专题02 数列求通项（累加法、累乘法）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：累加法 2 题型二：累乘法 5 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 7 一、必备秘籍 一、累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 二、累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 二、典型题型 题型一：累加法 【典例1】（25-26高二上·北京·期末）已知数列满足，，则_________，的最小值为_________． 【答案】 / 【分析】利用累加法及等差数列的前项和公式即可求出，结合对勾函数的性质即可求出的最小值. 【详解】由得： 当时，，，，，， 将上式累加可得， 即， 又，则， 当时，，符合上式， 故； 令 由对勾函数性质可知，，， ，， 因为，所以的最小值为，即的最小值为. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 【答案】 【分析】先由通过累加法求通项得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】由题意可知，满足，， 当时，， ，以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则. ∴数列的前项和为， . 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 【变式2】（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 【变式3】（25-26高二下·福建福州·期中）已知数列中，满足，，则数列的通项公式___________ 【答案】 【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】在数列中，，， 当时，，，，， 上述所有等式相加得， 所以， 也满足，故对任意的，. 题型二：累乘法 【典例1】（2026·全国·模拟预测）在数列中，已知，，则数列的前2026项和______． 【答案】 【分析】由递推式求相邻两项的比，连乘得到数列通项，再将通项裂项为相邻两项之差，用裂项相消求前项和，最后代入. 【详解】由，得. 于是. 所以. 因此. 【典例2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】将递推关系变形为除法形式后采用累乘法，再结合等差数列的求和公式求解即可. 【详解】当时，有，故， 则有，． 上述个式子累乘得． 因为，所以， 而当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为． 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 一、单选题 1．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以 ， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 2．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 3．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 【答案】D 【详解】由递推公式，可得. 则，，，. 将以上个式子累加得： . ，故. 4．（25-26高二上·天津和平·期末）已知数列的首项为2，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件得到，通过累加法，结合等差数列，等比数列求和公式即可求解. 【详解】由，可得， 所以，，，，， 累加可得， 即， 又，所以， 当时，，满足上式， 所以 故选：A 5．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推式，利用累加法表示出，结合等比数列前项和公式求得结果，进而求出，即可得到答案. 【详解】由题知，，且，， 所以， 累加可得， 所以， 所以，当时同样满足， 所以. 故选：C 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 7．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）设数列的前项和为，，且，则的最小值为（   ） A． B．14 C．9 D．8 【答案】D 【分析】由题意可得，利用累乘法求得，进而，则.设，利用导数研究函数的性质即可求解. 【详解】由，得， 则， 各式相乘得， 得，又，所以，则为等差数列， 得. 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以当或时，取到最小值8. 故选：D 8．（25-26高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 9．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 10．（2026·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 11．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）设数列满足，且，则数列的前8项的和为______. 【答案】 【分析】由累加法先求出数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，再结合裂项公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 12．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则______. 【答案】 【分析】结合累加法，由裂项相消法化简求解即可. 【详解】因为（，且），， 所以； 经验证，时，，符合条件. 故答案为：. 13．（2026·四川德阳·二模）数列中，满足，，则______． 【答案】/ 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则______. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 15．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知数列满足：且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 16．（53-26高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则____________. 【答案】6 【分析】根据递推公式，并结合累乘法从而可求解. 【详解】因，故有， 即得，所以. 故答案为：6. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：累加法 2 题型二：累乘法 3 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 3 一、必备秘籍 一、累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 二、累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 二、典型题型 题型一：累加法 【典例1】（25-26高二上·北京·期末）已知数列满足，，则_________，的最小值为_________． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【变式2】（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【变式3】（25-26高二下·福建福州·期中）已知数列中，满足，，则数列的通项公式___________ 题型二：累乘法 【典例1】（2026·全国·模拟预测）在数列中，已知，，则数列的前2026项和______． 【典例2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【变式1】（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 一、单选题 1．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 3．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 4．（25-26高二上·天津和平·期末）已知数列的首项为2，且满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C．D． 7．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）设数列的前项和为，，且，则的最小值为（   ） A． B．14 C．9 D．8 8．（25-26高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 9．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）设数列满足，且，则数列的前8项的和为______. 12．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则______. 13．（2026·四川德阳·二模）数列中，满足，，则______． 14．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则______. 15．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知数列满足：且，则数列的通项公式为______． 16．（53-26高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则____________. 学科网（北京）股份有限公司 $