专题03 数列求通项（构造法、倒数法）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 1.构造法 1 2.倒数法 2 3.一阶常系数线性非齐次递推数列（一次多项式型） 3 4.二阶常系数线性齐次递推数列 3 二、典型题型 3 题型一：构造法（形如） 3 题型二：构造法（形如） 5 题型三：构造法（形如） 7 题型四：构造法（形如） 10 题型五：倒数法（形如） 12 题型六：倒数法（形如） 15 题型七：一阶常系数线性非齐次递推数列 18 （形如） 18 题型八：二阶常系数线性齐次递推数列 20 （形如） 20 三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 23 一、必备秘籍 1.构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 2.倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 3.一阶常系数线性非齐次递推数列（一次多项式型） 满足的数列的通项公式的求法：设，通过待定系数法确定，的值，转化成以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项，整理可得． 4.二阶常系数线性齐次递推数列 满足的数列的通项公式的求法：可以将递推式化为，其中，是方程的两个根．若1是方程的根，则直接构造数列；若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列． 二、典型题型 题型一：构造法（形如） 【典例1】（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 【典例2】（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【分析】通过构造等比数列求出的通项公式，再由分组求和即可求得. 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 【答案】C 【详解】由题设，且， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以，则. 【变式2】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据的递推关系式，构造，得到数列为等比数列，根据等比数列的通项公式得到的通项公式． 【详解】由题意得，而， 故是以1为首项，5为公比的等比数列， 故；故；可得． 【变式3】（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】分析可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 题型二：构造法（形如） 【典例1】（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 【典例2】（2026高三下·全国·专题练习）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值. 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【详解】由，两边同除以，可得，即， 因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为． 【变式2】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式3】（25-26高二下·山东淄博·期中）数列满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 题型三：构造法（形如） 【典例1】（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 【典例2】（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 【变式2】（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过参变分离将转化为，再利用递推公式，求出数列的通项，分为奇数和偶数讨论求得的最大值即可得答案. 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 【变式3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 题型四：构造法（形如） 【典例1】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解. 【详解】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 【典例2】（25-26高二下·云南临沧·期中）已知数列中，，若，则正整数的值为__________. 【答案】8 【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可得，解方程即可得解 【详解】因为，可得， 因为，则，即，可得， 对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1， 所以，故， 由可得. 故答案为：8. 【变式1】（25-26高二上·广东·阶段检测）已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 【变式2】多选）（2026·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 【变式3】（2026·陕西咸阳·三模）数列满足，. (1)求数列通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得. 【详解】（1）数列中，，，显然，则， 数列是首项为1，公差为1的等差数列，， 所以数列通项公式是. 题型五：倒数法（形如） 【典例1】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由递推关系可得数列是首项为、公差为的等差数列，进而可得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 【典例2】（多选）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【变式2】7．（25-26高二下·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】(1)略 【详解】（1）由题意得，，即，且， 所以是以2为首项，为公差的等差数列， ，. 【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. （2）由（1）得， 所以 . 题型六：倒数法（形如） 【典例1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 【典例2】已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断. 【详解】因为，，所以， 设，则，所以 若，则，则，与矛盾，所以， 故， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 则数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故，所以数列为递减数列， 解不等式，得，可得， 因为，所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 且若时有无意义， 所以的取值范围是， 故选：A. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由，得，再利用待定系数法构造新的数列，结合等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 题型七：一阶常系数线性非齐次递推数列 （形如） 【典例1】（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 【典例2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则____________． 【答案】 【分析】由，可得，再根据等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，可得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 题型八：二阶常系数线性齐次递推数列 （形如） 【典例1】已知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【分析】根据题中递推关系构造两个等比数列，联立方程求解通项公式； 【详解】因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为3， 因此①， 又因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 因此②， ① ②两式相减可得. 故答案为：. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足：，，，求数列通项公式. 【答案】 【分析】根据递推关系式，可令，解出两根； 方法一：根据方程两根可构造两个等比数列和，结合两个等比数列通项公式，可消元求得通项； 方法二：根据方程两根可构造通项公式的一般形式，代入，解方程组即可求得通项. 【详解】方法一（构造两个等比数列）：令，解得：或， ， 又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列； …①；…②； ①②得：，化简得：. 方法二（特征根法）：，，； 令，解得：或， 故令，代入得， 解得：，. 【变式1】（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)因为, 所以有, 又, 所以, 所以数列是以12为首项，4为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）根据题干条件，按照结论构造可得，即可得证； （2）结合（1），构造数列，先证明数列为等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 所以， 等式两边同除，得， 令，则， 所以，又， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 则. 三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 一、单选题 1．（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以. 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 4．（25-26高二上·广东湛江·阶段检测）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 5．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D． 6．（25-26高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒数法可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 7．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系式可构造出，从而证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式、求和公式，采用分组求和法可求得结果. 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， . 8．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围. 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 9．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 10．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 11．（2026·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件推得数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】因为， 所以， 由于，即， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则，因为数列是递增数列，可得， 即对任意的正整数都成立． 当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减， 可得，则； 当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增， 可得，则； 综上可得的取值范围是． 故选：B ． 12．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：给已知等式两边同除以，令则可得，从而得数列是等比数列，求出，进而可求出；解法二：设，化简后与已知等式比较可得，从而可得数列是首项为，公比为2的等比数列，进而可求出. 【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①， 令，则①式变为，即， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，即， 所以， 所以， 解法二：设，则， 与比较可得， 所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故选：D 13．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】B 【分析】已知式变形后得出是以－1为公比的等比数列，从而可求出通项公式，然后由分组求和法求得，结合函数单调性可得结论． 【详解】∵，∴， ∵是以－1为公比的等比数列，∴， , ∴， 当n为偶数时，无解，当n为奇数时，， ∴，又，∴，即， 即，在上是增函数，又n为奇数，，， 故n的最大值为51. 故选：B. 二、填空题 14．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 15．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知，当时，，则的通项公式为___________ 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 16．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，则______． 【答案】 【分析】解法一，由待定系数法可得答案；解法二，由得，两式相减再利用待定系数法构造可得答案；解法三，由得再递推可得答案． 【详解】解法一 由，可设， 其中为常数，整理得， 故，得， 所以． 又，所以是各项均为0的常数列， 故，即； 解法二  由，得， 两式相减得． 令，则， 则，又， 所以，即，又， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以； 解法三  由得， 即，，…， ， 所以， 所以，所以． 当时也符合上式． 综上所述，． 故答案为：. 17．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可. 【详解】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当为奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 18．（25-26高二下·江西抚州·期末）已知数列：且满足，令，则数列的前2026项和为______． 【答案】 【分析】先变形再构造数列，再应用等差数列通项公式计算，最后结合错位相减计算求解. 【详解】令，可得，由 变形可得，则， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以， 则， 故数列的前2026项和为． 19．已知数列满足，，，则________． 【答案】 【分析】这是一个二阶线性递推数列，先写出其特征方程，求出特征根，再设出通项公式，代入初始条件求解系数． 【详解】，其特征方程为， 解得，， 令， 由得 ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 1.构造法 1 2.倒数法 2 3.一阶常系数线性非齐次递推数列（一次多项式型） 3 4.二阶常系数线性齐次递推数列 3 二、典型题型 3 题型一：构造法（形如） 3 题型二：构造法（形如） 4 题型三：构造法（形如） 4 题型四：构造法（形如） 5 题型五：倒数法（形如） 6 题型六：倒数法（形如） 7 题型七：一阶常系数线性非齐次递推数列 8 （形如） 8 题型八：二阶常系数线性齐次递推数列 8 （形如） 8 三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 9 一、必备秘籍 1.构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 2.倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 3.一阶常系数线性非齐次递推数列（一次多项式型） 满足的数列的通项公式的求法：设，通过待定系数法确定，的值，转化成以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项，整理可得． 4.二阶常系数线性齐次递推数列 满足的数列的通项公式的求法：可以将递推式化为，其中，是方程的两个根．若1是方程的根，则直接构造数列；若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列． 二、典型题型 题型一：构造法（形如） 【典例1】（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 【变式2】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列满足，则的值为___________． 【变式3】（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 题型二：构造法（形如） 【典例1】（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C．D． 【典例2】（2026高三下·全国·专题练习）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为______． 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 【变式2】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 【变式3】（25-26高二下·山东淄博·期中）数列满足，则数列的通项公式为______． 题型三：构造法（形如） 【典例1】（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【典例2】（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东河源·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 题型四：构造法（形如） 【典例1】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·云南临沧·期中）已知数列中，，若，则正整数的值为__________. 【变式1】（25-26高二上·广东·阶段检测）已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【变式2】多选）（2026·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·陕西咸阳·三模）数列满足，. (1)求数列通项公式； 题型五：倒数法（形如） 【典例1】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 【变式2】7．（25-26高二下·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； 【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型六：倒数法（形如） 【典例1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列中，，求数列的通项公式． 题型七：一阶常系数线性非齐次递推数列 （形如） 【典例1】（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 【典例2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则____________． 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 题型八：二阶常系数线性齐次递推数列 （形如） 【典例1】已知数列满足，，，则通项公式______ 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足：，，，求数列通项公式. 【变式1】（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 一、单选题 1．（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 3．（25-26高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东湛江·阶段检测）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 5．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为（    ） A．50 B．51 C．52 D．53 二、填空题 14．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 15．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知，当时，，则的通项公式为___________ 16．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，则______． 17．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 18．（25-26高二下·江西抚州·期末）已知数列：且满足，令，则数列的前2026项和为______． 19．已知数列满足，，，则________． 学科网（北京）股份有限公司 $