专题12 数列不等式专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题12 数列不等式（典型题型归类训练） 目录 一、典型题型 1 题型一：数列不等式恒成立 1 题型二：数列不等式能成立（有解）问题 4 二、数列不等式专项训练 6 一、典型题型 题型一：数列不等式恒成立 【典例1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数定义在区间内，，，时，恒有． (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，． （ⅰ）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ⅱ）设，若对恒成立，求的取值范围． 【典例2】（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数； (2)设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 【变式1】（2026·江西吉安·模拟预测）已知数列中，， . (1)如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积； (2)记，若恒成立，求实数的最大值. 【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 【变式3】（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数，已知，求的最小值． 题型二：数列不等式能成立（有解）问题 【典例1】（24-25高二下·河南·期末）设同时满足条件：①；②（是常数）的无穷数列叫敞数列．已知数列的前项和满足． (1)证明：是数列； (2)若，数列的前项和为，求使得的最小正整数的值． 【典例2】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【变式1】（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式，前n项和； (2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 【变式2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【变式3】（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式以及； (3)设，若，，求m的取值范围． 二、数列不等式专项训练 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，若，，且恒成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知数列{an}的前n 项和 ，若数列{bn}的前n 项和满足恒成立，则的取值范围为（    ） A．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[2，+∞) D．(2，+∞) 6．（2026·山东·模拟预测）已知无穷等比数列的公比为，其中，其前项和为，下列条件中，能使得恒成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2027的项的个数为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 8．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 二、填空题 9．（25-26高二下·河北·期末）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为_____. 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，则满足的的取值范围是______． 11．（25-26高二下·四川眉山·期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是_______ 三、解答题 12．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列的公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 13．（25-26高二上·四川德阳·期末）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 14．（2026·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 15．（25-26高二上·湖南·期中）已知数列是首项为2的等比数列，各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16．（25-26高三上·山西太原·期中）已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 数列不等式（典型题型归类训练） 目录 一、典型题型 1 题型一：数列不等式恒成立 1 题型二：数列不等式能成立（有解）问题 7 二、数列不等式专项训练 12 一、典型题型 题型一：数列不等式恒成立 【典例1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数定义在区间内，，，时，恒有． (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，． （ⅰ）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ⅱ）设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)略 (2)（i）略 （ii） 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可证明； （2）（i）根据得到，进而得到是等比数列，从而得到数列的通项公式； （ii）再利用错位相减法得到．代入恒成立求解. 【详解】（1）证明：由题意知的定义域为，关于原点对称．且， 令 ，则，故． 再令，则， 所以，故为奇函数． （2）（i）证明：由题意得， 又， 所以，即，所以， 故是首项为，公比为2的等比数列，所以； （ii）因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 则对恒成立，即恒成立， 即恒成立． 设，则， 所以数列单调递增． 当n为奇数时，，当时，有最大值，故 ； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 【典例2】（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数； (2)设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）27 【详解】【小题1】由得：当时，； 当时，.     验证也满足，故通项公式为，.     解不等式，即，得， 所以满足条件的正整数，2，3，4，其中最大的 【小题2】（i）由得：，，，，，则 .         （ii）由知递增， 当 时，，有. 求和：.     再加上前4项的和，可得当时，有， 因此对所有 ，有，且，     条件对任意正整数 恒成立，等价于， 故满足条件的最小值为27 【变式1】（2026·江西吉安·模拟预测）已知数列中，， . (1)如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积； (2)记，若恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出，再利用梯形的面积公式及错位相减法求和即得. （2）由（1）求出并等价变形不等式，再确定数列单调性求解. 【详解】（1）数列中，由，得，则数列是首项为， 公差为1的等差数列，，因此，， ， 过向轴作垂线，垂足分别为， 记梯形的面积为，则， 因此， 于是， 两式相减得，则， 所以由该折线与直线所围成的区域的面积. （2）由（1）知，则， ， 不等式恒成立， 而数列都是递增数列，则数列是递增数列， 当时，，因此，解得， 所以的最大值为. 【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)98 (2) 【分析】（1）直接利用通项公式与递推关系计算即可； （2）根据等差数列求和公式及裂项相消法先计算和，再解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）因为， 所以 则， 所以， 因为，所以，即. 由恒成立，可得， 则，得， 则，即t的取值范围为. 【变式3】（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若对任意，不等式恒成立，且，为常数，已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系求的通项公式; （2）利用错位相减法求前项和； （3）化简不等式左边表达式，再将不等式变形为，通过求该表达式的最大值得到的最小值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 显然也满足， 所以. （2）由（1）知， 则， ， 得， ， 所以． （3）把代入，已知， 所以等价于， 即，对任意恒成立， 所以， 设，显然递减， 当时，取最大值， 所以的最小值． 题型二：数列不等式能成立（有解）问题 【典例1】（24-25高二下·河南·期末）设同时满足条件：①；②（是常数）的无穷数列叫敞数列．已知数列的前项和满足． (1)证明：是数列； (2)若，数列的前项和为，求使得的最小正整数的值． 【答案】(1) 当时，，解得， 当时，，整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 因为， 所以数列满足条件①， 因为数列公比，所以数列单调递减，即， 故数列满足条件②， 所以是数列得证； (2). 【分析】（1）根据与的关系求得数列的通项公式，在根据数列判断即可证明； （2）结合（1），求得数列，根据错位相减法求得，在根据题意求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， ， ， 两式相减得， 所以，化简得 很显然数列单调递增， 当时，， 当时，， 当时，， 所以要使得成立的最小正整数的值为. 【典例2】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）由通项公式与前n项和关系可得通项公式； （2）由（1）可得，由作差法可判断数列单调性，据此可完成判断. 【详解】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则； （2）不存在，理由为： 即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. 【变式1】（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式，前n项和； (2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 当时，，； 当时，，． (2)存在，n＝41 【分析】（1）由已知列式求解公差，可得数列的通项公式及前n项和； （2）把Sn分类代入，求解得答案． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，且成等比数列， 得，解得或， 当时，，； 当时，，． （2）当时，，此时不存在正整数n，使得成立； 当时，由，得，解得或． 此时存在正整数，使得成立． 【变式2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)略 【分析】（1）构造出，为等比数列，求出通项公式； （2），错位相减法求和得到； （3）根据等差中项得到方程，求出，设，作差法得到当时，数列为递减数列，结合，得到对所有正整数，均有，所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 【详解】（1），故， ，故，所以为首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以； （2）， 所以①，故②， 式子①-②得， 故； （3）不存在正整数，理由如下： 、、成等差数列，故， 即，即， 设，则， 当时，恒成立， 所以当时，数列为递减数列， 又， 故对所有正整数，均有， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 【变式3】（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前n项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式以及； (3)设，若，，求m的取值范围． 【答案】(1)略 (2)， (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义求得，再利用前n项和与第n项的关系推理得证； （2）利用（1）的信息即可求出，； （3）求出并求出其最大项，建立不等式求解． 【详解】（1）证明：由已知可得，数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则，即，① 则，② ②①得：，即， 可得，又， 是等比数列． （2）由（1）知， 则． （3）由，且，得， 当时，，当时，， ， 若，则， 若，则，可得， 因此数列的最大项为， 由，，得， 即，整理得，则，即， 的取值范围是． 二、数列不等式专项训练 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，若，，且恒成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】说明是首项为，公比为3的等比数列，可得，，由题意得恒成立，进一步即可求解. 【详解】因为，所以． 又， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 则，故， 所以， 则． 因为恒成立，所以恒成立， 又，所以，解得． 又，所以，即实数的取值范围为． 故选：A. 2．已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系得，从而，利用作差法求得的单调性、最值即可求解. 【详解】，，， 当时，，． 又且， ，得， 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为，， 故选：D． 3．已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的关系可求，继而得到，利用裂项相消可求得，整理不等式得，根据恒成立转化为求最值即可. 【详解】数列满足，① 当时，，② ①－②得，，，经检验，，满足． 数列满足， 可得， 由于恒成立，即，整理得，， 因为在上单调递减， 故当时，，所以， 故选：C． 4．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列基本量的计算可得通项，进而将问题转化为，构造，利用作差法确定单调性，即可求解最值得解. 【详解】设等比数列公比为，，. ，，解得，， 由得，即. 记，则， 当时，，时，， 因此 故时，取到得最小值是－16.，即实数的取值范围为， 故选:B. 5．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知数列{an}的前n 项和 ，若数列{bn}的前n 项和满足恒成立，则的取值范围为（    ） A．[1，+∞) B．(1，+∞) C．[2，+∞) D．(2，+∞) 【答案】A 【分析】由求出，进而得，通过裂项相消即可求出即可得解. 【详解】因为，当时，， 当时，， 当时，， 所以，所以， 所以， 故，即，所以， 故选：A 6．（2026·山东·模拟预测）已知无穷等比数列的公比为，其中，其前项和为，下列条件中，能使得恒成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据条件分析，满足的条件进行判断. 【详解】因为，所以， 由， 因为，所以. 若，则恒成立，所以AB不正确； 若，则恒成立，所以D不正确,C正确. 故选：C 7．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2027的项的个数为（    ） A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【分析】根据已知得，应用等差等比数列的前n项和公式求并判断其单调性，进而确定不超过2027的项的个数. 【详解】数列的通项公式为，数列的通项公式为， ， ， ， 数列是递增数列， ， 数列中不超过2027的项有10个. 8．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 【答案】C 【详解】由，，可得，所以，等式两边同除，有，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 所以， 记，则，所以为递增数列，所以， 所以. 二、填空题 9．（25-26高二下·河北·期末）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】通过通项与前n项和的关系，求得通项公式，将恒成立转化为最值，构造新的数列求解. 【详解】因为为数列的前项和，且，，解得 ，当时，，化简得： ，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，可得， 若，即，所以， 因为若对任意正整数恒成立，所以， 令，因为，所以数列为递减数列，数列的最大值为，所以. 故答案为： 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，则满足的的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可求得，进而可得等差数列的前项和为，进而结合已知可得，求解即可. 【详解】由题可得，解得， 则， 所以， 由可得，，解得， 故满足的的取值范围是． 11．（25-26高二下·四川眉山·期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是_______ 【答案】 【分析】根据题中条件解不等式得，计算的最小值，从而得出实数的范围. 【详解】因为对一切正整数n均有且恒成立， 所以，化简得到， 的最小值为3. 所以， 故答案为：. 三、解答题 12．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列的公比，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)设是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，根据等比数列的通项公式可解得，，进而可得答案； （2）应用对数运算，再利用裂项相消法可求； （3）根据错位相减法求出，代入不等式得对任意正整数恒成立，设，对分奇偶讨论，可得答案. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，， 所以数列的通项公式为. （2）, 所以. （3）因为， 所以， ， 两式相减得，， 所以. 所以对任意正整数恒成立. 设，易知单调递增. 当为奇数时，的最小值为，所以，解得； 当为偶数时，的最小值为，所以. 综上可知， 即的取值范围是. 13．（25-26高二上·四川德阳·期末）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据指数幂的运算性质、对数运算的性质，结合等差数列前项和公式、通项公式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合错位相减法进行求解即可； （ⅱ）用比较法判断数列的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ， 所以数列的通项公式. （2）（ⅰ）因为是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. ， ， 两式相减，得 ； （ⅱ）， 因为 所以，所以数列是单调递增数列， 所以数列的最小项为， 要想对恒成立， 只需， 所以参数的取值范围为. 14．（2026·江西·模拟预测）已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造法可求的通项公式； （2）利用参变分离和数列的单调性可求的最大项，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. （2）若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 15．（25-26高二上·湖南·期中）已知数列是首项为2的等比数列，各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，即可得到，从而得到答案. （2）首先利用错位相减法得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得或. 又数列的各项均为正数，. （2）由（1）得，， ，① ，② ①-②得， . 由，化简得， 对任意的恒成立. 又的最大值为，所以， 的取值范围为. 16．（25-26高三上·山西太原·期中）已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算求得公比可得通项公式； （2）利用错位相减求得的表达式，再根据不等式恒成立即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设的公比为q， 则， 解得或（舍去）， ∴（）； （2）由（1）可得（）， ∴，① ∴，② ①－②，整理得， 所以对于任意的，不等式恒成立， 即不等式对于任意的恒成立， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $