数列求和专练-2026届高三数学二轮复习

数列求和专练 一、裂项相消法求和 1．已知等差数列中，为其前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 2．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．等比数列中，，且数列单调递增. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 4．记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 二、错位相减法求和 6．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且． (1)求和d； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 7．等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和. 8．已知为等比数列，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 9．已知数列的前n项和为，且满足 (1)证明数列为等比数列，并求它的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 10．已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《求数列通项公式专练》参考答案 1．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求与，进而可得数列的通项公式. （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. （2）由（1）可得， 故. 2．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由① 由， 即② 联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）， 则 . 3．(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义与性质列方程计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由题意得，解得， 因为单调递增，所以，                       所以的通项公式为， 即； （2）因为，所以，                                            记，则，                            所以， 即， 综上所述. 4．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式和求和公式列方程组求得，，即可求解通项公式； （2）由（1）得，所以，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知， 解得，，故； （2）由（1）得，所以， 数列的前项和为. 5．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，① 由，②，联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）设， 则 . 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）由列出方程组求解即可； （2）根据等差数列通项公式即可求解； （3）根据错位相减法即可求解． 【详解】（1），由，解得， 所以． （2）． （3）， 则①，②， ②①得，． 7．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项与前n项和的基本量运算，列方程，求出首项与公差，即得数列通项； （2）利用错位相减法求即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 由题意，解得， 所以. （2）由（1）知， 所以的前项和 所以 ①－②得， 故. 8．(1) (2) 【分析】（1）设的公比为，利用等差中项和等比数列通项公式建立关系求出，得解； （2）利用错位相减法求解. 【详解】（1）设的公比为，因为为，的等差中项， 所以，即， 则，解得， 所以. （2）设的前项和为，又， ，① ，②                                     ①②得， 所以. 9．(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据递推式可得，结合等比数列的定义判定证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 【详解】（1）由题设，则，整理得， 又， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，则. （2）由，则， 所以， 所以， 所以. 10．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为,根据等差数列通项公式及前n项和公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. （2）由（1），得， ∴数列的前项和 ∴   ∴ 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $