专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：隔项等差数列 2 题型二：隔项等比数列 3 三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 5 一、必备秘籍 1、隔项等差数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 2、隔项等比数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 二、典型题型 题型一：隔项等差数列 【典例1】（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 【答案】D 【分析】先由的公差推导的隔项递推关系，明确奇数项为公差1的等差数列，再代入计算. 【详解】已知是公差为1的等差数列，故对任意，有 . 由题设，可得，同理. 将代入的表达式，得： ， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为1的等差数列. 属于奇数项，首项，奇数项通项为：对，. 令，解得，所以. 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）等差数列的首项为1，对，满足．则（    ） A．4042 B．4041 C．4040 D．4039 【答案】B 【分析】由和差即可求解公差，用通项公式可求解． 【详解】解：因为等差数列的首项为1，， 所以， 两式相减得， 所以， 则． 故选：B． 【变式1】（2026·四川·模拟预测）数列满足，且，则等于（    ） A．148 B．149 C．152 D．299 【答案】B 【分析】根据递推公式求和偶数项之间的递推关系，然后由累加法可得. 【详解】由题意得，因为，， 所以， 所以． 故选：B． 【变式2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 【答案】A 【分析】根据递推关系得到，再求出，结合等差数列的通项公式求出即可. 【详解】因为，所以， 两式作差得， 故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列， 又，，得， 故为偶数时，故. 故选：A 【变式3】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知数列满足：，且满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】变形得到，即中的奇数项是1为公差的等差数列，利用等差数列通项公式求出答案. 【详解】因为，所以，两式相减，得：， 所以数列中的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列， 所以. 故选：A. 题型二：隔项等比数列 【典例1】（25-26高二下·黑龙江大庆·开学考试）已知数列满足，且对任意的，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由递推关系可得： 当时，，代入得， 用换得：，与两式相除得： ，即，所以对所有成立， 因此数列隔项成等比，公比为， 当时，，则， 所以. 【典例2】（25-26高二下·河南商丘·期末）已知数列满足，且对任意的，都有，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设得，即原数列的奇数项为等比数列，应用等比数列的通项公式求目标项. 【详解】因为对任意的，都有， 所以，所以， 所以数列的奇数项构成首项为1，公比为3的等比数列， 且是新数列的第1013项， 所以． 故选：D． 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期中）已知数列满足是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可得、且时都是公比为2的等比数列，再应用分组求和及等比数列前n项和公式求. 【详解】由题设，且， 所以，即， 当且时，是首项为1，公比为2的等比数列，则； 当且时，是首项为2，公比为2的等比数列，则； . 故选：B 【变式2】（25-26高二上·安徽·期末）已知首项为1的数列的前项和为，若，则__________． 【答案】 【分析】由数列的递推公式求得数列特征，再求和即可. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. 所以数列的奇数项是以1为首项，为公比的等比数列；其偶数项是以为首项，为公比的等比数列. 所以 ， 故答案为：. 三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由通项公式写出和，都代入中，化简即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为，可得， 所以有，解得， 故选：B. 2．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，即. 又①，    则②， 由②-①，得， 所以是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公差的等差数列 所以       3．（25-26高二下·河南·期中）在数列中，，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【详解】法一：由，得.由，得.由，得. 依此类推，. 法二：当时，，又，得. 当时，由， 得，所以， 当时，有， 所以是以为首项，2为公差的等差数列，， 所以. 4．（25-26高一下·山西太原·期末）已知数列满足是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知递推关系式可以推出数列的特征，即数列和均是等比数列，利用等比数列性质求解即可． 【详解】解：由已知可得， 当时，由得， 所以数列和均是公比为2的等比数列，首项分别为2和1， 由等比数列知识可求得 ，, 故选：D． 【点睛】本题主要考查递推关系式，及等比数列的相关知识，属于中档题． 5．已知数列满足,，则等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据递推关系可得，由此可知数列的奇数项成等比数列，偶数项构成等比数列，采用分组求和即可求出. 【详解】，，又，所以， 所以成等比数列；成等比数列， 所以 故选:B 【点睛】本题主要考查等比数列的定义，等比数列求和公式及分组求和法的应用，考查运算能力，属于中档题. 6．（25-26高二上·宁夏·阶段检测）已知数列满足，若的前项和，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以，作比得，因为，所以， 故数列的奇数项为等比数列，，所以n为奇数时，；数列的偶数项为等比数列，，，所以，= 故选D. 点睛：数列递推公式满足（k为常数）则数列具有隔项成等比的特征，所有的奇数项成等比，所有的偶数项成等比，所以求数列前n项和时可以进行分组求和，奇数项放在一起，偶数项放在一起，注意项数一定要弄清楚. 7．已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】C 【分析】根据分别求解的奇数项和偶数项的通项，即可分组求和得解，或者根据为等差数列，由求和公式求解. 【详解】方法一：，当时，， 两式相减，得当时，， 的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为 当为奇数时，； 当为偶数时，. . 方法二： ， ， 故数列是以5为首项，4为公差的等差数列， . 故选：C 8．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为.若，则（    ） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】法一，当时，，两式相减可证明中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4，由等差数列的前项和公式求解即可；法二：由题意可得，数列是以7为首项，8为公差的等差数列，由等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】法一：①，当时，②， ①②得当时，， 中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4. ，当为奇数时，； 当为偶数时，. . 法二： ，，， 数列是以7为首项，8为公差的等差数列， . 故选：B. 二、多选题 9．（26-27高三上·云南·开学考试）已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用递推式可计算，通过递推式推导数列的隔项差，判断奇数项数列及偶数项数列的等差性，并可求奇数项及偶数项的通项公式，再利用并项求和法计算. 【详解】对于选项A，因为，所以，两式相减得． 因为，所以，故A错误； 对于选项B，因为，，所以． 因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于选项C，由前面分析，得，， 所以，故C正确； 对于选项D， ，故D正确． 10．（25-26高二下·河北·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．当为偶数时， D． 【答案】BCD 【分析】对于A，根据递推式，依次求即可；对于B，作差得，则数列、为等差数列，再求通项即可；对于CD，分奇偶项求和即可． 【详解】对于A，，，解得，，故A错误； 对于B，，， 所以，所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列，，（），则（  ） A． B．数列是等差数列 C．，n为奇数 D．，n为偶数 【答案】ABD 【详解】，，则令，解得， 又，两式相减，， 即数列是等差数列，故B正确； 由，可知数列的奇数项是以为首项，3为公差的等差数列； 偶数项是以0为首项，3为公差的等差数列， 当为奇数时，设，则，故C错误； 当为偶数时，设，则，故D正确； ，故A正确． 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，则的值为___________. 【答案】29 【分析】由已知可得，可得是等差数列，可求得. 【详解】由，可得，两式相减， 是首项为1，公差为4的等差数列， . 故答案为：. 13．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列满足，（），则__________． 【答案】100 【详解】由可得， 两式相减得， 则对于奇数项数列，首项为，公差， 得， 令. 四、解答题 14．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论，结合等比数列定义求出通项公式. （2）根据给定条件，利用变形，再构造常数列求出通项公式. 【详解】（1）数列中，，， 当时，，则，当时，，则， 因此数列均是公比为4的等比数列，， 所以数列的通项公式是. （2）在数列中，，当时，， 当时，，两式相减得，， 当时，， 即，因此当时，数列是常数列， ，整理得，显然满足上式， 所以数列的通项公式是. 15．（2026·湖南衡阳·二模）已知数列，满足：，，． （1）证明：数列为等差数列． （2）记为数列的前项和，求的值． 【答案】（1）证明： 法一：（1）依题：， 两式相减即得：，∴为等差数列． 法二：依题： ，两式相减即得： ，故奇数项成等差数列，即为等差数列． （2）97． 【分析】（1）根据定义，列出，相减即可得解； （2）根据，以两项之和为单位，凑出和即可得解. 【详解】（1）略． （2）法一：， ， ． 法二：， ∵为等差数列，故，，故． 【点睛】本题考查了等差数列的证明，求数列通项，以及式处理，考查了分组求和与等差数列求和，考查了运算能力以及局部与整体的关系处理能力，属于较难题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：隔项等差数列 2 题型二：隔项等比数列 2 三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 3 一、必备秘籍 1、隔项等差数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 2、隔项等比数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 二、典型题型 题型一：隔项等差数列 【典例1】（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）等差数列的首项为1，对，满足．则（    ） A．4042 B．4041 C．4040 D．4039 【变式1】（2026·四川·模拟预测）数列满足，且，则等于（    ） A．148 B．149 C．152 D．299 【变式2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 【变式3】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知数列满足：，且满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 题型二：隔项等比数列 【典例1】（25-26高二下·黑龙江大庆·开学考试）已知数列满足，且对任意的，都有，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·河南商丘·期末）已知数列满足，且对任意的，都有，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河南驻马店·期中）已知数列满足是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·安徽·期末）已知首项为1的数列的前项和为，若，则__________． 三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南·期中）在数列中，，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．（25-26高一下·山西太原·期末）已知数列满足是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足,，则等于（    ） A． B． C． D．3 6．（25-26高二上·宁夏·阶段检测）已知数列满足，若的前项和，则 A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 8．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为.若，则（    ） A．110 B．115 C．120 D．125 二、多选题 9．（26-27高三上·云南·开学考试）已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 10．（25-26高二下·河北·期末）已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C．当为偶数时， D． 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列，，（），则（  ） A． B．数列是等差数列 C．，n为奇数 D．，n为偶数 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，则的值为___________. 13．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列满足，（），则__________． 四、解答题 14．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的通项公式． 15．（2026·湖南衡阳·二模）已知数列，满足：，，． （1）证明：数列为等差数列． （2）记为数列的前项和，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $