大整数，如[2.]=2【1.5=-2，设e,3, 求数列{e}的前 2n项和An 11.已知各项均为正数的数列{a}的前n项和为Sn,a=l,a.=VS。+VS(neN,n≥2)】 1)求证：数列{WS}是等差数列，并求{a,}的通项公式： 1,1 1 2若[问表示不超过，的最大整数，如[-122[2，]=2，求十云++ 的值 12.己知正项数列{a}的前n项和为Sn,且2S,=a,2+a,[x)表示不超过x的最大整数， 如[0.9]=0，[2]=2，[3.1刂=3 (1)求数列{a}的通项公式： 1 2,n为奇数 (2)记b,= 求 的值： a,n为偶数不[6+b+…+hm] 3)记9，=[l0g2a],若9+c,+…+c,≥2025，求n的最小值. 13.已知数列{a}满足a=l,a=2a。+1,数列b.}为等差数列，b为4与a4的等差中 项，且b=a (1)求证：数列{a.+}为等比数列，并求数列{a}的通项公式： (2)若c.=b.,求数列{cn}的前n项和Sn. 14.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知4=1山，S0=40 (1)求{a}的通项公式： (2)当n等于多少时，S最大？最大值是多少？ (3)求数列a}的前n项和T 15.已知Sn是等差数列{am}的前n项和，且a3+a,=2,S2=-24 (1)求{a}的通项公式： (2)求S的最大值： 3)求数列a}的前n项和Tn. 16.数列{a}的前n项和Sn=33n-2, (1)求a}的通项公式： (2)设b。=a,求数列b.}的前n项和Tn. 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sm+2+an=Sn++2a1,a=-7,a=-4. (1)求证：a+2+an=2al,并求数列{a,}的通项公式： 2)求数列a}的前n项和Tn; 18.已知数列{a,}为等差数列，其前n项和为Sn,且S,=-231,a=-25 (1)求{a}的通项公式： (2)求数列a.}的前n项和Tn. 19.己知公差不为0的等差数列{a,}的前n项和为S,且S4=20,4,4,a4成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式： 2记4-8++口，求数列3}的前u项和， (3)记cn=12-a,求数列{c}的前n项和T. 20.设等差数列{am}的前n项和为Sn(neN),a=3,S=35」 (1)求{a}的通项公式： (2)求5n的最大值： 3)设数列la}的前n项和为T,求T. 21.在等差数别a}中，已如4-5，o=9 (1)求通项{a}及前n项和S; (2)求数列la}的前n项和Tn 专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和） (典型题型归类训练) 目录 一、典型题型 1 题型一：通项含绝对值 1 题型二：通项含取整函数 5 题型三：通项含自定义符号 9 二、数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 13 一、典型题型 题型一：通项含绝对值 如：求的前项和 【典例1】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 【答案】(1)（）. (2)（）. 【分析】（1）求等差数列通项，可将题目条件转化为关于首项和公差d的方程组，解出基本量后代入通项公式即可；（2）含绝对值的等差数列求和，先确定通项正负的分界项，再分区间去掉绝对值，分别用等差数列求和公式计算分段结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意， 解得，， 所以（）. （2）设， 所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 再设（）. 当，时， ； 当，时， ． 所以 （）. 【典例2】（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和的值. 【答案】(1) (2)440 【分析】（1）求出，由求出，验证即可求得答案； （2）讨论的取值，得到数列通项公式，然后分组求和求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式为 （2）令，则， 所以当时，，当时，， 所以 . 【变式1】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式，将等式转化为方程组即可求解； （2）通过分析等差数列的通项公式，化简绝对值，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 【变式2】（25-26高二下·山东潍坊·阶段检测）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求及 (2)若，求数列的前20项和． 【答案】(1)由题意可得：， 化简可得：， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， ， (2) 【分析】（1）先对已知条件变形得到，判断为等差数列，求出，再由求出通项公式，并验证是否成立，求出. （2）先求出，进而得到的分段表达式，再分别计算不同段的和得到. 【详解】（1）由题意可得：， 化简可得：， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）因为， 所以， 所以，数列的前项和为： . 【变式3】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求解和，再根据等差数列定义求解通项公式； （2）计算前6项为正项，后4项为负项，再结合等差数列求和公式求解即可; （3）结合等差数列求和公式分类讨论和时数列的求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 由，得，即， 联立，解得，故， 所以. （2）由（1）知，若，解得， 故时，，时，， 所以， 又因为 所以数列的前10项和为. （3）由（2）知故，时，， 所以； 当时，， 所以 综上所述. 题型二：通项含取整函数 如：求的前项和 【典例1】（25-26高二下·河南安阳·期中）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可； （2）求出前12项的每一项，最后求和即可. 【详解】（1）当时，，①， 所以当时，②， ①②得， 即也满足该式，所以. （2）由（1）知， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依次类推，可知. 所以数列的前12项和为. 【典例2】（2026·河南安阳·一模）已知数列的各项都为正数，，且． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，其中表示不超过x的最大整数，如，，求数列 的前2020项和． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4953 【分析】（Ⅰ）递推公式变形为，由数列是正项数列，得到，根据数列是等比数列求通项公式； （Ⅱ），根据新定义和对数的运算分类讨论数列的通项公式，并求前2020项和． 【详解】（Ⅰ）∵，∴，∴ 又∵数列的各项都为正数，∴，即． ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴． （Ⅱ）∵，∴，． ∴数列的前2020项的和为． 【点睛】本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前项和，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型. 【变式1】（2026·河北衡水·一模）已知等差数列的前项的和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)设，表示不超过的最大整数，求的前1000项的和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题意求出等差数列的首项和公差后可得其通项公式；（2）由题意得，然后根据裂项相消法可求出数列的和；（3）根据分组求和法可得的前1000项的和． 【详解】（1）由题意得， ∴． 设等差数列的公差为， 则， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∴ ． （3）由（1）得， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． ∴， ∴数列的前1000项的和为． 【点睛】（1）对于等差数列的运算，在解题时可转换为基本量（首项和公差）的运算来处理．求数列的和时，可根据通项公式的特点，选择合适的方法求解． （2）解答数列中的新概念问题时，要读懂给出的信息，从中找到解题的思路和方法，然后再进行求解． 【变式2】等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前9项和，其中表示不超过的最大整数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据等差数列通项公式定义，求得首项与公差，即可得到通项公式． （2）分类讨论在n取 的整数时，的取值，进而求得前9项的和． 【详解】（1）设数列的公差为d， 由题意有，，解得， 所以的通项公式为． （2）由（1）知， 当1，2，3时，； 当4，5时，； 当6，7，8时，； 当9时，， 所以数列的前9项和为． 【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列前n项和的求法，属于基础题． 题型三：通项含自定义符号 如：记表示x的个位数字，如 求的前项和 【典例1】设为数列的前项和，.数列前项和为且.数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）记表示的个位数字，如，求数列的前30项的和. 【答案】（1）；；（2）. 【分析】（1）利用可求数列的通项，利用可把转化为，因此数列为等比数列，利用等比的数列的通项公式可求其通项，从而得到的通项公式. （2）结合（1）的通项公式可得是周期数列，且周期为5，从而利用分组求和法可求前30项的和. 【详解】解：（1）. 时，，符合上式. ∴. 又，， 而当时，，， 因为，故，因此，所以数列为等比数列， 故，故. （2）由（1）得，， 因为表示的个位数， 因此均为周期数列，且周期为5. 将数列中每5个一组，前30项和可分为6组， 其前30项的和为 . 【点睛】本题考查数列通项以及数列求和，一般地，数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化，另外，数列求和应该根据通项的形式选择合适的求和方法，本题属于中档题. 【典例2】已知数列{an}是以2为公差的等差数列，a1， a2，a5成等比数列，数列{bn}前n项和为Sn，且Sn=n2+2n. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)记表示x的个位数字，如， 求数列的前20项的和T20. 【答案】(1)，bn =2n+ 1； (2). 【分析】（1）根据等比中项可求出a1=1可得，再由求即可； （2）根据新定义，分析{<an>}，{< bn> }均为周期数列，结合周期性根据裂项相消法求. 【详解】（1）由a1，a2， a5成等比数列可得，即，解得a1=1， 所以，又， 则有， 当n≥2时，，   所以bn =2n+ 1，又满足此式 综上，. （2）因为<an>，< bn >分别表示an，bn的个位数， 所以{<an>}，{< bn> }均为周期数列，且周期为5， 将数列中每5个一组，前20项和可分为4组， 其前20项的和T20为 【变式1】已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若表示不大于的正整数的个数，求． 【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ）． 【分析】（1）当时，构造，与条件中的式子，两式相减，得，转化为等比数列求通项公式； （2）（ⅰ）由（1）可知，利用错位相减法求和；（ⅱ）根据（ⅰ）的结果，分别求的值，根据的定义，求解. 【详解】（1）因为，所以当时，，解得． 当时，，则， 整理得，即． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． （2）（ⅰ）由（1）知， 则， ， 两式相减得 ， 所以．     （ⅱ）表示不大于的正整数的个数， ，所以； ，所以； ，所以； 当时，，则． 所以． 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问结合新定义考查数列问题，解题的关键是需要考生耐心读题，对逐项分析，探究新定义的特点，最终使问题得以解决． 【变式2】设为数列的前项和，，数列满足. (1)求及； (2)记表示的个位数字，如，求数列的前20项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据，可求数列的通项，符合等差数列定义，可直接求出通项； （2）根据、的前5项可知数列是有周期性的，故可以求出前5项的和，再乘以4即可. 【详解】（1）当时，，由于也满足，则. ，，，是首项为3，公差为2的等差数列，. （2），的前5项依次为1，3，5，7，9. ，的前5项依次为3，5，7，9，1. 易知，数列与的周期均为5， 的前20项和为 . 二、数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 1．，，记表示的个位数字，如， 求数列的前20项的和 【答案】 【分析】由定义可得为1,3,5,7,9、为3,5,7,9,1周期数列，将数列中每5个一组，前20项和可分为4组再利用裂项相消计算可得答案. 【详解】因为，分别表示，的个位数， 所以为1,3,5,7,9的周期数列，且周期为5， 为3,5,7,9,1周期数列，且周期为5， 将数列中每5个一组，前20项和可分为4组， 其前20项的和为 故答案为：. 2．已知数列 的前 项和为 ， 且满足 (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 的前 项和为 ． 若 表示不大于 的正整数的个数， 求 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以 两式相减得                  故， 所以数列是等比数列，公比为                           即 （2）因为， 则，               两式相减得 所以                                                                        显然，且即为递增数列，       ， 所以 所以. 3．已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出，将两式和做差，得出关于的隔项关系式，根据累加求和，求得通项即可； （2）由于……，给出“当时，，……”等结论，分组计算数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，将两式相减，得：， 所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列. 当为奇数时，，，……，且， 则， 当为偶数时，则， 所以. （2）设的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 4．在①；②公差为，且成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，______. (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求的值. 【答案】(1)选①，；选②，；选③， (2)选①，58；选②，69；选③，106 【分析】（1）首选选择①②③其中之一，然后计算出等差数列的首项和公差，从而求得. （2）根据数列的规律求得. 【详解】（1）依题意，数列是公差不为零的等差数列，设其首项为，公差为. 若选①，则，解得，所以. 若选②，则，解得，所以. 若选③，则，所以. （2）若选①，，则当时，有： ，所以. 若选②，，则当时，有： ，所以. 若选③，,则当时，有： ，所以. 5．在①，；②公差为1，且，，成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知等差数列的前项和为，且满足______． (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过的最大整数，求． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出等差数列的基本项，求出数列的通项公式； （2）由（1）求出，求出、、和，求出当时，当时，当时，求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 若选①， 因为，， 所以解得， 所以； 若选②， 因为等差数列的公差为1，且成等比数列， 所以，即， 解得，所以； 若选③， 因为等差数列中，，， 所以，即， 解得，所以； （2）由（1）知， 因为，，，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以． 6．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，是和的等比中项 (1)求数列的通项公式； (2)若（其中[x]表示不超过x的最大整数），求数列的前100项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 设等差数列的公差为d（d≠0），根据题意列出方程，解之即可； (2)根据数列特点采用分组求和法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d（d≠0）， 因为是和的等比中项，所以， 即，整理得， 因为d≠0，所以① 又因为：，所以，整理得② 由①②联立得：， 所以，即. （2）已知，由（1）可得：, 所以. 7．已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【分析】(1)利用公式，求出，再结合即可求出的值，再利用公式即可求出数列的通项；根据已知条件列出方程，可求出数列的首项和公比，再根据等比数列的通项公式求解即可； (2)去掉绝对值可得，再对分和讨论求和即可. 【详解】(1)当时，， 由，得，即， 当时，，当时，， 所以； 设正项等比数列的公比为，则， 所以，解得或(舍)， 所以. (2)， 所以当时,， 当时，， 即 8．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式 (2)若表示不超过x的最大整数，如，．求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）由与的关系结合等差的定义证明数列是等差数列，并求出的通项公式； （2）由裂项相消求和法结合不等式的性质得出，再由题设定义得出的值． 【详解】（1）因为，所以当时，， 即，而，有， 所以， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列； ，则， 当时，， 又满足上式，所以的通项公式为． （2）因为，所以当时，， 故， 当时，，所以对任意的，都有． 又， 所以，所以． 9．已知为等比数列，分别是下表第一､二､三行中的数，且中的任何两个数都不在下表的同一列，为等差数列，其前项和为，且. 第一列 第二列 第三列 第一行 1 5 2 第二行 4 3 10 第三行 9 8 20 (1)求数列的通项公式； (2)若，其中表示不超过的最大整数，如，求数列的前80项的和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据题意可得，进而可得，再根据等差数列的基本量关系求解可得； （2）先分别求出当时的值，从而确定中等于0，1，2的值，再求和即可. 【详解】（1）由题意知 所以等比数列的公比. 设等差数列公差为，则 所以，所以. （2）由（1）可得，当时，，当时，，当时，. 故 10．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列定义求出数列的公差，可得其通项公式，再求出数列中的两项可得其公比，即可求出的通项公式； （2）根据（1）中的通项公式利用错位相减法计算可求出； （3）根据的定义以及二项式定理可知当时，，当时，，再结合等比数列前项和公式即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 所以， 即可得数列的通项公式为； 所以可得，即可得； 因此等比数列的公比为， 所以， 即的通项公式为， （2）由（1）可知， 因此； 可得， 两式相减可得 ； 所以可得； （3）易知， 又因为， 显然当为奇数时，，此时除以3的余数为2， 因此当时，； 当为偶数时，，此时除以3的余数为1， 因此当时， 经检验可知当时，，当时，，当时，，当时，； 所以数列的前项和 ； 即可得. 11．已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求证；数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，求的值. 【答案】(1) 因为，所以当时，， 即，而，有， 所以 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列； ，则 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. (2) 【分析】（1）用 替换给定关系中的，求出，由此求出进而求出. （2）对适当放大为，再利用裂项相消法求其前项和，再确定这个和所在区间即可得解. 【详解】（1）略 （2），当时，， 故， 当时，，所以对任意的，都有， 又，所以.所以. 12．已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. (1)求数列的通项公式： (2)记，求的值； (3)记，若，求n的最小值. 【答案】(1) (2)2551 (3)316 【分析】（1）利用递推关系可证明等差数列求通项公式； （2）利用分组求和，放缩求和可求值； （3）利用对数运算性质来估计项数，即可求解. 【详解】（1）由，当时，可得， 两式相减可得： 所以，（），又因为， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即； （2）由， 则， 因为， ， 所以， 即. （3）由，则，，，， 可得：当时，，， 当时，记 则 两式相减可得： 则， 因为时，，，所以 则 所以，因为，所以，所以. 13．已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) 因为，所以， 即， 又因为，所以，即. 所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 则，所以. (2) 【分析】（1）由题意可得，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可求数列的通项公式； （2）设数列公差为，利用已知求得数列的通项公式.法一：当时，，当时，，进而计算可求得.法二：记数列前项和为，利用等差数列的前项和公式求得，结合，可求. 【详解】（1）略 （2）设数列公差为， 由（1）知，， 因为为与的等差中项，所以， 又因为，则. 所以. 解法一： 当时，， 当时，， . 综上，数列的前项和. 解法二： 记数列前项和为，则 . 又因为， 当时，. 当时， . 综上，数列的前项和 14．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)当等于多少时，最大？最大值是多少？ (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当时，最大，最大值是 (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，据题意求出，由可得的通项公式； （2）求出的前项和公式，根据二次函数的最大值求法求得的最大值； （3）分析的项的特征，分段写出数列的通项公式，结合等差数列的前项求法，即可分段写出其前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得. 所以的通项公式为； （2）由（1）知，. 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以当时，最大，最大值是. （3）令，得，所以 . 因为，所以. 所以当时，； 当时，. 所以. 15．已知是等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)25 (3) 【分析】（1）根据题意结合等差数列通项公式和求和公式可得，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而分析最值； （3）分和两种情况，讨论的符号，结合运算求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，可得，解得， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 当时，取到最大值为25． （3）由（1）可知：， 时，当时， 当时，则； 当时，则； 综上所述：. 16．数列的前项和， (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系进行求解即可； （2）含绝对值的数列前项和，需先确定数列正负分界点，再分段讨论. 【详解】（1）当时，， 又当时，满足， 故的通项公式为； （2）由（1）知，当时，；当时，； 所以当时，； 当时， ； 故 17．已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【答案】(1) 因为，所以， 即， 所以数列为等差数列，故，. (2) 【分析】（1）根据等差中项定义证明可得结论，再利用等差数列通项公式即可求得数列的通项公式； （2）对数列中各项的正负，讨论并取绝对值求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上，. 18．已知数列为等差数列，其前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式求，即可得通项公式； （2）根据的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 则，即的通项公式为. （2）由（1）可得，， 令，解得，则； 令，解得，则； 当时， 则； 当时，则； 所以. 19．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的求和公式，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解； （3）由（1）知，得到，分类讨论，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，可得，所以， 因为成等比数列，可得，即， 即，即，所以， 联立方程组，解得，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知：数列的通项公式为， 则， 所以，所以， 则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以数列的前项和为. （3）由（1）知：，可得， 设，可得的前项和为 当时，可得，则； 当时，， 可得 ， 综上可得，数列的前n项和. 20．设等差数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2)36； (3)； 【分析】（1）根据通项公式及求和公式求解即可； （2）求得，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意可得数列的前6项为正，从第7项起为负，分和，分别求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以当时，取最大值，为36； （3）令， 解得， 又因为， 所以， 即数列的前6项为正，从第7项起为负， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以 ， 综上，； 21．在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $