专题06 数列求和（裂项相消法）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：等差型 2 题型二：无理型 6 题型三：指数型 8 题型四：通项裂项为“+”型 12 三、数列求和（裂项相消法）专项训练 16 一、必备秘籍 常见的裂项技巧 类型一：等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 类型二：无理型 ① 如： 类型三：指数型 ① 如： 类型四：通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 二、典型题型 题型一：等差型 【典例1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知数列满足：，，，设． (1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)设，求数列前项和． 【答案】(1)，故，即， 所以数列为等差数列，公差为1，首项， 故； (2) 【分析】（1）变形得到，证明出为等差数列，求出首项，得到通项公式； （2）在（1）的基础上，利用累加法得到的通项公式，并裂项得到，进而求和即可 【详解】（1）略 （2）， 则 ， 而也符号上式，故, ， 所以 【典例2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）由结合题设可得数列是以为首项，6为公差的等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合裂项求和法可完成证明. 【详解】（1）由，得， ，即，， 数列是以为首项，6为公差的等差数列， . ， ，. 当时，，满足上式， 数列的通项公式为； （2）证明：， . 【变式1】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前n项和. 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）以等比中项为等量关系建立公差的方程，解出公差后代入等差数列通项，注意公差为 0 的常数列情况；（2）对分式型通项因式分解后裂项，通过裂项相消法抵消中间项，化简得到前 项和. 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由等差数列通项公式得，， 因为 成等比数列，得，即，整理得，解得 或 ， 当 时， ；当 时， ； （2）由公差不为零，得 ，因此 ， 则 ， 所以 ， 故数列的前n项和为. 【变式2】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知数列 的前 项和是 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，证明 . 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）由与的关系，可得，并求得，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，求得数列的通项公式； （2）先求得，再求得，根据裂项相消求和法求得，由此即可证明结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，即． 又当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． （2） 由（1）得，又 ， 所以， 所以， 即， 所以． 因为，所以，所以. 【变式3】（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列中，，且对任意的，，都有． (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，对任意的，，都有，又， 则对任意的，，，所以数列是公差为2的等差数列， 又，，所以，解得，故，所以； （2）由（1）可知，， 所以当时，， 故． 题型二：无理型 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象过点，令，．记数列的前项和为，则______． 【答案】 【详解】由，所以. 所以. 所以. 【典例2】（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知数列满足，记的前项和为，则满足的的最小值为______． 【答案】 【详解】因为 ， 所以的前项和， 随的增大而增大，，， 所以满足条件的的最小值为． 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）离散型随机变量的分布列为为常数，则______. 【答案】 【分析】结合裂项相消求和法，根据离散型随机变量的概率之和为1列方程求解即可. 【详解】， 因为， 所以，解得. 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，若，则数列的前n项和_________． 【答案】 【分析】根据所给递推关系，得出，两式相减即可求解通项公式，再利用裂项相消求和即可得解. 【详解】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 故答案为： 【变式3】（2026高一下·上海·专题练习）已知数列，当时，______. 【答案】99 【分析】裂项相消求和，再解方程即可. 【详解】， 则. 解得. 故答案为：99. 题型三：指数型 【典例1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)在数列中，由，得，， 而，则，， 于是 ，而 ， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. (2). 【分析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）由（1）得，再求出，从而可得，然后用裂项相消法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，， 则， 所以. 【典例2】（2026·浙江·三模）正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 【变式1】（25-26高二下·广东江门·期中）已知数列的前项和为，且． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)已知，求数列的前项和，并证明：． 【答案】(1)略 (2)略 【分析】（1）利用前项和与第项的关系变形，再利用等比数列定义推理证明，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和，并借助单调性推理得证. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 当时，，即，解得，， 因此是以为首项，以为公比的等比数列，， 所以. （2）由（1）知，， 因此， 则 ，对，， 又数列单调递减，则数列单调递增，因此， 所以. 【变式2】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）通过等比中项进行转化，因式分解得到方程，分类讨论舍去矛盾式，进而求得公比. （2）将数列通项写出代入进行裂项，利用裂项相消求得和. 【详解】（1）由等比数列性质得， 整理得， 若，所以， 两式相减，则，这与为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去. 所以，，两式相减得， 故的公比． （2）由，令则．此时， ， 故的前n项和 【变式3】（2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件式变形得，构造常数列求得，再利用时推导出，确定为等比数列，进而得到通项公式； （2）先由（1）求得，将裂项为，再通过裂项相消法求和，化简得到的表达式． 【详解】（1）由，得． 所以，即． 当时，，整理得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）由（1）得， 所以， 所以， ， 整理得． 题型四：通项裂项为“+”型 【典例1】（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知正项数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列为等差数列； (2)已知，求数列的前项的和； 【答案】(1)略 (2) 【详解】（1）因为 当时， 所以. 又，有，又， 所以，所以， 因为，所以， 又，可知，. 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可得，. 当为偶数时，. 当为奇数时，. ∴ 【典例2】（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）根据与的关系求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求数列的前项和，再根据数列的单调性证明. 【详解】（1）由题意. 当时，. 当时，，， 两式相减，得 所以， 又因为，所以. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以. （2）证明：因为， 所以 ， 因为为单调递增数列，且, 所以. 【变式1】（24-25高二下·江西上饶·期中）已知等差数列为递增数列，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 【答案】(1) (2)，最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据等差数列的性质可得，求出后可求公差和首项，从而可求通项； （2）利用裂项相消法可求，结合不等式的性质及数列的单调性可求的最值. 【详解】（1）等差数列为递增数列，且满足，故， 即，解得，(不符合递增数列舍去)， 所以该数列的公差， 所以通项公式为． （2）由（1）可得， 又. 当为奇数时， 所以， 同理，当为偶数时， 故， 为奇数时，， 此时， 故的奇数项构成递减数列，故 为偶数时，， 此时， 故的偶数项构成递增数列，故 故的最大值为，最小值为． 【变式2】（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，结合等差数列的性质构成方程组解出，求出公差和首项，然后可得； （2）由裂项可得，然后求和即可. 【详解】（1）∵等差数列为递增数列，∴， ∵，即，∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∴． （2）由（1）可得， ∴， ∴数列的前n项和 . 【变式3】（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，，求数列的前n项和. 【答案】(1) 因为，故， 又为等差数列，所以， ， 当时，，， 又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列； (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到，然后利用得到，最后根据等差数列的定义证明即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）略 （2）由于，结合（1）知，， ， 所以. 三、数列求和（裂项相消法）专项训练 一、单选题 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足对任意正整数，恒有，且，，则的前30项的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，令，可得，可得是等比数列，求出，进而求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】由对任意正整数恒成立， 令，得，又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，即； ， 所以的前30项和为. 2．（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由递推关系可得数列是首项为、公差为的等差数列，进而可得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 3．（2025高三上·全国·竞赛）问下面和式的值是多少？（    ） A． B． C． D． E．1 【答案】C 【分析】利用对数运算性质化简分子，再根据裂项相消求和. 【详解】由， 代入原通项得：， 所以 ， 代入，可得： . 4．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义可得，利用裂项相消法可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，可得， 由题意可知：在点处的切线斜率为，即， 则，可得， 则数列的前项和， 所以． 5．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以 ， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 6．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知数列满足，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【详解】， ∴，又， 所以， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，则． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 7．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）记为数列的前项和，已知，，则下列正确的是（     ） A． B．取最小值时 C．不是等差数列 D． 【答案】D 【分析】先对已知递推式变形证明是等差数列，求出和的通项，再逐一判断各选项正误. 【详解】对于A，已知，取，得. 解得，即，故A错误； 对于B，将递推式两边同除以，得， 故是首项为、公差为1的等差数列， 因此，即. 则，，该二次函数开口向上，对称轴为， 故或时取最小值，故B错误； 对于C，当，时，， 时也满足该式，故，，则，即是公差为0的等差数列，故C错误； 对于D，由得， 因此，故D正确. 8．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求公比，进而得，再由裂项相消法求，最后解二次不等式即可求解. 【详解】等比数列的前项和为，公比设为，由，得， 所以，解得或（舍去），所以， ， ， 由不等式恒成立，可得，解得，或. 9．（25-26高二下·江西九江·期中）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【分析】由题意可得，进而可得周长及，根据裂项相消法求和可得，即可得出答案． 【详解】根据题意：， 得，，，… 故， ， ， . 二、填空题 10．（26-27高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知正项数列的前项和为且满足：，则________．若，记表示不超过的最大整数，则________． 【答案】 18 【分析】根据，可以求出的表达式，利用放缩法结合的意义进行求解即可. 【详解】(1)当时，，因为各项为正数，解得， 当时，由，及得，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 因此， 所以. (2)因为时，， ； 因为时，， ； 所以. 11．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________． 【答案】 【分析】数列表示所有正奇数，分是奇数和偶数分析数列中项的奇偶性. 【详解】已知，数列的项为正奇数， 当为奇数时，设，则是偶数，则数列与没有公共项； 当为偶数时，设，则是奇数，符合要求，则数列与的公共项就是， 即， 故. 12．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知为数列的前n项和，且，则数列的前20项和为________． 【答案】 【分析】先求出数列的通项公式，再利用裂项相消求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 满足， 所以， 设为数列的前项和， 所以 ， 所以. 三、解答题 13．（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若等差数列满足，，，求的前项和. (3)设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由结合题设可得，然后由与关系可得答案； （2）记的公差为，由题设并验证可得，然后由错位相减法可得答案. （3）由（1）求出的 的通项公式 ，分类讨论 和 ，利用裂项相消法求出 的表达式后，利用其单调性求出范围，即可解出 的最小值. 【详解】（1）由，可知是公比为的等比数列，故， 当时，，，故， 由得，又，所以， 故； （2）记的公差为，由可知， 由得，即， 整理得，即，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 故的通项公式为.所以， 当时，，， 两式相减，得到， 又注意到时，，满足， 故. （3）由（1）可知， ， 由， 当 时，，，则 ； 当 时，，，则； 所以， 因为 ，所以 ，故 ， 因此 恒成立，又因为随着 增大， 增大， 减小， 而当时，. 若不等式 对任意的 恒成立，则需 ，即 ， 因为 为整数，所以 的最小值为 . 14．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列，，其中数列是等差数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，记集合，求集合中所有元素的和． 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）通过赋值联立方程组求出，利用等差数列通项公式求出，再根据条件变形得到； （2）先求出的表达式，对分式裂项，再利用裂项相消法求和； （3）对分奇偶讨论求出前项和，依据条件筛选集合中的元素，再计算集合中所有元素的和. 【详解】（1）由，令，得；令，得. 联立，解得； 联立，解得. 因为是等差数列，所以公差，故数列的通项公式为. 因为，所以的通项公式为. 综上，，. （2）由（1）得：，， 因此， 故用裂项相消法求数列的前项和： . （3）由（1）知，当为偶数时，令，则 ， 故 ， 由，且为偶数，解得符合条件的为，即. 当为奇数时，为偶数，， ，又，所以所有不大于100的奇数. 综上，集合中所有元素的和. 15．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知数列 满足 ，且 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式； (3)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) 因为，即，又因为， 所以是以首项为，公差为的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）分别利用错位相减法和裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）得， ，所以. （3）已知 ， 令 ，则， 两式相减，得，所以， 又因为， 所以. 16．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）在各项都是正数的数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）利用平方差公式因式分解，两边约去正数，构造新数列求通项； （2）对进行裂项，利用裂项相消法，求出前n项和，再利用放缩证明不等式. 【详解】（1）由， 得， 又，所以． 又，所以数列是首项为6，公差为4的等差数列． 所以，即． （2）证明：由（1）知，所以． 所以． 因为，所以，． 17．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，作差可得，从而得到数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式即可. （2）将代入可得其通项公式，从而转化出，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，. 所以，即. 又，满足. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. （2） 所以. 所以. 18．（25-26高二下·陕西商洛·期末）设等差数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. （2）根据裂项相消法证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以． 又，所以公差， 所以． （2）由（1）知， 所以     ． 19．（25-26高二下·湖南长沙·期末）向量，，其中数列、均为正项等比数列．定义，向量满足，． (1)若数列、的公比相等，求向量． (2)若． （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由题意知，，结合和求解即可. （2）（i）由求出公比，即可求出通项公式. （ii）求出，结合裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由题意知，. 设、的公比分别为、（，），则，， 由和，得 ，则，所以， 若，则，所以． 所以． （2）（i）由，得， 又，所以，，则． （ii）由（i）得，，则， 所以， 则， 所以数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $专题06数列求和（裂项相消法）（典型题型归类训 练) 目录 一、必备秘籍... 二、典型题型.. ….2 题型一：等差型 题型二：无理型.… 题型三：指数型.. ….5 题型四：通项裂项为“+”型.. 三、数列求和（裂项相消法）专项训练.. 一、必备秘籍 常见的裂项技巧 类型一：等差型 1一=11-1 ①nn+kknn+k 特别注意=1，。k=-1,1上」 n(n+1)nn+1 'n(n-1)n-1 n 1111 ②-la+02a-n+ 1_111 如：4n2-122n-2n+1（尤其要注意不能丢前边的2) 类型二：无理型 /nk 1二 如：√n+l+√n =n+1-√n 类型三：指数型 (a-1)a"_1 1 ① (a+k)(a”+k)a”+ka+k 2” 1 1 如： (2*1+)(2”+k)2”+k2+k 类型四：通项裂项为“+”型 如：①-旷0品=(-)（后+） n(n+1) 本类模型典型标志在通项中含有(-)“乘以一个分式. 二、典型题型 题型一：等差型 【典例1】(26-27高三上四川成都阶段检测)已知数列{a,}满足：a=2,42=3, an+2-2a+l+an=1,，设bn=an+l-an (1)求证：数列b}为等差数列，并求其通项公式： 2)设， a+n-2,求数列{c}前n项和s。· 【典例2】(26-27高三上陕西西安阶段检测)已知数列{an}的前n项和为S,a=36, an=12/S,+36 (1)求数列{a}的通项公式： 2)若6，=1 4,设数列6，}的前n项和为，证明：工< 2592 【变式1】(26-27高三上四川成都阶段检测)已知等差数列an}满足：4=2，且4a,42 ,a4成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式： 1 2)若等差数列a}的公差不为零，且数列，}满足：6，aG一，求数列{么，}的前”项和工 【变式2】(26-27高二上江苏连云港阶段检测)已知数列{a,}的前n项和是S。, 且3Sn+a,=3(neN). (1)求数列{a}的通项公式： 设久=.0-8小以的的*+，正明乙<号 1,1 1 +…十 【变式3】(26-27高三上甘肃兰州阶段检测)已知数列{a,}中4=1，a=9,且对任意 的n≥2，neN,都有an+an-=2(an+1). (1)设b,=a41-an,求数列{凸}的通项公式： 〔1 2)求数列b,bn 的前n项和s。 题型二：无理型 【典例1】(2026高三·全国专题练习)已知函数f(x)=x“的图象过点(4,2)，令 1 a,f+l)+fm,neN·记数列{a,}的前n项和为S,则S4= 【典例2】(25-26高三下·安徽合肥阶段检测)已知数列a}满足 a,=(2n+1+2n+1-n,记{a,}的前n项和为S,则满足S,>100的n的最小值为 【变式1】(25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测)离散型随机变量X的分布列为 P(x=)=n+n+a=l2,15).a为常数，周g= 【变式2】(25-26高二上江苏苏州阶段检测)己知数列{a}满足 1 24+24,+…+2a+a,=32”-n-3若，+a,则数列c}的前n项和 T,= 1 【变式3】2026高一下上海专题练习)已知数列4，+1+而，当之49时，n 题型三：指数型 【奥例】（206L苏南京模摄模测已知效列a中，4=3，Q2 an+21 日设么=4品。，运明：数列6}是等比数列： a. 2)设。26+），求数列{c}的前n项和S。 【典例2】(2026浙江三模)正项数列{a}的前n项和Sm,且 S,=2(S+S2 +..+S )-n. 1)证明：数列{NS,}是等差数列 (2)求数列 a2的前n项和T: 0n+1An+2 【变式1】(25-26高二下·广东江门期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+a,=2n (1)证明{a。-是等比数列，并求{a}的通项公式： 3m+ 2已知a,求数列a-6的前n项和T并明：名≤< 1 【变式2】(2026辽宁铁岭模拟预测)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知 a,a2=(Sn+2）2. )求{a}的公比： n2-2n-1 2)求a. 的前项和T, 【变式3】(2026山东烟台二模)已知正项数列{a}的前n项和为S,a=1,且 (S+1)a=(S+1)a. (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列 a s3的前n项和 n 题型四：通项裂项为“+”型 【典例1】(25-26高二上湖北武汉期末)已知正项数列a,}的前n项和为S,满足4=1 ,i+++=82. (1)证明：数列{a}为等差数列： 2)已知6.=(-1)2m+1 aa,求数列{，}的前n项的和T: 【典例2】(2026-四川攀枝花一模)已知数列{a}的前n项和为S。,a,>0(n∈N),且 4,an+1,Sn成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： 似若6=(2，的激列6的前2n顶和为，证别：号s五，<1， 【变式1】(24-25高二下·江西上饶期中)已知等差数列{a,}为递增数列，且满足 a443=63,S8=64 (1)求{an}的通项公式an: 2)若数列c,}满足，=(-1)如 a,a,,求{c}的前n项和Hn,并求H最大值、最小值. 【变式2】(25-26高三上广西南宁阶段检测)已知等差数列{a}为递增数列，其前n项 和为Sm,满足a4=63,Sg=64 (1)求{a}的通项公式an: 2考数列，}满足9，=(-少，” a,a,求{c}的前n项和工 【变式3】(25-26高二上甘肃期中)已知数列{am}中，4=3a,前n项和为Sm,且 {S.}为等差数列： (1)证明：数列{a}是等差数列： 2已知2=1,6.=-(-1,4h a.a,,求数列{b,}的前n项和工 三、数列求和（裂项相消法）专项训练 一、单选题 1.(26-27高三上·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知数列{a,}满足对任意正整数m,n恒有 a-日》4，且4=2，。a+说a+2,剥h的前30项的和为() A.225 B.225-1 C.226 D.226-1 an 2.(26-27高二上甘肃白银阶段检测)已知数列{a}满足4=1，且am=1+3a,则数列 {a.a}的前n项和为Tn=() 3n 3n n n A.3n+l B.3n-2 C.3n+1 D.3m-2 3.(2025高三上全国·竞赛)问下面和式的值是多少？() e,+ g,nog,m+方 A. B.11og255 c 。.将 E.1 4.(25-26高二下湖北武汉期末)已知函数f(x)=-1的图象在点A1,f()处的切线 1 与直线8x-y+2=0平行，设数列了阿的前n项和为S,:则S,的值为() 2025 2026 2025 2026 A. B 2026 2027 C. 4053 D.4053 5.(25-26高二下·云南文山阶段检测)已知数列{an}满足a=6,a+1-2=an+2n,则 1+1++ 4a2a20 9 A.10 10 B.11 。9 6.(25-26高二下-四川泸州期中)已知数列{a}满足a=2,a1=3a,+2,数列bn}满 足bn÷9,+1 andas 记{b,}的前n项和为T,若T,<m恒成立，则m的最小值为（） 1 1 A.1 B.Z C.3 D.4 7.(25-26高二下湖南长沙阶段检测)记Sn为数列{an}的前n项和，已知 nSn1=(n+l)Sn+n(n+1),S2=6,则下列正确的是() A.a=1 B.Sn-8n取最小值时n=3 11 .1n n∫不是等差数列 D.S S2 S.n+1 8.(25-26高二下湖北黄冈期中)已知等比数列a}的前n项和为S.,4=2, =3+4,数列6满足：6S十20cN),且数列的前项和为工不 S,(S +1) Tn≤m2-8恒成立， 则实数m的取值范围为() A.（-0,-lU[,+oo) B.（-o,-H)(1,+o) c.（-o,-3[3,+∞) D.(-o,-3)(3,+o) 9.(25-26高二下江西九江期中)如图甲是第七届国际数学家大会（简称1CME-7)的会 徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的己知 04=44,=44=44=A4=A4=A,4,=A4=…=2,4,4,4,…为直角顶点，设这 4 些直角三角形的周长从小到大组成的数列为a,}:令血=。一2，S为数列6}的前n项 和，则S=() A3 A2 A ICME-7 图甲 图乙 A.18 B.20 C.22 D.24 二、填空题 10.(26-27高二上甘肃张掖阶段检测)已知正项数列{a}的前n项和为Sm且满足： 28=a+dacN,则— 若f)=+1+11 十…十 SS,S,S,,记[m表示不超 过m的最大整数，则[f(100)]= 11.(25-26高三下江苏无锡阶段检测)已知k,m∈N,将数列{2k-1}与{m2-1的公共 1.1，1 项从小到大排列得到新数列{a,},则a4, a20 12. (25-26高二下福建泉州期中)已知Sn为数列{a,}的前n项和，且Sn=n2+2n,neN 1 ,则数列 的前20项和为. aa 三、解答题 13.(26-27高二上福建漳州阶段检测)记Sn为各项均为正数的数列{an的前n项和，已 知2a,=aaa,Sn1=2Sn. (1)求{a}的通项公式： (2)若等差数列b.}满足b,+b,=4,b,h,=b,h,b,h5>0,求{abn}的前n项和Tn )设数列，}满足6a,+an+:其前n项和为儿若不等式R<g 对任意 的n∈N恒成立，求整数m的最小值. 14.(26-27高二上江苏苏州阶段检测)已知数列{a},{b.},其中数列{a}是等差数 列，且满足b.-a=(-°n2,a+h=1,4,+h,=8,neN. (1)求数列{an}和{也，}的通项公式： (2)若Cm= 凸，求数列{c,}的前n项和S,: (3)设数列{，}的前n项和为I,记集合A={mn≤100且T.≤100}，求集合A中所有元素的 和S 15.(26-27高二上江苏连云港阶段检测)已知数列{a}满足a1=2a.+2”，且 4=2 (1)求证：数列 2 是等差数列： (2)求数列 {an}的通项公式： 2 (3)求数列 a + n(n+2) 的前。项和S。 n 16.(26-27高三上四川南充阶段检测)在各项都是正数的数列{an}中，4=36， am-a=4(vam+va) (1)求数列{a}的通项公式： 1 2记数列4的前。项和为7：证明：云<6 17.(25-26高二下广东茂名期末)数列{a}的前n项和为Sn,a=1,a1=3Sn+1. (1)求数列{an}的通项公式： 1 2)设.=1bg4,+5,求数列b,h广的前n项和工 n 18.(25-26高二下陕西商洛期末)设等差数列{a}的前n项和为Sn,已知4=4， S3=21 (1)求an}的通项公式： 2)记6，-1 山受列6}的前，项和为，正明：工<位 19.(25-26高二下湖南长沙期未)向量a,=(,y),a=(,1),其中数列{x}、{y}均 为正项等比数列.定义a-x以.，向量a满足a=22a,neN. (1)若数列{x}、{少}的公比相等，求向量a. y+l=2” 2)若x (i)求数列{x}的通项公式： vyn (ii)求数列 (-x2-可的前n项和g.