数列专题——数学运算素养水平测试-2026届高三数学二轮复习

高三数学二轮复习数列专题——数学运算素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的公比是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．在等比数列中，，，则公比（    ） A． B． C． D． 4．记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 5．记正项等比数列的前项积为，若，则（   ） A． B． C． D． 6．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 7．已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 8．已知数列满足．设数列的前项和为．若，则正整数的可能取值的个数是（   ） A．9 B．17 C．18 D．35 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，公比为，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知依次成等比数列，公比为，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则下列正确的是（    ） A．若，则删去任意一个数都可以 B．若，则可以删去或 C．若，删去，则 D．若，删去，则 11．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列的前项和大于4 D．数列为单调递减数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________. 13．数列的前n项和为，且满足，若，，则______． 14．在正项等比数列中，，记，其中表示不超过的最大整数，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 16．已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 17．已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 18．已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 19．已知数列满足，且． (1)求； (2)若，求证：； (3)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二轮复习数列专题——数学运算素养水平测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的公比是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案. 【详解】 由题意可知数列的公比. 2．数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】结合递推公式依次计算即可. 【详解】，， . 3．在等比数列中，，，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列通项公式结合题设可得答案. 【详解】由题，则，故D正确． 4．记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 【答案】A 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 5．记正项等比数列的前项积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是正项等比数列，且， 所以，所以. 所以. 6．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 7．已知等比数列，其公比，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式化简为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知等比数列，其公比， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 8．已知数列满足．设数列的前项和为．若，则正整数的可能取值的个数是（   ） A．9 B．17 C．18 D．35 【答案】B 【分析】讨论是奇数或偶数，再对进行调整，解出的范围，再利用是奇数和偶数取舍即可． 【详解】由题可得，，其中， 故，且奇偶交错出现， ①若为奇数，由可得，可取遍中的每一个奇数， ②若为偶数，由可得，可取遍中的每一个偶数， 又， 当时，， 当时，， 考虑时，调整为3，则其对于的可相应增加， 依次对诸（至少一个）调整为3后，， 从上述的调整过程可得取遍了中的奇数或偶数， 同理将诸（至少一个）调整为3或5后，， 且取遍了中的奇数或偶数， 因为，令，解得， 当除以4余0或3时，为偶数， 当除以4余2或1时，为奇数， 故，共17个， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，公比为，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，求出，根据等比数列的通项公式及前项和公式逐项判断． 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以，所以，故A正确； 又，所以，所以， 所以，故BC错误； 所以，故D正确． 10．已知依次成等比数列，公比为，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则下列正确的是（    ） A．若，则删去任意一个数都可以 B．若，则可以删去或 C．若，删去，则 D．若，删去，则 【答案】ACD 【分析】根据选项，利用等比数列的通项公式进行验证即可. 【详解】对于A，若，则均相等，公差为，删去其中的任意一个数，则剩下的三个数还相等，公差仍为，故A正确; 对于B，若删去或，都得到等差数列，则公比，故B错误; 对于C，若删去，则由，得， 由等比数列可知，所以，得， 又，所以，又，得,故C正确; 对于D，若删去，则由，得，又，所以， 因为是方程的根，提取公因式,得， 又，则可得，又，得，故D正确. 故选：ACD 11．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列的前项和大于4 D．数列为单调递减数列 【答案】ABD 【分析】代入计算可判断A；根据等差数列定义计算可判断B；根据裂项相消法计算可判断C；根据作商法计算可判断D. 【详解】因为，所以， 对于A，由题意可得，因为， 所以，故A正确； 对于B，由等差数列定义可知，数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B可知，，， 则， 设数列的前项和为， 则 ， 所以数列的前项和小于4，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为， 所以，则数列为单调递减数列，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，则________. 【答案】 【详解】依题意，， ， 因此，即，而， 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，， 所以. 13．数列的前n项和为，且满足，若，，则______． 【答案】4052 【分析】通过两次作差法求出为等差数列，构造函数，由为奇函数且单调递增，可确定，即可利用等差数列求和公式求出. 【详解】由可得，作差可得， 整理得，用代换n可得， 再次作差，，所以，即是等差数列． 又，， 由为奇函数且单调递增，可知，即， 所以． 14．在正项等比数列中，，记，其中表示不超过的最大整数，则_____． 【答案】 【分析】根据已知条件求出等比数列的通项公式，进而得到，最后计算. 【详解】设正项等比数列的公比为.由题意知， 整理得，解得或（舍去），故， . 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用降序相减求解即可； （2）利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. （2）， 则 . 16．已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ， 由得： ， 联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； （2）由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ， 因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： , 即的最小值为. 17．已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法求出数列的周期，根据数列的周期进行求解即可； （2）利用特殊值法，结合等差数列的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为数列各项均不为零，，， 所以当时，由， 所以有 ， 所以此时该数列的周期为，因此， 所以的前50项和为； （2）由， 因为，， 所以， 因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为. 18．已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； （3）由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 19．已知数列满足，且． (1)求； (2)若，求证：； (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意结合累加法求解即可； （2）根据题干递推关系，利用两角和差的余弦公式化简推得，结合同角三角函数关系即可证得； （3）利用和差角的余弦公式可得，再根据三角函数的诱导公式化简并分组求和即可求解. 【详解】（1）由可得： ， ， ， ， 由累加法得， 又因为， 所以，故. （2）由（1）可得， 则由， 可得， 即 整理得，因，则， 所以， 故. （3）由 ，可得 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $