专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 题型一：倒序相加法 2 题型二：通项为型求和 5 题型三：通项为型求和 8 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 12 一、必备秘籍 1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 适用：首尾两项相加的和都相等的数列求和，典型是等差数列求和 通用步骤 ①正写式子 ②倒过来再写一遍 ③两式相加，上下配对 每一对都相等，一共组 ④解出 2、分组求和法 2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 二、典型题型 题型一：倒序相加法 【典例1】（25-26高二下·四川绵阳·阶段检测）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ） A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】由题可得，利用等比数列性质可得，继而可计算. 【详解】由题可得， 又数列为等比数列，且，所以， 即， 所以， 故选：A 【典例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； 【答案】(1)，bn 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得，. 【变式1】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 _________. 【答案】1012 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 本题运用了类比的方法，类比高斯算法中首尾相加和相等的思路，先求出的值，再利用等比数列的性质找到其他和为1的组合.对于类似的数列求和问题，当数列具有一定的规律（如等比数列的性质）时，可以尝试通过分组的方式，将和相等的项组合在一起，简化求和过程.在计算时，运用了分式的通分运算，这是处理分式相加问题的常用方法.在解决涉及函数与数列结合的问题时，要善于根据函数的表达式和数列的性质进行运算和推理. 【变式2】已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 【答案】，由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. 【分析】根据对数运算证明为定值，再根据证明结果，利用倒序相加法求和，即可求解通项公式. 【详解】略 【变式3】（25-26高二下·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推关系求解数列的通项公式； （2）由及倒序相加求数列的和． 【详解】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 题型二：通项为型求和 【典例1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义求出公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用分组求和，分别由等差数列和等比数列前项和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则， 所以的通项公式为. （2）由（1）知， 故 ； 即数列的前项和. 【典例2】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前 项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程，求得和，结合等差、等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：设的公差为，因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以， 因为，且公比，所以，解得， 所以． （2）解：由（1）知：且，可得， 所以数列的前项和. 【变式1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公比为 ，由 ，，可得 ，即 ；由数列各项均为正数知 ，解出 ，再由 求首项，代入 即得通项公式. （2）由 及对数运算性质得 ，由 为常数判定 是等差数列；由 ，用分组求和法把 拆成等比数列 与等差数列 的前 项和，分别用求和公式计算. 【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，由 ， 得 ，即 . 所以 . 因为数列各项均为正数，所以 ，故 . 又 ，所以 . （2）由 得 . 因为 ，所以 是首项 、公差 的等差数列. 又 ，故 . 其中 . . 所以 . 【变式2】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）等比数列的公比，所以，. 设等差数列的公差为. 因为，， 所以，解得， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，. 因此数列的通项公式为. 从而数列的前项和 . 【变式3】（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知数列是等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据通项公式列方程求解； （2）采用分组求和方法即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d． 由题意得，解得， 所以． 数列的通项公式为． （2）由题意可得： 所以数列的前n项和为. 题型三：通项为型求和 【典例1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系进行求解； （2）利用分组求和法及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 【典例2】（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)设满足，求的前项和． 【答案】(1). (2). 【分析】(1)由递推关系及等比数列定义可得； (2)由分组求和可得. 【详解】（1）设公比为 . 由 得 . 又 , 故 . 令 得 , 令 得 , 两式相除得 , 由正项数列知 , 代入得 , 因此 . （2）由 得 , 则 ， 前 项和拆分为奇数项与偶数项之和: ， 奇数项和为 . 偶数项和为 . 相加得 . 【变式1】（25-26高二下·湖南·期末）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列通项公式将，，统一用首项与公比表示，代入解出公比，再结合前四项和求出首项，即可得到通项； （2）先由前项和分段求出通项，再写出偶数项表达式，前项由个奇数项与个偶数项组成，分开求和再相加得到. 【详解】（1） ， ， . （2）当时，， 当时，， 也满足的情况，所以， 当n为偶数时，， . 【变式2】（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式，代入可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，根据等差数列、等比数列前项和公式计算求解即可. 【详解】（1）已知数列的前项和， 当时，，解得， 当时，，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以； （2）由（1）可得， 所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列， 数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项， 所以. 【变式3】（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 一、单选题 1．（25-26高二下·四川南充·期末）定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用倒序相加法求数列的通项公式，再将存在性不等式转化为大于等于关于的分式的最小值，结合基本不等式求最值即可得. 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 2．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 3．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 4．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 5．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）定义新数列：在数列的所有项中，去掉数列中的项得到的数列.若，，则数列的前130项的和为（    ） A．16882 B．16998 C．17446 D．17654 【答案】D 【分析】根据新数列的定义，结合等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由题意，，所以数列中的各项均为偶数，所以数列也必须取偶数， 又，所以必须是奇数，即为奇数。 所以，，，， 因为，，，， 所以数列的前130项，即数列的前133项中，去掉第3项，第16项，第65项， 所以数列的前130项和为， 即数列的前130项和为17654. 6．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的首项为3，且，，成等比数列，，则（    ） A．2548 B．2550 C．2648 D．2650 【答案】C 【分析】设数列的公差为，列式解得，则再分组求和即可． 【详解】设数列的公差为， 因为成等比数列，所以，解得， 可得 所以 设数列的前项和为， 当n为偶数时， ， 所以． 7．（25-26高二下·广东湛江·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（     ） A．127 B．192 C．235 D．747 【答案】D 【详解】设数列的前n项和为， 因为， 所以 . 8．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】因， 则 数列呈周期性：，最小正周期为4， 故的前2026项和为. 二、填空题 9．（2026高二·全国·专题练习）已知函数，数列满足（，），则 = ______． 【答案】10 【分析】根据的解析式，写出的解析式，然后证明，再用倒序相加法（首尾配对）求和． 【详解】由得， 所以， 设，将各项倒序得， 两式相加，首尾配成对，每对的和均为1，所以，即， 所以． 10．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列的前项和为，且，则___________． 【答案】682 【详解】， . 11．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知数列满足，，则的前13项和为______. 【答案】129 【分析】由可知，数列的前项和可以使用分组求和解决. 【详解】设数列的前项和为，那么 . 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 三、解答题 13．（26-27高二上·全国·课后作业）在等差数列中，,， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则, , 所以解得,. 所以． （2）， 所以, . 14．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，以及等比数列的通项公式，列出方程组，求得公差和公比，即可求得等差数列和等比数列的通项公式； （2）由（1）可得数列的通项公式，运用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，所以， 又，，所以，解得或（舍）， 所以等差数列的通项为，即， 等比数列的通项为，即； （2）由（1）可得，，， 所以， 所以 . 15．（25-26高二下·广东·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且 (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前10项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列前两项和条件求公比，再结合等差数列两项关系求公差，代入通项公式即得； （2）按奇偶分项处理，奇数项为等比数列求和，偶数项裂项相消，两部分相加即得前10项和． 【详解】（1）令公比为且，则， 整理，解得，或（舍去）， 故， 又，令的公差为，则， 所以，可得， 故． （2）由， 所以． 16．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列； （2）利用分组求和可取. 【详解】（1）因为，故， 而， 故， 整理得，即， 故，所以，故数列为等比数列； （2）由（1）可得， 故 . 17．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)设等比数列的公比为,由变形得,解得；结合求得,故.由是公差为1的等差数列及,得,进而得. (2)化简：奇数项,偶数项；将拆分为奇偶项和,奇数项用裂项相消法、偶数项按等比数列求和,最终得. 【详解】（1）等比数列的公比设为，前项和为， 数列是公差为的等差数列，设 即有，即， 由，，，得， 又，所以， 即为，即，代入解得， 可得；． （2）即为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 题型一：倒序相加法 2 题型二：通项为型求和 4 题型三：通项为型求和 6 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 9 一、必备秘籍 1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 适用：首尾两项相加的和都相等的数列求和，典型是等差数列求和 通用步骤 ①正写式子 ②倒过来再写一遍 ③两式相加，上下配对 每一对都相等，一共组 ④解出 2、分组求和法 2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 二、典型题型 题型一：倒序相加法 【典例1】（25-26高二下·四川绵阳·阶段检测）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ） A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 【典例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； 【变式1】（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 _________. 【变式2】已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 【变式3】（25-26高二下·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 题型二：通项为型求和 【典例1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【典例2】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前 项和． 【变式1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求数列的前项和． 【变式2】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及前项和. 【变式3】（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知数列是等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型三：通项为型求和 【典例1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【典例2】（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)设满足，求的前项和． 【变式1】（25-26高二下·湖南·期末）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【变式2】（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知数列的前项和为，且 ，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若满足，求的前项和. 【变式3】（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 一、单选题 1．（25-26高二下·四川南充·期末）定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 3．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 4．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）定义新数列：在数列的所有项中，去掉数列中的项得到的数列.若，，则数列的前130项的和为（    ） A．16882 B．16998 C．17446 D．17654 6．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的首项为3，且，，成等比数列，，则（    ） A．2548 B．2550 C．2648 D．2650 7．（25-26高二下·广东湛江·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前10项和为（     ） A．127 B．192 C．235 D．747 8．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 二、填空题 9．（2026高二·全国·专题练习）已知函数，数列满足（，），则 = ______． 10．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列的前项和为，且，则___________． 11．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）已知数列满足，，则的前13项和为______. 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 三、解答题 13．（26-27高二上·全国·课后作业）在等差数列中，,， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 14．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和． 15．（25-26高二下·广东·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且 (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前10项和 16．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 学科网（北京）股份有限公司 $