专题08 数列求和专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题08 数列求和（奇偶项讨论求和） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：求的前项和 2 题型二：求的前项和 6 题型三：通项含有的类型；例如： 12 题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 18 三、数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 22 一、必备秘籍 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决． 类型一： 通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 类型二： 通项含有的类型；例如： 类型三： 已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 二、典型题型 题型一：求的前项和 【典例1】（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 【典例2】（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式； （2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 【变式1】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列.求的通项公式. (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) 当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减得，即，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列. 又，即. (2) 【分析】（1）由与的关系式，得到与的关系式，再利用等比数列定义证明，再结合等比数列的通项公式可求通项； （2）利用分组求和结合公式法可求. 【详解】（1）略 （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 故 . 【变式2】（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 【变式3】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) ，或. (2) 【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. （2）因为，所以. 由的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 题型二：求的前项和 【典例1】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列通项公式与前项和建立方程组，求出首项与公差，进而得到通项； （2）按奇偶分类写出的具体表达式，再分别对为偶数和奇数情况求和，得到分段形式的； （3）计算的分段表达式，转化为关于的最小值问题，由此求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，，解得：， ； （2）由（1）知， 当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 所以 （3）当为偶数时，得 当时，有最小值，所以 当为奇数时，，所以 因为单调递增，单调递减，单调递减，单调递增， 则单调递增， 所以当时，有最小值，所以． 综上，实数的取值范围是 【变式1】（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 【变式2】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设，根据等差数列性质可求得，进而求解即可； （2）结合（1）可得，进而得到，再分为偶数，为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由等差数列性质可知，结合，于是， 于是数列的公差为， 故. （2）由， 注意到， 故当为偶数时，， 当为奇数时，. 综上所述，. 【变式3】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知等差数列与等比数列满足，，. (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和.求 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把等差数列的通项公式与等比数列的通项公式代入到条件中，解方程即可； （2）分类讨论，当为偶数时，错位相减法可求出；当为奇数时，利用可求出. 【详解】（1）记公差为，公比为， 则，， 故， 则 即， 故，解得，故，. （2）由， 当为偶数时， ， 而， 两式相减，可得到 ， 故此时； 当为奇数时， ， 于是. 题型三：通项含有的类型；例如： 【典例1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【详解】（1）①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； （2）∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 【典例2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. 【详解】（1）等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， （2）记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上，. 【变式1】（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)略 (3) 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； （2）， 故 . （3）由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 【变式2】已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若为的前项和，求时的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由题意通过构造可得，从而可求解. （2）结合（1）可得，从而可得，再分情况讨论为奇偶时，再结合分组并项，从而可求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. （2）由（1）可得， 所以， 当为偶数时： ； 当为奇数且时： . 当时，，满足该前项和公式， 所以 当为奇数时，恒成立，故时为偶数， 所以有，即，当时，， 当时，， 故的最小值为4. 【变式3】（25-26高二下·河南南阳·期末）已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 【答案】(1) 当时不是等比数列；当时是等比数列.理由如下： 因为，，故， 又，故， 当时，，故不是等比数列； 当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）由数列递推式构造数列，其中，根据数列的首项是否为0进行分类讨论，即可判断得出结论； （2）由（1）求得，则可得，化简数列的通项公式，得到，再分为奇偶，利用等差等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列.理由略； （2）当时，由（1）可知，所以， 所以， 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上所述， 题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：当时，， 整理得，所以， 所以， 因为，所以， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2) 【分析】(1)通过和的关系表示出后构造的形式并证明其为等比数列. (2)表示出后分类讨论并通过分组求和求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，则，所以， ①当n为偶数时， ； ②当n为奇数时，可得； 综上：． 【变式1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差，等比定义即可解题； （2）利用分类讨论，并项求和，结合等差数列求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，, 因为，所以可解得，即. （2）因为， 所以， 因为 当为偶数时， ； 当为奇数时， ． 综上所述：. 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）数列满足． (1)求数列通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意有，数列是首项为2，公差为2的等差数列，可求数列通项公式． （2），分为奇数和为偶数，结合分组求和法求. 【详解】（1）由，有， 又，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 则有，所以数列通项公式. （2）设， 为奇数时，；为偶数时，. 为奇数时， ； 为偶数时， . 所以. 【变式3】（2026·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) 由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，则，， 当为正奇数时，，；当为正偶数时，，， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，， 所以. 三、数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式计算即可得解； （2）结合并项求和法分奇偶讨论，再分奇偶计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，则，即， 由，则，解得，则， 故； （2），则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 由，则当为奇数时，有，解得， 当为偶数时，有，解得， 综上可得，或. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可证得数列从第二项开始为常数列，进而求出数列的通项公式； （2）先求出，再由分组求和法求解即可. 【详解】（1）当时，，得，作差可得， ，化简得，即， 所以数列从第二项开始为常数列，且，即 又，所以，不符合上式， 所以； （2）由（1）知，； ， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，. 3．（25-26高三上·山东威海·期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系，可得是等差数列，利用等差数列通项公式可得答案； （2）先根据求出的通项公式，利用并项求和可得答案. 【详解】（1）因为，当时，可得； 因为当时，有， 所以，整理得， 所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以， 因为数列的各项均为正数，所以. （2）由（1）知，当时，． 当时，成立，所以． 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 4．（25-26高三上·山西太原·期中）已知数列满足． (1)求证：是等比数列； (2)设求数列的前项和； 【答案】(1) 证明：由数列满足， 可得，即， 又由，可得， 所以数列是以为首项公比的等比数列. (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）得，求得，分为偶数和为奇数，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，即，可得， 当为偶数时， ； 当为奇数时，， 综上可得，数列的前项和为. 5．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差和等比数列基本量的计算即可求解， （2）对分奇偶，结合分组求和，利用等差数列以及等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以， 从而， 所以，所以. （2），故， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上可得 6．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 【答案】(1)； (2)100或97 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）得到，分为偶数和奇数两种情况，分组求和，进而分为奇数和偶数，求出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以的通项公式为； （2）， ， 若为偶数，则， 若为奇数，则， ，若为偶数，则，解得， 若为奇数，则，解得， 综上，或97 7．已知数列满足求数列的前项和． 【答案】 【分析】数列的奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，因此可以把所有奇数项放在一起求和，把所有偶数项放在一起求和，最后再把两部分相加． 【详解】若为奇数， 则 ； 若为偶数， 则． 所以 8．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． (2) 【分析】（1）由递推公式并结合等差数列的定义即可证明求解； （2）分别讨论为奇偶数并利用分组并项求和，从而可求解. 【详解】（1）略 （2）当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 9．（25-26高二下·天津西青·阶段检测）等差数列的首项，其前10项和，正项等比数列中，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知求数列的前项和 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由等差数列前n项和公式求出数列数列的公差即可求其通项公式，进而由题意可求出正项等比数列的首项和公比得正项等比数列的通项公式. （2）先由（1）求出数列的通项公式，再分组并项计算求和即可得解； （3）利用错位相减法求出奇数项的和，利用裂项相消法求偶数项的和，再把两和相加即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 则由题， 所以. 设正项等比数列的公比为，则， 所以. （2）由（1）， 所以数列的前项和为 ； （3）由（1）， 当为奇数时，， 所以， 则， 所以 ， 所以， 当为偶数时，， 所以 ， 所以数列的前项和. 10．（2026·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【答案】(1)证明见详见 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解. 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 11．（25-26高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，；当为奇数时，. 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意用表示出，再由，，列式解方程即可求出，进而求出的通项公式； （2）先考虑为偶数时，由等差数列的前项和公式求出，当为奇数时，利用进行求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 则， 解得：，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 当为偶数时， . 当为奇数时，. 所以当为偶数时，；当为奇数时，. 12．（25-26高三下·重庆渝北·阶段检测）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推式子即可求通项公式； （2）易知的周期为4，故构造构数列，易证数列为常数列，故题目所求可化为. 【详解】（1）① 当时，，即； 当时，② ①－②得 因为时，也满足上式， 故． （2）记， 则 （常数） 数到为常数列， 13．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出数列的通项公式； （2）分为偶数、奇数两种情况讨论，当为偶数时，可得出，利用等差数列的求和公式可求出的表达式；当为奇数时，可得出，可得出的表达式.综合可得出的表达式. 【详解】（1）设数列的公差为，由，则， 即，解得， 所以． （2）由可知， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 综上所述，． 学科网（北京）股份有限公司 $专题08数列求和（奇偶项讨论求和） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍.… 二、典型题型. a n为奇数 题型一：求cn= b. n为偶数的前2n项和7。 2 n ann为奇数 题型二：求，=6n为偶数的前n项和工… ..5 题型三：通项含有(l的类型，例如：c=()a.....7 题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题...10 三、数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练......12 一、必备秘籍 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列 奇数项和偶数项的首项、项数、公差（比）等，本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题， 并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中 有许多可通过构造函数来解决. 类型一： ann为奇数 通项公式分奇、偶项有不同表达式，例如：，-6，内偶数 ann为奇数 角度1：求6，=6n为偶数的前2n项和。 ann为奇数 角度2：求6，-6n为偶数的前，项和Z 类型二： 通项含有(-)“的类型，例如：c=(-)“a 类型三： 已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 二、典型题型 ann为奇数 题型一：求.6，为偶数的前2n项和T 【典例1】(2026河北模拟预测)已知等比数列an}满足4=27，a=729,数列{b}满 足bn=log,an (1)求数列b}的通项公式： bn,(n=2k-1) 2设.，，a=2keZ)求数列。 的前40项和S 【典例2】(2026广西南宁模拟预测)己知数列{a,}的前n项和为Sm,a=l,Sn=n,数 列亿.}满足6=1，b1=2hn+1. (1)求数列{a,也.}的通项公式： an,n为奇数 2)若数列{c,}满足C,6,为偶数，求数列心，}的前20项和。'（注：结果可保留指 数形式)· 【变式1】(25-26高二下·福建泉州阶段检测)已知数列{a}的前n项和为Sn,且 S,=2a +4n-10 (1)证明：数列{a,-4}是等比数列求{an}的通项公式。 3an,n是偶数 (2)已知b。=了n(a.-4) 的前项和· 2 是奇数’求数列， {b.} 2n B2n 【变式2】(2026安徽安庆三模)设Sn为数列{a}的前n项和，已知4=1，S与(S4-) 的等比中项为3，且m】 为等差数列. (1)求数列{a}的通项公式： n+3 ,n为奇数 (2)若数列 满足b,= n+1 求。的前项和· } 2,n为偶数 b 2n 【变式3】(25-26高二下辽宁沈阳开学考试)数列a}为等差数列，其前n项和为 S{}为等比数列，其前n项和为T,已知S,=15,4=1山，T=6,T,=14. (1)求数列{an}和b}的通项公式： an,n为奇数 2)若neNb,>0令c,6,m为偶数，求数列{c,}的前2n项和R, ann为奇数 题型二： 求c,b,n为偶数的前n项和1 【典例1】(25-26高三下·湖南长沙阶段检测)已知数列{a的前n项和为Sn,a=1,Sn=n ，数列b满足b-1,b=2b。+1. (1)求数列{a}也}的通项公式 an,n为奇数 2)若数列{c}满足c,=6,为偶数，求数列{c,}的前”项和， 【典例2】(25-26高二下·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知数列{a}是公差为正数的等差数 列，其前n项和为Sn,且a2a3=35,S4=24 (1)求数列{an}的通项公式： 2数列么}满足么=亿-1必奇数 3a,n为偶数，求数列{b,}的前n项和工，： (3)若Tn-Sn>n对任意n∈N恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】(2026湖北孝感二模)已知数列an}的前n项和为Sn,若对任意n∈N,向量 an+1,n为奇数 p=(4-2n-）4.=(S,a）有p9.=数列，}满足6。-3a,m为偶数，其前。 项和为T (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若T,-Sn>n对任意n∈N恒成立，求实数元的取值范围. 【变式2】(25-26高三上广东阶段检测)已知等差数列a}满足4=2，a4+ao=a+14 (1)求{a}的通项公式： an,n为奇数 (2)设b。= -a,n为偶数，求{也，}的前n项和s, 【变式3】(2025高三上湖北黄冈专题练习)已知等差数列{a,}与等比数列b}满足 a=1,b=2,(an+an+1)(bn+bn+）=(6n+3)2. (1)求{an},{b.}的通项公式： an,n为奇数 (2)记cn= b,n为偶数·3为数列{c,c}的前n项和求s。 题型三：通项含有(-)“的类型，例如：c=（-l)“a 【典例1】(25-26高三上·安徽阶段检测)己知数列am}的前n项和为S,且满足a42=6, 2S=(n+3)am(nEN). (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=(-)“a,求数列b.}的前n项和Tn. 【典例2】(25-26高二上重庆沙坪坝期中)等差数列{a,}的前n项和为Sn,3a,+a4=a, ,S3=15 (1)求数列{a}的通项公式： 2)求数列《-)”a}的前n项和。 【变式1】(25-26高三上辽宁大连期中)已知{a}是各项均为正数的数列，8，为{√a} 前n项和，且√an,Sn,a,-2成等差数列 (1)求{a}的通项公式； 11+++1<3 2)求证：a4,ga。4 3)已知bn=(-)”a,求数列{b,}的前n项和Tn 【变式2】已知数列an}满足4=10，ga1=2lgan+1, (1)求{an}的通项公式： (2)若bn=(-l)ga,Tn为{bn}的前n项和，求Tn>9时n的最小值. 【变式3】(25-26高二下河南南阳期末)己知数列{a,}满足a=a,(aeR), an1=3an+2n-1,n∈Nt. (1)数列么.}满足：b,=a。+n,试判断.}是否为等比数列，请说明理由： (2)数列{c.}满足：c.=（-l)”a,当a=2时，求数列{cn}的前n项和Tn 题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 【典例1】(2026陕西西安模拟预测)已知数列an}的前n项和为Sn,且S,=n2. (1)求an}的通项公式： 2)若，=a,nm受，记数列6}的前n项和7，求o6 【典例2】(25-26高三·全国一轮复习)已知Sn为数列{an}的前n项和，且 Sn=2an+n2-3n-1」 (1)求证：数列{a。-2n}为等比数列： (2)设bn=an·coSnIt,求数列{bn}的前n项和T,. 【变式1】(25-26高二下-浙江杭州期中)公差不为0的等差数列{a,}满足：a=1,且a ,a,a成等比数列. (1)求数列a}的通项公式： 2求数列心如（受》的前n项和 【变式2】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)数列{a,}满足4=22a,0+a-a,=0. (1)求数列{a}通项公式. 2设中+2，求数列6的前项和了 a 【变式3】(2026海南模拟预测)已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且 nS=(n+1)a +nS,+1. 但求证：数列色马 }为等差数列： n 2若，=3号，求数列，}的前n项和T 三、数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 1.(25-26高二下江苏南京阶段检测)已知等差数列{a}的前n项和为S,且S,=4S2, a2n=2an-1, (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=(-l)°a,数列{b,}的前n项和为T,若Tm=51,求m的值 2.(25-26高二上黑龙江哈尔滨期末)已知数列{am}的前n项和为S,且满足4=6，当 n≥2时，8-a+2aaeN). (1)求数列{a}的通项公式： (2)若bn=（-l)an,求数列{b}的前n项和Tn. 3.(25-26高三上山东威海期中)已知数列{a}的各项均为正数，前n项和为Sm,且 2S a,-a2=4. (1)求Sn； 2设久=少 ，求数列6，}的前n项和7· 4.(25-26高三上山西太原期中)己知数列{a}满足a=l,a=2an+(n-I(neN) (1)求证：a,+n}是等比数列： an,n为奇数， (2)设b.= log,(a,+n),n为偶数，求数列{伍，}的前n项和s: n 5.(25-26高二上浙江绍兴阶段检测)己知等差数列{a}中，4+a0=22,a=15,等比 数列{b.}中，b=a,b,=ao+2. (1)求数列{b}的通项公式： an,n为奇数 (2)记cn= b,n为偶数，求数列{c,}的前n项的和s 6.(25-26高三上福建开学考试)已知等差数列{am}的前n项和为Sn,且 S3=4S2,a2n=2an-1. (1)求{a}的通项公式： (2)设b,=(-)a,数列{b.}的前n项和为Tm,若Tm=50,求m的值. 「6n-1,n为奇数， 7.已知数列{a,}满足a,-2,为偶数，求数列{a}的前n项和s,· an+1,n为奇数， 8。（25-26高二下河南洛阳阶段检测)已知数列{a}的首项是a,= an+2,n为偶数. (1)证明：{an}的奇数项成等差数列： (2)求an}的前n项和Sn. 9.(25-26高二下天津西青阶段检测)等差数列{a}的首项4=1，其前10项和S。=100 ，正项等比数列{b}中，6=2a,6,=a4+1. ()求数列{a}与{b}的通项公式： 2)求数列{《-1)(a+}的前2m项和gn: anbn,n为奇数 3)已知s.=3a,-4b.,为偶数求数列，。的前。 项和 a,an2 {c 2n+1 T2m 10.(2026辽宁大连模拟预测)若数列{a}和b}满足：4=1，么=7，且 an ba -2a but=3b-4an (1)设c.=a。-b.,证明：{cn}是等比数列： an-bn,n为奇数 (2)设dn= 4a,-b,n为偶数：试求{d}的前”项和s, an-4,n为奇数 1。(25:26高二下内蒙古赤峰阶段检测)a}为等差数列，6-2a,为偶数，记g ,Tn分别为数列{an},{b.}的前n项和，S4=26,T=12. (1)求{an}的通项公式： (2)求数列b.}的前n项和T。. 12.(25-26高三下·重庆渝北阶段检测)己知数列{a}满足 1+3+5++2n-l=nneN). 414243 an (1)求数列{a}的通项公式： 2)若h.=a,sin2m 12,数列{b}的前n项和为Sn,求So 1。(2026汇宁抚顺模拟预测）已知a}为公差不为零的号差数列.人=久m沙奇数 2bn,n为偶数 ,记Sn、Tn分别为数列{a}、{b}的前n项和，S,=,a,a=S. (1)求{a}的通项公式： (2)求{b}的前n项和Tn.