专题11 数列的极限专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题11 数列的极限（典型题型归类训练） 目录 一、典型题型 1 题型一：概率统计中数列的极限 1 题型二：分形中的极限问题 8 题型三：数列中其他极限问题 15 二、数列的极限（典型题型归类训练） 20 一、典型题型 题型一：概率统计中数列的极限 【典例1】2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI  for  Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴. 假设今天天气是晴天，回答以下问题： (1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； (2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值. 【答案】(1)分布列： 0 1 2 3 . (2)，趋于的稳定值为. 【分析】（1）列出的可能取值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的求法求期望. （2）找出数列的递推公式，构造等比数列，求的通项公式与极限即可. 【详解】（1）由题意可知：的值可以为：. 且， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以 （2）由题意：数列中：，. 设， 由. 所以，且. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以. 因为，所以趋于的稳定值为. 【典例2】某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 【答案】(1)略 (2) (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据折线图中数据和附注中参考数据可计算相关系数； （2）根据题意得，由递推关系可得等比数列，利用等比数列的前项和公式计算即可； （3）利用指数函数的单调性和极限思想可求最值. 【详解】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，， ， 所以相关系数， 因为与的相关系数近似为0.9632，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）依题意得，，其中，， 则， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故成立， 则有， 所以，又， 则. （3）当为偶数时，，单调递减，最大值为，， 当为奇数时，，单调递增，最小值为，， 所以数列的最大值为，最小值为． 【变式1】现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误． (1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望； (2)设第次传球后，甲接到球的概率为， （i）试证明数列为等比数列； （ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数． 【答案】(1)X的分布列为 0 1 2 (2)（i）略; （ii）略; （2）（i）求得，根据时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，可得，由此变形得可证明结论；（ii）求出，当时，,即可解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数． 【详解】（1）由题意知的取值为， ； ； ； 所以X的分布列为 0 1 2 所以； （2）（i）证明：由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则， 时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件， 于是有 ，即 ， 故数列是首项为，公比为的等比数列; （ii）因为 ，所以 ， 当时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数. 【分析】(1) 由题意知的取值为，求出X的每个值对应的概率,即可求得分布列,根据期望公式求得期望; 【变式2】王先生因病到医院求医，医生给开了个处方药(片剂)，要求每天早晚8时各服一片，已知该药片每片毫克，每小时从体内排出这种药的，并且如果这种药在体内的残留量超过毫克时，就将产生副作用，请问： （1）王先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早晨8时服完药时，药在他体内的残留量是多少？ （2）如果王先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用，为什么？ 【答案】（1）克；（2）不会，解析见解析. 【分析】（1）由题意可知，第二天早晨8时服药，是第3次服药，根据题意列式求解；（2）首先列出递推关系式，根据递推公式，求数列的通项公式，根据等比数列的单调性可求数列的极限，得到结论. 【详解】设第次服药后的体内残留量为（1），，； （2）， ，即，解得：， ， 数列是首项为，公比为的等比数列， ， ，是单调递增数列， ∴长期服用不会出现副作用. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解题意，并能根据题意列出递推公式. 【变式3】某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射A，B，C的概率分别为 首次发射概率由二项分布生成， .第一次信息发射后遵循如下规则：若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为；若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为 ，若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期. (1)写出值(用表示) ； (2)当时， （i）用表示和，并证明：； （ii）当时，该信息源是否存在发射稳定期?若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）略 （ii）略 【分析】（1）借助二项分布的概率公式计算即可得； （2）（i）利用全概率公式计算可得、，再借助所得、计算即可得证；（ii）法一：结合（i）中所得，可得，从而可得，则当时可计算出对应的，即可得、；法二：由题意可得，即可得，即可解出、、. 【详解】（1）因为，则， ； （2）（i），， 证明如下： 由题知，则， 由题可得：， ， 则， 又，故， 即恒成立； （ii）存在，，理由如下： 法一：由（i）知恒成立，又，则， 所以， 则， 所以 ， 则，则， 所以. 法二，由， 所以，解得. 题型二：分形中的极限问题 【典例1】如图，已知直角三角形AOB的两直角边AO和BO的长分别为5和12，直角三角形的斜边AB所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边AO所在的直线相切，半圆圆心都在边OB上，半径分别为、、…、、…. (1)求证：为等比数列； (2)求前n个半圆面积的总和； (3)利用前n个半圆面积的总和的表达式，计算. 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据相似三角形可得，同理可得，，，由，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）结论，结合等比数列前n项求和公式计算即得； （3）利用极限的思想求解即可. 【详解】（1）如图， 设以为圆心的圆与AB相切于点，连接， 易得与相似，则有， 又，所以， 代入可得，解得. 同理可得，即，解得，，， 因， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得，是以为首项，以为公比的等比数列 前n个半圆面积的总和为： （3）. 【典例2】图中的树形图形为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第n层．设树的第n层的最高点至水平线的距离为n层的树形的高度．试求：    (1)第三层及第四层的树形图的高度 (2)第n层的树形图的高度 (3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”否则则称“矮小”．试判断该树形图是“高大”还是“矮小”的？ 【答案】(1) (2) (3)略 【分析】（1）设树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，从而依次求出，从而得到第三层和第四层树形图的高度； （2），分为奇数和为偶数两种情况，结合等比数列求和公式求出答案； （3）分为奇数和为偶数，根据极限得到，得到结论. 【详解】（1）设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为， 则，，，， 所以第三层树形图的高度为； 第四层树形图的高度； （2）易知，又，， 所以第层新生的树形图的高度为， 故当时， ； 当时， 故第层的树形图的高度为； （3）矮小，理由如下： 当为奇数时，， 当为偶数时，， 故当．由定义知树形图为“矮小”的． 【变式1】如图，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次记作    (1)求的周长； (2)求所围成的面积； (3)当时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形． 【答案】(1) (2) (3)略 【分析】（1）根据图形边长和边数的变化关系，结合等比数列通项公式可求得边长和边数的通项，由所求周长为可求得结果； （2）根据图形关系可知，利用累加法可求得； （3）利用极限的思想可验证极限值，从而证得结论. 【详解】（1）设第个图形的边长为，边数为，的周长为    ， 自第个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的， 数列是以为首项，为公比的等比数列，； 自第个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的倍， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，即的周长为. （2）记所围成的面积为，则， 当且时，， ， 经检验：满足， . （3）， ， 科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形. 【变式2】如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、. (1)设第次被剪去等边三角形面积为，求； (2)设的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得数列为等比数列，根据首项和公比进而可得结果； （2）根据等边三角形的性质求出的面积，根据等比数列前项和公式从而推导出即可求出答案 【详解】（1）解：由题意可得， 设第次被剪去等边三角形的边长为，则，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）解：由已知得的面积， 所以的面积为， 所以. 【变式3】我们要计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积，可用轴上的分点0、、、…、、1将区间分成个小区间，从第二个小区间起，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上，这么矩形的高分别为、、…、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为，就有. （1）求的表达式，并求出面积；（可以利用公式） （2）利用上述方法，探求由函数、轴、轴以及直线和所围成的区域的面积.（可以利用公式：） 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据题中条件，得到，利用题中所给公式，由极限的运算法则，即可得出结果； （2）同题中所给方法，将区间分成个小区间，得到，利用等比数列的求和公式，由题中所给公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可知， ， 因为， 所以， 因此； （2）根据题中方法，探求由函数、轴、轴以及直线和所围成的区域的面积，可将区间分成个小区间，每一个小区间对应一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上，这么矩形的高分别为、、、…、，矩形的底边长都是， 则 ， 因此，因为， 所以. 题型三：数列中其他极限问题 【典例1】（25-26高二下·江苏苏州·期末）超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为（    ） A．12 B．15 C．17 D．20 【答案】B 【分析】设抽奖次数为，花费的积分为，则，表达出，利用错位相减法和极限思想求出答案. 【详解】设抽奖次数为，花费的积分为，则， 每次抽中100元代金券的概率为， 故， 设，① ，②， 两式相减得， ， 故， 故， 故选：B 【典例2】（25-26高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和以及的值； (3)若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 证明：由，， 因为（）， ∴数列是公比为，首项为1的等比数列. (2)，； (3). 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）用等比数列求和公式以及极限的运算计算求解； （3）由题化简可得，利用数列的单调性计算求出最大值，即可得解． 【详解】（1）略 （2）因为，所以， . （3）因为，所以， 所以，所以恒成立，所以， 设，易知，，， 当时，，令，故单调递减， 即， 所以，所以. 【变式1】（多选）在无穷等比数列中，，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用等比数列前项和公式列式，再结合极限用表示，进而求出范围. 【详解】设无穷等比数列公比为， 当时，，不满足题意； 当时，，则， 若，则， 则有，此时； 若，则， 则有，此时； 所以的取值范围是，ACD满足，B不满足. 故选：ACD 【变式2】（25-26高三下·上海·阶段检测）一个无穷等比数列，已知，且，则公比q的取值范围是________ 【答案】 【分析】由题意确定无穷等比数列的和存在，以此确定并得到，再结合条件即可求得的取值范围. 【详解】等比数列前项和， 若，当时，，此时， 此时无穷等比数列的和不存在，一定不满足，故舍去， 若，当时，振荡发散， 此时振荡发散， 此时无穷等比数列的和不存在，一定不满足，故舍去， 若，则，若，振荡发散， 此时无穷等比数列的和不存在，一定不满足，故舍去， 若，当时，， 此时， 此时无穷等比数列的和存在，即， 则看作是首项为的无穷等比数列的和，即， 由题意得，因为，则， 解得，因为等比数列中， 综上，公比q的取值范围是 【变式3】已知，数列是公差为的等差数列，是公比为（且）的等比数列，设，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，如果对一切，都有成立，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求得，进而求出，根据等比数列基本量的运算求得，进而求出. （2）利用方程组法求得，然后利用等比数列求和公式求得，再求极限即可. 【详解】（1）由题意知， 解得，则，所以． 同理得，解得，所以， 所以． （2）由，得， 相减得，又，所以， 即是首项为8，公比为的等比数列． 所以，， 所以． 二、数列的极限（典型题型归类训练） 一、单选题 1．等比数列中，，为的前项和，，则（    ） A．不存在 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断，再由等比数列求和公式求出，即可求出，再计算极限即可. 【详解】因为，若，则，不符合题意，所以， 又，即，解得， ， 所以. 故选：D 2．在无穷等比数列中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，分、，结合等比数列的求和公式进行讨论，即可得答案. 【详解】解：设无穷等比数列公比为， 当时，，不满足题意； 当时，， 则， 若，则， 则有，此时； 若，则， 则有，此时； 综上，. 故选：C. 3．在数轴上，动点从原点出发往正向移动，动点从的位置出发开始往负向移动，两个动点每一秒移动一次，已知第一秒移动的距离分别为1、4，且每次移动的距离分别为其前一次移动距离的倍，倍，令为第秒时A、B的中点位置，则（1）；（2）；（3）数列是一个等比数列；（4）；（5）．请问其中正确的选项是（    ）． A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5） 【答案】A 【分析】先利用等比数列的求和公式求出第秒时，动点在数轴上的位置，进而可得数列的通项公式，然后逐一判断每个结论即可. 【详解】第秒时，动点在数轴上的位置为， 第秒时，动点在数轴上的位置为， 则 则，（1）正确； ，（2）错误； ， 则，，， 因为， 故数列不是一个等比数列，故（3）错误； ，（4）正确； ， 因为，所以 所以，（5）错误. 故选：A. 4．已知点、和，记线段的中点为，取线段和中的一条，记其端点为、，使之满足，记线段的中点为，取线段和中的一条，记其端点为、，使之满足，依次下去，得到点、、、、、，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出线段上到原点距离等于的点为的坐标，分析可知、、、、的极限为，利用极限的定义以及两点间的距离公式计算可得结果. 【详解】由得和一个大于一个小于， 设线段上到原点距离等于的点为， 由且，得，， 所以线段上到原点距离等于的点为， 若，则、应在点的两侧， 所以第一次应取、、、、中必有一点在的左侧，一点在的右侧， 因为、、、、是中点，所以、、、、的极限为， 所以. 故选：A. 二、多选题 5．已知（个根号），下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据，结合的表达式可以判定A正确；将的表达式两边平方，可得从而判定B正确；结合前面的结论，可以判断存在极限，并可求得极限为2，从而根据极限定义，可以判定C正确；由，从递推，可以得到，从而判定D错误. 【详解】对于选项A，因为， 所以（重根号）（重根号），故A正确； 对于选项B，因为（重根号） 所以（重根号）， 所以，故B正确； 对于选项D，因为， 故D错误； 对于选项C，由恒成立，所以数列有极限. 设，则，且根据两边取极限， 得，即. 分解因式得，结合，解得. 根据极限定义，时，，故C正确. 6．如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．数列{}是首项为3，公比为4的等比数列 B．数列{}是首项为3，公比为的等比数列 C．数列是首项为，公比为的等比数列 D．当n无限增大时，趋近于定值 【答案】ABD 【分析】结合图形规律得，即可判断A,根据第个图形的边长为 ，即可判断B，根据，利用累加法及等比数列的前项和公式求出． 【详解】是在的基础上，每条边新增加3条新的边，故，又,所以数列{}是首项为3，公比为4的等比数列,且 故A正确， 第个图形的边长为 ，所以，故数列{}是首项为3，公比为的等比数列，故B正确， 因为是在的每条边上再生出一个小正三角形，于是 ， 同理，对是在的每条边上再生出一个小正三角形， 于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积， 即， 于是可以利用累加的方法得到 将上面式子累加得 当时， ，故C错误，D正确， 故选：ABD 三、填空题 7．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息链上每个节点处的信息强度，数列模型：()，描述了这两组相邻影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有； ④，使得当时，总有. 其中，所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【分析】通过对递推式作差得到为常值，结合数列的单调性分析各结论是否成立． 【详解】验证结论①：将两递推式作差得， 故为常数列，即，因此，所以①正确； 验证结论②：由递推式得，， 因为为正实数数列，故，因此，所以②正确； 验证结论③：，其中为正的常数，由②知是严格递增的正数列， 由递推式由①已证 ，所以 逐项代入： 因此，因为，所以当时， 所以时，故， 因此，当时，总有，所以③正确； 验证结论④：由得，当时， 故，不可能小于，所以④错误． 8．已知为无穷等比数列，，数列 满足，则__________． 【答案】 【分析】利用无穷等比数列的性质及求和公式，结合已知条件构造方程，求出，进而求出，再利用无穷等比数列的求和公式计算求解． 【详解】设的公比为， 为无穷等比数列，则当时，， ， ，化简整理得，解得或（，舍去）， ， ，是首项 ， 公比的无穷等比数列， ． 故答案为：． 9．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的中国古老民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，，不断重复上述裁剪操作，则被裁剪部分的面积之和的极限为_________. 【答案】/ 【分析】设的半径为，由题意可知，根据等比数列求和公式即可求. 【详解】设的半径为， 则，的半径为，即， 故， 所以的面积为， 又第次裁剪操作的正方形边长为， 故第次裁剪操作裁剪掉的面积为：， 所以被裁剪掉的总面积为， 所以被裁剪掉的总面积的极限为. 故答案为： 10．将的正数零点从小到大排成一列，则的值为________． 【答案】/ 【分析】由正弦函数的零点及极限计算即可求解. 【详解】易知的正数零点为：， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题： (1)若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）； (2)已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列； ①求数列的通项公式； ②若.证明： 【答案】(1)数列存在极限，极限为；数列不存在极限 (2)①； ②略 【分析】（1）根据题设定义，即可判断出结果； （2）①根据条件得到，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果；②利用①中结果，得到，再根据题设定义，即可求出结果. 【详解】（1）数列存在极限，因为当时，，所以， 数列不存在极限，因为当时，，， 所以数列不存在极限， （2）①因为，所以，得到①， 当时，②， 由①②，得到，整理得到， 所以，得到， 又，所以当时，，又，满足， 所以数列的通项公式为. ②由（1）可知， 对于任意给定的正数，由于，所以等价于 取不大于的最大整数为， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 所以. 12．已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的值； (3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式． 【答案】(1)， (2) (3)证明略，通项公式为． 【分析】（1）根据题意可得出数列的首项和公差，即可求出通项公式； （2）可得，利用裂项相消法即可求出； （3）根据等比数列的定义即可证明，再求出通项公式即可. 【详解】（1）∵点在直线上，为直线l与y轴的交点， ，， ∵等差数列的公差为1（）， ，. （2）由（1）可得，， ， ， ， . （3）证明:时，， ， ∴数列为等比数列，首项为，公比为2， ，∴． 13．已知一个质点从边长为1个单位的正三角形的某个顶点出发，沿着该三角形的边移动，每次移动1个单位，具体规则如下： 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为； 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为； 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为． 设质点初始位置在顶点，请回答下列问题： (1)求第2次移动后质点位于顶点的概率； (2)设第次移动后质点位于顶点的概率为． （i）求； （ii）当足够大时，试估计第次移动后质点位于哪个顶点的概率最大，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）当足够大时，第次移动后质点位于顶点的概率最大，理由见解析 【分析】（1）通过条件概率和乘法公式计算即可得到结果； （2）（i）利用第n次位于各顶点的概率与第次概率的关系建立递推关系，消去一个变量后得到关于的线性递推式，化为等比数列形式，结合初始值求出通项公式； （ii）利用递推关系求出的通项公式，进而得到的表达式，计算极限可得各顶点概率的稳定值，比较大小可知当充分大时，质点位于顶点的概率最大. 【详解】（1）设事件“第1次移动后质点位于顶点”，“第2次移动后质点位于顶点”，根据题意得， 得． 因此，第2次移动后质点位于顶点的概率为． （2）（i）设第次移动后质点位于顶点，的概率分别为，，则． 根据规则，递推关系如下： 由，代入的递推式得： ， 令，所以， 所以．又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，即. （ii）当足够大时，第次移动后质点位于顶点的概率最大，理由如下： 由（i）知，，所以，代入的递推公式得： ， 令，所以, 所以． 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，即． 所以． 所以． 又， 故当足够大时，第次移动后质点位于顶点的概率最大． 14．若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】(1)略 (2)2； (3)略 【分析】（1）利用不等式性质求出函数的值域，利用定义判断即可； （2）二次函数在闭区间的最值在顶点或端点取得，只需保证即可； （3）可先利用零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，最后根据证明. 【详解】（1）是，理由：由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为 ； （3）证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 数列的极限（典型题型归类训练） 目录 一、典型题型 1 题型一：概率统计中数列的极限 1 题型二：分形中的极限问题 6 题型三：数列中其他极限问题 11 二、数列的极限（典型题型归类训练） 13 一、典型题型 题型一：概率统计中数列的极限 【典例1】2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI  for  Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴. 假设今天天气是晴天，回答以下问题： (1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； (2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值. 【典例2】某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： (1)由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； (3)记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 【变式1】现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误． (1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望； (2)设第次传球后，甲接到球的概率为， （i）试证明数列为等比数列； （ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数． 【变式2】王先生因病到医院求医，医生给开了个处方药(片剂)，要求每天早晚8时各服一片，已知该药片每片毫克，每小时从体内排出这种药的，并且如果这种药在体内的残留量超过毫克时，就将产生副作用，请问： （1）王先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早晨8时服完药时，药在他体内的残留量是多少？ （2）如果王先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用，为什么？ 【变式3】某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射A，B，C的概率分别为 首次发射概率由二项分布生成， .第一次信息发射后遵循如下规则：若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为；若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为 ，若第次发射信息为，则第次发射信息A，B，C的概率分别为当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期. (1)写出值(用表示) ； (2)当时， （i）用表示和，并证明：； （ii）当时，该信息源是否存在发射稳定期?若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由. 题型二：分形中的极限问题 【典例1】如图，已知直角三角形AOB的两直角边AO和BO的长分别为5和12，直角三角形的斜边AB所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边AO所在的直线相切，半圆圆心都在边OB上，半径分别为、、…、、…. (1)求证：为等比数列； (2)求前n个半圆面积的总和； (3)利用前n个半圆面积的总和的表达式，计算. 【典例2】图中的树形图形为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第n层．设树的第n层的最高点至水平线的距离为n层的树形的高度．试求：    (1)第三层及第四层的树形图的高度 (2)第n层的树形图的高度 (3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”否则则称“矮小”．试判断该树形图是“高大”还是“矮小”的？ 【变式1】如图，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次记作    (1)求的周长； (2)求所围成的面积； (3)当时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形． 【变式2】如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、. (1)设第次被剪去等边三角形面积为，求； (2)设的面积为，求. 【变式3】我们要计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积，可用轴上的分点0、、、…、、1将区间分成个小区间，从第二个小区间起，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上，这么矩形的高分别为、、…、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为，就有. （1）求的表达式，并求出面积；（可以利用公式） （2）利用上述方法，探求由函数、轴、轴以及直线和所围成的区域的面积.（可以利用公式：） 题型三：数列中其他极限问题 【典例1】（25-26高二下·江苏苏州·期末）超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为（    ） A．12 B．15 C．17 D．20 【典例2】（25-26高一下·上海·期末）已知数列的前项和为，通项公式，数列的通项公式，数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和以及的值； (3)若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（多选）在无穷等比数列中，，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·上海·阶段检测）一个无穷等比数列，已知，且，则公比q的取值范围是________ 【变式3】已知，数列是公差为的等差数列，是公比为（且）的等比数列，设，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，如果对一切，都有成立，求． 二、数列的极限（典型题型归类训练） 一、单选题 1．等比数列中，，为的前项和，，则（    ） A．不存在 B． C． D． 2．在无穷等比数列中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在数轴上，动点从原点出发往正向移动，动点从的位置出发开始往负向移动，两个动点每一秒移动一次，已知第一秒移动的距离分别为1、4，且每次移动的距离分别为其前一次移动距离的倍，倍，令为第秒时A、B的中点位置，则（1）；（2）；（3）数列是一个等比数列；（4）；（5）．请问其中正确的选项是（    ）． A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5） 4．已知点、和，记线段的中点为，取线段和中的一条，记其端点为、，使之满足，记线段的中点为，取线段和中的一条，记其端点为、，使之满足，依次下去，得到点、、、、、，则 （     ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知（个根号），下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．数列{}是首项为3，公比为4的等比数列 B．数列{}是首项为3，公比为的等比数列 C．数列是首项为，公比为的等比数列 D．当n无限增大时，趋近于定值 三、填空题 7．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息链上每个节点处的信息强度，数列模型：()，描述了这两组相邻影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息如下结论： ①； ②； ③，使得当时，总有； ④，使得当时，总有. 其中，所有正确结论的序号是______. 8．已知为无穷等比数列，，数列 满足，则__________． 9．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的中国古老民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下:取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，，不断重复上述裁剪操作，则被裁剪部分的面积之和的极限为_________. 10．将的正数零点从小到大排成一列，则的值为________． 四、解答题 11．定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题： (1)若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）； (2)已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列； ①求数列的通项公式； ②若.证明： 12．已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的值； (3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式． 13．已知一个质点从边长为1个单位的正三角形的某个顶点出发，沿着该三角形的边移动，每次移动1个单位，具体规则如下： 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为； 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为； 若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为． 设质点初始位置在顶点，请回答下列问题： (1)求第2次移动后质点位于顶点的概率； (2)设第次移动后质点位于顶点的概率为． （i）求； （ii）当足够大时，试估计第次移动后质点位于哪个顶点的概率最大，并说明理由． 14．若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $